1試題呈現(xiàn)

（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中， AD

（1）若 ∠AFE=60^° CD 為直徑，求 ∠ABD 的度數(shù).（2）求證： ①EF / BC ②EF=BD

2 試題分析

2. 1 梳理?xiàng)l件

（1）條件信息分類

① 構(gòu)圖關(guān)系：圓內(nèi)接四邊形 ABCD ：

② 邊關(guān)系： AD

③ 角關(guān)系： ∠ADClt;∠BAD ∠AFE=∠ADC

（2）條件信息整合與聯(lián)想

由條件 ① 中的圓內(nèi)接四邊形 ABCD ，可以聯(lián)想到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；由條件 ② 中邊相等，可以聯(lián)想等邊之間的轉(zhuǎn)換、邊角轉(zhuǎn)換，構(gòu)造等腰三角形、全等三角形或者相似三角形等；單看條件 ③ 的角相等，無(wú)法聯(lián)系到已學(xué)知識(shí)，若把條件 ① 和 ③ 進(jìn)行組合，則聯(lián)想到等角轉(zhuǎn)換，例如圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角、圓周角相等等結(jié)論.

2.2 分析結(jié)論

第一小題是要求 ∠ABD 的度數(shù)，這個(gè)角是圓周角，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到圓周角定理，順著這個(gè)思路學(xué)生很快可以求出 ∠ABD 的度數(shù).

第二小題第 ① 問(wèn)求 EF//BC ，證明平行要用到平行線的判定與性質(zhì)，涉及角度問(wèn)題.此時(shí)學(xué)生可通過(guò)角度轉(zhuǎn)換，聯(lián)想圓內(nèi)接四邊形中有關(guān)角的一些性質(zhì)進(jìn)行證明.例如，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角以及平行線的判定方法即可得出結(jié)論，且證明方式有多種.

第二小題第 ② 問(wèn)要證明 EF=BD ，證明邊相等時(shí)，若兩邊在一個(gè)三角形中，可證明這個(gè)三角形為等腰三角形；若不在一個(gè)三角形中，可通過(guò)構(gòu)造全等三角形或相似三角形等方法，從多維度思考.

2.3 圖形分析

本題主要以圓、圓內(nèi)接四邊形以及三角形為背景.圓是軸對(duì)稱圖形，具有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸和一個(gè)中心點(diǎn)，其特殊性使得圓的性質(zhì)對(duì)其內(nèi)接四邊形產(chǎn)生了影響，衍生出了一些特殊性質(zhì)，例如圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、外角等于內(nèi)對(duì)角等.

圓周角也有其特性，圓內(nèi)的三角形可以利用這些特性和定理進(jìn)行相關(guān)證明，特別是三角形相似性證明會(huì)經(jīng)常用到，這些相似模型包括A字型相似、子母型相似、8字型相似等.如果同學(xué)們能夠熟練掌握這些模型的應(yīng)用，那么在考試中就可以快速分析這類題目，進(jìn)而完成問(wèn)題的解答.

3解法生成

根據(jù)以上三個(gè)角度的分析，這道中考題的解法自然呈現(xiàn)出來(lái).因第（1）題主要考查圓的基本性質(zhì)，學(xué)生解決起來(lái)比較容易，本文就不再贅述.我們從第（2）題開(kāi)始探究解法的生成.

3.1 試題第（2）題第 ① 問(wèn)解法

利用求證結(jié)論 EF//BC ，逆推生成解題思路，即：證明兩直線平行找角的關(guān)系，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)以及“ ∠AFE=∠ADC ”這一條件進(jìn)行推導(dǎo)，解答如下：

證法1 如圖2，延長(zhǎng) AB 至 M

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，所以 ∠CBM=∠ADC .

又因?yàn)?∠AFE=∠ADC

所以 ∠AFE=∠CBM

所以 EF//BC

此題也可不添加輔助線，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)性質(zhì)證明兩直線平行.

