隔板法又稱(chēng)“插法”，是組合數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的一種解題方法，將“實(shí)際分配問(wèn)題”或復(fù)雜的“球盒問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“球板模型”.拓展隔板法是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，可以更加靈活地處理如空盒、多約束條件等問(wèn)題，目前多應(yīng)用于解決高中數(shù)學(xué)中的排列組合、概率統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題（關(guān)于人員分配、展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)計(jì)算以及帶編號(hào)球放入盒中），如求解 n 個(gè)相同元素分配到 Ψ_m 個(gè)不同組中，根據(jù)給出的具體約束條件抽象出對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)計(jì)算求解

1 隔板法基本原理

隔板法是非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)組合解題方法，目前主要用于解決高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題，傳統(tǒng)隔板法是通過(guò)在元素間插入隔板的方式來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題求解.考慮到傳統(tǒng)隔板法在處理允許盒子空或盒子數(shù)量多的問(wèn)題中暴露出了局限性（例如將5個(gè)相同的球放在3個(gè)盒子中，允許盒子為空，傳統(tǒng)隔板法是無(wú)法直接應(yīng)用)，便在原有的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，形成“拓展隔板法”，其本質(zhì)是通過(guò)隔板方式將實(shí)際問(wèn)題拆解為若干部分，并按照隔板的位置與數(shù)量確定不同的組合的可行性，這種方式在保留傳統(tǒng)隔板法優(yōu)勢(shì)的同時(shí)靈活調(diào)整隔板插入方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題的解決[1].采用拓展隔板法可以拓展學(xué)生解題思路，讓排列組合問(wèn)題或概率問(wèn)題更加清晰明了，同時(shí)又能提升解題效率，讓學(xué)生結(jié)合題干信息，更加快速地找到解題切入點(diǎn)，以培養(yǎng)其邏輯思維能力.

目前拓展隔板法主要解題步驟為：步驟1，根據(jù)題干信息找到解題突破口，判斷題目是否使用隔板法解決；步驟2：將實(shí)際問(wèn)題抽象為“球盒模型”，根據(jù)題目設(shè)定具體的隔板數(shù)量與位置；步驟3：分析是否有特殊的約束條件，例如不充許空盒或者是特定元素分組等，對(duì)隔板法進(jìn)行調(diào)整；步驟4：使用組合公式計(jì)算存在的組數(shù).在具體解題中，拓展隔板法是解決數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題的有效方式之一，數(shù)學(xué)教師有必要引入并引導(dǎo)學(xué)生理解隔板法的基本原理，靈活應(yīng)用，以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)2].

2 隔板法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2. 1 人員分配問(wèn)題

例1某公司派出5名工程師前往3個(gè)技術(shù)部門(mén)協(xié)助研發(fā)，要求每位工程師只能去一個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少安排1名工程師，根據(jù)項(xiàng)目要求，甲、乙兩位工程師必須在不同的部門(mén)，則有（ ）種分配方法.

(A)124. (B)246. (C)114. (D)108.

分析本題目使用拓展隔板法解決，將5名工程師分配到3個(gè)部門(mén)，且每個(gè)部門(mén)至少1人，甲乙兩位工程師必須在不同的部門(mén)，需要先計(jì)算出總分配數(shù)（無(wú)約束)，后再計(jì)算出甲乙同部門(mén)的分配數(shù)，采用捆綁法，將甲乙視為一個(gè)整體，剩余3位工程師獨(dú)立，共有4個(gè)元素需要分配到3個(gè)部門(mén)，且每個(gè)部門(mén)至少有1個(gè)元素，最后減掉甲乙同部門(mén)的情況.

詳解 在這道題目中，先不考慮甲和乙兩位工程師則有 3+1+1 和 2+2+1 的兩種分配方案， 3+ 1+1 有 C₅³A₃³ 個(gè)結(jié)果， 2+2+1 則有 個(gè)結(jié)果，由此可以得到

當(dāng)甲和乙工程師在同一個(gè)部門(mén)，且甲乙所在部門(mén)只有2位工程師，會(huì)得到 C₃³A₂² ；甲乙所在同一部門(mén)有1個(gè)工程師，此時(shí)可以得到 C₃¹A₂² 個(gè)結(jié)果， C₃¹ (C₃²A₂²+C₃¹A₂²)=36 ，后得到了 150-36=114. 因此選擇(C）選項(xiàng).

