圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容具有較強(qiáng)的可操作性，適合以實(shí)驗(yàn)方式教學(xué)?？茖W(xué)合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是確保學(xué)生深度參與實(shí)驗(yàn)并達(dá)到預(yù)期目標(biāo)的基礎(chǔ)，為引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)方式探究紙杯展開(kāi)圖的幾何性質(zhì)，提升抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，增強(qiáng)實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)、合作精神、審美素養(yǎng)等，教師基于以下原則設(shè)計(jì)“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

一、以貼近生活為原則選取實(shí)驗(yàn)素材

教師選用日常生活中的常見(jiàn)材料作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材，有助于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離。

在“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，教師選用紙杯、絲帶、硬紙板、水、計(jì)時(shí)器等材料構(gòu)建實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)測(cè)量和裁剪紙杯，探究圓臺(tái)（截頭圓錐）的幾何性質(zhì)，并通過(guò)紙杯水流實(shí)驗(yàn)建構(gòu)函數(shù)模型，鞏固運(yùn)用函數(shù)知識(shí)。絲帶可用于測(cè)量紙杯\"底圓\"和\"頂圓”周長(zhǎng)及側(cè)面上的母線(xiàn)長(zhǎng)度。硬紙板可被切割成不同形狀，用于制作錐體模型、間接測(cè)量紙杯不同高度的橫截面積及側(cè)面展開(kāi)圖面積。水、量杯、計(jì)時(shí)器在紙杯水流實(shí)驗(yàn)中用于注水和計(jì)時(shí)，收集水位隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)。另外，膠帶、剪刀等輔助工具用于固定實(shí)驗(yàn)材料、將實(shí)驗(yàn)材料裁剪成特定形狀等。

二、以多元融合為原則組織實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)不僅關(guān)乎數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還涉及實(shí)驗(yàn)操作、創(chuàng)意設(shè)計(jì)等維度。教師對(duì)應(yīng)多維目標(biāo)設(shè)計(jì)多元融合的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的跨學(xué)科思維，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

在“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生不僅可以通過(guò)動(dòng)手操作印證抽象的幾何概念，還可以通過(guò)創(chuàng)意表達(dá)發(fā)揮創(chuàng)新潛能。例如，在探究紙杯體積實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生要運(yùn)用幾何知識(shí)計(jì)算“底圓”周長(zhǎng)、“頂圓”周長(zhǎng)、圓臺(tái)高以及側(cè)面積、底面積等，要運(yùn)用代數(shù)方法推導(dǎo)和表達(dá)相關(guān)計(jì)算公式。又如，在水流實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生要學(xué)會(huì)觀察流體速度隨杯內(nèi)水面垂直高度變化等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，并將實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題做進(jìn)一步研究。具體來(lái)說(shuō)，在水流實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生需要將紙杯視作圓臺(tái)幾何模型，先計(jì)算其側(cè)面積和體積（幾何與代數(shù)知識(shí)），然后在紙杯底面中心打孔，注水后觀察和記錄紙杯中水位隨時(shí)間變化的相關(guān)數(shù)據(jù)（科學(xué)探究素養(yǎng)），最后利用數(shù)據(jù)分析工具繪制“水位-時(shí)間\"圖象（數(shù)據(jù)處理與建模）。在完成水流實(shí)驗(yàn)并掌握?qǐng)A臺(tái)體積計(jì)算方法后，為引導(dǎo)學(xué)生遷移運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，教師可以安排“設(shè)計(jì)花壇并估算土方量\"實(shí)踐任務(wù)，要求學(xué)生先根據(jù)景觀設(shè)計(jì)要求和場(chǎng)地實(shí)際情況，畫(huà)出圓臺(tái)形花壇的剖面圖（數(shù)學(xué)與美術(shù)融合的創(chuàng)意設(shè)計(jì)），再利用剛剛掌握的圓臺(tái)體積公式計(jì)算花壇所需土方量（幾何與代數(shù)知識(shí)的遷移運(yùn)用），最后結(jié)合園藝與工程因素?cái)M訂施工方案并匯報(bào)（實(shí)踐能力與表達(dá)能力的綜合訓(xùn)練）。