證法2 如圖3，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，

所以 ∠ADC+∠ABC=180^° 又因?yàn)?∠AFE=∠ADC ，所以 ∠AFE+∠ABC=180^° 所以 EF//BC

3.2 試題第（2）題第 ② 問(wèn)解法

該問(wèn)難度較大，與前題形成難度梯度，對(duì)學(xué)生的圖形構(gòu)造能力、知識(shí)聯(lián)想遷移能力及多維度分析能力要求較高.在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行綜合分析，分別從結(jié)論、條件、知識(shí)建構(gòu)能力等多維度進(jìn)行思考，探究多種證明方法以解決問(wèn)題，最終使思維得到生長(zhǎng).

（1）從結(jié)論思考生成解法

從平行線出發(fā)，通過(guò)延長(zhǎng)平行線，構(gòu)造8字型或者A字型相似三角形.從需證的結(jié)論 EF=BD 進(jìn)行思考，可以構(gòu)造相似三角形證明比例相等，然后利用AE=AC 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得到結(jié)論.

生成1 證明兩次相似

如圖4，延長(zhǎng) EA，CB 交于點(diǎn) G ，由 EF//BC ，得到 1

（2

如圖5，易證 ΔACG～ΔBDG ，得到0

又因?yàn)?AE=AC ，所以 （204號(hào) 即 EF=BD

生成2 構(gòu)造A字型相似，旋轉(zhuǎn)型相似如圖6，過(guò)點(diǎn) D 作 DM//EF ，交 AF 于點(diǎn) M ，則

如圖7，易證 ΔMDB～ΔDAC ，得到 ，結(jié)合 ①② ，可證 EF=BD ：

（2）從條件出發(fā)生成解法

構(gòu)造平行線，利用夾在平行線間的弦長(zhǎng)相等，得到四邊形DHBC為等腰梯形，從而 CH=BD .再構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得到結(jié)論.

生成3 構(gòu)造全等三角形

如圖8，過(guò)點(diǎn) D 作 DH//EF ，交圓于點(diǎn) H ，連接AH，CH ，則 BH=CD （夾在平行線間的弦長(zhǎng)相等），故四邊形BCDH為等腰梯形，則 CH=BD ：

如圖9，易證 ΔAEF?ΔACH ，則 EF=CH ，可證 EF=BD

（3）利用三角函數(shù)生成解法

在中學(xué)階段，對(duì)于銳角或直角三角形，可以利用三角函數(shù)求邊的長(zhǎng)度，以及使用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或正切函數(shù)得到相等的比例式，再通過(guò)等量轉(zhuǎn)換進(jìn)行求解.

如圖10，在 ΔAEF 中，由正弦定理： .因?yàn)?AE=AC ∠AFE=∠ADC 所以 因?yàn)? . ，其中 R 為圓的半徑，所以 sin∠EAF，而 sin∠BAD = ，可證 EF=BD

4結(jié)語(yǔ)

中考中的幾何題，素材一般來(lái)自教材母題，往往以學(xué)生熟悉的幾何模型為模板進(jìn)行拓展.因此，追根溯源本身就是一種思維生長(zhǎng)，解答幾何題時(shí)，可從條件、結(jié)論、圖形三個(gè)方面入手分析相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行信息整合、知識(shí)串聯(lián)，從而尋求破解之路.通常情況下，以圓為背景構(gòu)建的幾何綜合題，常與相似三角形模型結(jié)合.在解題時(shí)，要關(guān)注模型特征，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中的邊、角等基本要素進(jìn)行推導(dǎo)，化繁為簡(jiǎn).在平時(shí)教學(xué)中，要結(jié)合實(shí)例解析歸納，思考圓在幾何證明中，常常遇到的一些相似問(wèn)題，總結(jié)出同類問(wèn)題的本質(zhì)和解題思路.通過(guò)對(duì)同類問(wèn)題的總結(jié)與歸納，不僅可以幫助學(xué)生掌握解題方法，還可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系和共性，從而更好地理解幾何知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

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