2.2 展開(kāi)式項(xiàng)目問(wèn)題

例2求 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 的展項(xiàng)開(kāi)式共有多少項(xiàng)？

分析本題目是一道拓展隔板法的問(wèn)題，根據(jù)題干信息，在 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 展開(kāi)式的通向式可以寫(xiě)成 ρx₁^aρx₂^bρx₃^cρx₄^d ，其中 p 為系數(shù)且 a+b+ c+d=10 ，將其轉(zhuǎn)化后可以使用隔板法.通常在解決此類(lèi)型題目的時(shí)候，可以將其理解為較為熟悉的盒子與小球題型“將 n 個(gè)相同的小球放置到 Ψ_m 個(gè)不同的盒子當(dāng)中，盒子可能為空”.

詳解結(jié)合題干信息，當(dāng) x₁，x₂，x₃ 和 x₄ 相當(dāng)于四個(gè)不同的小盒子，可以將冪指數(shù)10看作為10個(gè)大小形狀相同的小球，將這10個(gè)小球放置到4個(gè)不同的盒子里面，且因?yàn)楹凶涌赡転榭眨诟舭宸梢灾?C₁₃³=286 （項(xiàng)）.

2.3帶有編號(hào)的球放入盒子的問(wèn)題

例3 帶有編號(hào)1，2，3，4，5的五個(gè)球，則（ ）

（A）全部投入4個(gè)不同盒子，共有 4⁵ 種放法.(B)放入到不同的4個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少1個(gè)，共有 C₄³ 種放法.

（C）將其中的4個(gè)球放入到4個(gè)盒子里的任意一個(gè)，（另外1球不放入），共有 C₅⁴C₄¹ 種放法.(D)將全部球放到不同的4個(gè)盒子里（沒(méi)有空盒），共有兩 C₅²C₄⁴ 種不同的放法.

分析本題目考查學(xué)生對(duì)排列組合的應(yīng)用能力，根據(jù)題目要求，考慮全部投入、每盒至少一個(gè)、一個(gè)球不投人以及沒(méi)有空盒等在內(nèi)的多種情況，并對(duì)其分別進(jìn)行計(jì)算，找到相對(duì)應(yīng)的正確答案.

詳解本題考查了排列組合的實(shí)際應(yīng)用、分步乘法計(jì)算原理，四項(xiàng)具體計(jì)算如下：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同盒子中，則有 4×4×4×4×4=4⁵ 種方法；按照題干信息，將其全部投放到4個(gè)不同的盒子當(dāng)中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)，相當(dāng)于將其中的2個(gè)球捆綁為1個(gè)球，在對(duì)其進(jìn)行排列，后可以得到 C₅²C₄⁴= 240種放法；按照題干中給出的先選擇4個(gè)球，有 C₅⁴ 種，再選擇一個(gè)盒子，有 C₄¹ 種，故共有 C₅⁴C₄¹ 種方法；若全部投放到4個(gè)不同的盒子當(dāng)中，且沒(méi)有空盒，相當(dāng)于將其中的2個(gè)球捆綁成為1個(gè)球，對(duì)其進(jìn)行排列，得到 C₅²C₄⁴=240 種放法.

3結(jié)語(yǔ)

拓展隔板法是傳統(tǒng)隔板法的進(jìn)一步發(fā)展與延伸，其目的在于高效處理高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題中的復(fù)雜情境，例如存在空盒、球數(shù)量較多等.通過(guò)應(yīng)用拓展隔板法，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力與問(wèn)題解決能力的同時(shí)提升學(xué)生的解題效率，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解隔板法，并掌握拓展隔板法在不同情境下的應(yīng)用，以便更有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]周霞.隔板拓展法在高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué))，2020(06)：93.

[2」毛惠明.拓展隔板法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用LJ」.現(xiàn)代職業(yè)教育，2019(17)：80—81.