三、以循序漸進(jìn)為原則設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程要按照學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)基礎(chǔ)，由淺入深、循序漸進(jìn)地展開(kāi)。如果各實(shí)驗(yàn)步驟涉及的概念跨度過(guò)大，就容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生迷茫感與挫敗感，不利于實(shí)驗(yàn)的推進(jìn)。教師只有先讓學(xué)生在初步操作和直觀感知中獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識(shí)，再通過(guò)討論、推理、驗(yàn)證、歸納、反思等環(huán)節(jié)，逐步將感性認(rèn)識(shí)提升為理性認(rèn)知，才能保證學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與知識(shí)結(jié)構(gòu)同步升級(jí)，從而更好地達(dá)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)。以探究紙杯體積實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)為例，教師可以將實(shí)驗(yàn)探究任務(wù)拆分為如下四個(gè)實(shí)施步驟。

第一步“直觀感知”，主要任務(wù)是觀察與測(cè)量。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察紙杯的形狀，明確它是一個(gè)圓臺(tái)形物體，也就是被截去頂端的圓錐體，然后引導(dǎo)學(xué)生用直尺測(cè)量紙杯的幾個(gè)基本尺寸（如圖1），包括上底（較大底面）半徑 R 、下底（較小底面）半徑 r ！圓臺(tái)高度 h 等。通過(guò)初步觀察和測(cè)量，學(xué)生能推測(cè)出圓臺(tái)（紙杯）的上底半徑、下底半徑和高都是影響其體積大小的因素。

第二步“直觀認(rèn)識(shí)”，主要任務(wù)是動(dòng)手拆分與特征觀察。教師要指導(dǎo)學(xué)生把紙杯的側(cè)壁與底面分離，然后將側(cè)壁沿豎直方向（母線(xiàn)）剪開(kāi)并鋪平，形成一個(gè)“扇環(huán)\"形的平面圖（如圖2）。學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：紙杯側(cè)壁展開(kāi)圖并非普通的扇形，而是由兩個(gè)同心扇形去掉重疊部分所形成的“扇環(huán)”；“扇環(huán)”的內(nèi)外弧長(zhǎng)（ L₂ 和 L₁ ）分別等于紙杯較小底面周長(zhǎng)和較大底面周長(zhǎng)。這樣的探究過(guò)程能讓學(xué)生直觀地理解圓臺(tái)側(cè)面的幾何特征。

第三步“建模準(zhǔn)備”，主要任務(wù)是明確幾何關(guān)系。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)測(cè)量等方法，驗(yàn)證 ^…L₂=2πr，L₁= 2πR^′ ”，并明確“扇環(huán)”的寬度 ξ_l 等于圓臺(tái)母線(xiàn)的長(zhǎng)度。同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確紙杯的形狀本質(zhì)上是一個(gè)大圓錐截掉上部分小圓錐所形成的圓臺(tái)，為下一步公式推導(dǎo)做鋪墊。

第四步“公式推導(dǎo)”，主要任務(wù)是用“圓錐體積相減法\"推導(dǎo)圓臺(tái)體積公式。教師可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)“圓臺(tái)體積 大圓錐體積－小圓錐體積”，自主探究圓臺(tái)體積公式。學(xué)生可以先在導(dǎo)學(xué)單上延長(zhǎng)圓臺(tái)圖的母線(xiàn)，讓圓臺(tái)\"恢復(fù)\"為一個(gè)大圓錐，設(shè)定小圓錐和大圓錐的高度分別為 h₁ 和 h₁+h ，然后計(jì)算兩個(gè)圓錐的體積，得出 ， ，根據(jù)半徑與高度成比例即=?+h 得出 最后根據(jù) ，將 h₁ 代入后化簡(jiǎn)得 （2號(hào)

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)逐步推導(dǎo)，清晰地認(rèn)識(shí)到圓臺(tái)體積公式的推導(dǎo)本質(zhì)上是“大圓錐體積－小圓錐體積\"的幾何思路。

四、以開(kāi)放探究為原則深化問(wèn)題設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)如果過(guò)分拘泥于標(biāo)準(zhǔn)答案，就容易掩蓋探究過(guò)程和結(jié)果的多樣性，不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。教師要把握實(shí)驗(yàn)問(wèn)題設(shè)計(jì)的開(kāi)放性和探究性，尊重學(xué)生的個(gè)人見(jiàn)解，為他們提供持續(xù)嘗試、自由表達(dá)的探索空間，鼓勵(lì)其差異化探究，在實(shí)踐與反思中積累經(jīng)驗(yàn)、生成智慧。

在水流實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，教師可以設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題：“如果在紙杯底部開(kāi)孔，水從不同高度流出的速度、流盡的時(shí)間會(huì)有規(guī)律嗎？如果有，是什么規(guī)律呢？”這個(gè)問(wèn)題具有較強(qiáng)的探究性和開(kāi)放性，學(xué)生可以自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案。學(xué)生常常通過(guò)以下步驟探究：第一步“猜測(cè)”，即根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)提出水流速度可能與水面高度有關(guān)的假設(shè)，如水位越高，流速越快；第二步“設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)”，在紙杯底部中心打一個(gè)讓水可以自然流出的小孔，每次試驗(yàn)開(kāi)始前，先向杯中注水至預(yù)定的同一初始刻度（如10厘米），再啟動(dòng)計(jì)時(shí)器，每次試驗(yàn)按固定時(shí)間間隔（如流水5秒后、流水10秒后、流水15秒后等）分別讀出并記錄剩余水的水位高度，直至水流盡；第三步“收集數(shù)據(jù)與繪制曲線(xiàn)”，即通過(guò)實(shí)際操作收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制“水位-時(shí)間\"變化曲線(xiàn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)水位隨時(shí)間下降的趨勢(shì)并非勻速，而是逐漸減緩；第四步“建立模型”，為近似描述水位高度 h 隨時(shí)間 χ_t 動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，學(xué)生把讀到的“時(shí)間 χ_t （秒）-水位 h （厘米）\"數(shù)據(jù)整理到表格中，以 χ_t 為橫軸、 h 為縱軸在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)、連線(xiàn)作圖。曲線(xiàn)顯示，剛開(kāi)始水位下降最快，隨著時(shí)間的推移，水位下降速度越來(lái)越慢，也就是說(shuō)，水位降低呈“先快后慢”的變化趨勢(shì)。

通過(guò)上述探究，學(xué)生能理解每一時(shí)刻的水量 V 可以用圓臺(tái)體積公式計(jì)算，而水位降低對(duì)應(yīng)體積減小，形成動(dòng)態(tài)函數(shù)關(guān)系。同時(shí)，學(xué)生能感悟到“模型近似”的思維，即真正的流體流動(dòng)是連續(xù)而復(fù)雜的，我們可以通過(guò)分段近似、積分思想簡(jiǎn)化問(wèn)題，獲得逼近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)表達(dá)。

五、以實(shí)踐應(yīng)用為原則遷移實(shí)驗(yàn)所得

教師可以設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)，讓學(xué)生把實(shí)驗(yàn)所得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題解決中，為學(xué)生提供學(xué)以致用的機(jī)會(huì)。

“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完成后，教師可以布置“設(shè)計(jì)花壇并估算土方量\"實(shí)踐任務(wù)，先組織學(xué)生實(shí)地測(cè)量校園內(nèi)圓臺(tái)形花壇內(nèi)部的“底面\"半徑、“頂面\"半徑、高度等參數(shù)并拍照記錄，回到教室后，引導(dǎo)學(xué)生將測(cè)量結(jié)果代人圓臺(tái)體積公式，計(jì)算花壇的容積，然后利用容積數(shù)據(jù)估算所需的土方量或土壤重量等數(shù)據(jù)，最后結(jié)合土方實(shí)際運(yùn)輸和種植需求等因素，發(fā)現(xiàn)計(jì)算數(shù)值并不等于實(shí)際用量，形成“理論計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用之間可能存在差異”“計(jì)算為實(shí)際問(wèn)題解決提供合理依據(jù)\"等認(rèn)識(shí)。在測(cè)量和計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)不僅僅是抽象的符號(hào)，更是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，從而切身感受到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。

“紙杯”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一次教學(xué)嘗試，教師把抽象的圓臺(tái)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)橛腥さ膶?shí)踐探究活動(dòng)，充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和創(chuàng)造熱情。學(xué)生在實(shí)踐探索中逐步學(xué)會(huì)抽象幾何模型并準(zhǔn)確求解，增強(qiáng)了邏輯推理與數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性；在多次討論與測(cè)試中不斷發(fā)展合作與溝通能力，形成集思廣益、互相支持的團(tuán)隊(duì)精神；面對(duì)操作失誤或計(jì)算偏差時(shí)持之以恒地改進(jìn)方案，磨煉了堅(jiān)韌不拔的品質(zhì)。

（作者單位：麻城市第六初級(jí)中學(xué)）