問(wèn)題的提出

基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）的新課程教學(xué)已實(shí)施多年。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性，倡導(dǎo)構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，注重學(xué)習(xí)的連貫性與思維的連續(xù)性，明確了單元教學(xué)設(shè)計(jì)的重要地位。通過(guò)單元教學(xué)設(shè)計(jì)，教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握能力得到顯著提高，教學(xué)的全局意識(shí)也有所增強(qiáng)。然而，受教材知識(shí)一般以線(xiàn)性方式呈現(xiàn)這一特征的影響，在課時(shí)落實(shí)過(guò)程中，教師的教學(xué)常常又回歸到知識(shí)點(diǎn)的碎片化狀態(tài)，知識(shí)之間的聯(lián)系變得松散，教學(xué)行為呈現(xiàn)出“雖有整體意識(shí)，但缺乏整體行動(dòng)”的割裂局面。如何在較小的知識(shí)單元，甚至具體的課時(shí)教學(xué)中，持續(xù)體現(xiàn)知識(shí)的整體性，凸顯知識(shí)間的潛在聯(lián)系，已成為落實(shí)單元設(shè)計(jì)理念的關(guān)鍵所在。筆者在課時(shí)教學(xué)中深入挖掘知識(shí)的“來(lái)”“去”關(guān)系，積極強(qiáng)化課時(shí)內(nèi)知識(shí)及課時(shí)間知識(shí)的聯(lián)系，并在課時(shí)知識(shí)的小結(jié)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以此提升單元教學(xué)效果。

課時(shí)教學(xué)的基本認(rèn)識(shí)

新課標(biāo)致力于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，提出“三會(huì)”的高標(biāo)準(zhǔn)要求，這就意味著要明晰知識(shí)的來(lái)龍去脈和前后聯(lián)系，將知識(shí)系統(tǒng)化，形成知識(shí)鏈條，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的鏈?zhǔn)剿季S、發(fā)散思維和批判性思維。

知識(shí)從何而來(lái)？又將走向何方？新課標(biāo)在各個(gè)環(huán)節(jié)均有相關(guān)提示與說(shuō)明。以“直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系”一課為例，在本課時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師可借助長(zhǎng)方體作為載體，運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的基本性質(zhì)，歸納并證明相關(guān)定理，從而幫助學(xué)生樹(shù)立空間觀念。又如“空間向量及其應(yīng)用”這一單元，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比平面向量的方法來(lái)研究空間向量。新課標(biāo)還強(qiáng)調(diào)融入數(shù)學(xué)史，闡述立體幾何的發(fā)展歷程，要求利用組合體的性質(zhì)和度量解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，并建議選擇部分典型問(wèn)題作為探究活動(dòng)課的主題，從而幫助學(xué)生理解和掌握?qǐng)D形的幾何性質(zhì)。由此，歸納出新課程教學(xué)基本認(rèn)識(shí)并加以可視化（見(jiàn)圖1）。

依據(jù)新課標(biāo)精神，我們能夠從“類(lèi)比思維、現(xiàn)實(shí)情境、直觀感知、操作、論證、度量”等多個(gè)維度探尋知識(shí)和思維的來(lái)源與去向；借助探究活動(dòng)深化對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)知，通過(guò)綜合應(yīng)用強(qiáng)化知識(shí)的遷移功能，彰顯知識(shí)在新情境下的創(chuàng)新價(jià)值。

三、展現(xiàn)知識(shí)“來(lái)處”的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）從單元整體思維的來(lái)處出發(fā)進(jìn)行構(gòu)思

立體幾何教學(xué)中的知識(shí)與思維方式可類(lèi)比上位的平面幾何教學(xué)，線(xiàn)面位置的教學(xué)也可類(lèi)比線(xiàn)線(xiàn)位置的教學(xué)等。通過(guò)類(lèi)比，學(xué)生不僅能夠習(xí)得概念、規(guī)則、定理、公式、知識(shí)載體等顯性知識(shí)，還能對(duì)典型的研究方法與思路、知識(shí)的拓展與延伸、數(shù)學(xué)思想方法等隱性知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化，進(jìn)而構(gòu)建出基于單元整體的直線(xiàn)與平面位置關(guān)系課時(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，具體如圖2所示。

因此，在“直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系”課時(shí)教學(xué)中，要持續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比，讓學(xué)生在類(lèi)比過(guò)程中掌握所需的知識(shí)與方法，逐步形成立體幾何學(xué)習(xí)的基本流程和思維模式，切實(shí)落實(shí)“既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的新課標(biāo)理念。

（二）課時(shí)教學(xué)時(shí)知識(shí)的來(lái)處設(shè)計(jì)

1.新知識(shí)引入

在課時(shí)教學(xué)中，教師可通過(guò)類(lèi)比、現(xiàn)實(shí)情境、直觀感知、操作體驗(yàn)等方式引入教學(xué)知識(shí)，這些引入視角更貼合學(xué)生實(shí)際，便于學(xué)生理解接受。例如，在引入線(xiàn)面位置關(guān)系時(shí)，設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

類(lèi)比性問(wèn)題：我們已知的空間直線(xiàn)有幾種位置關(guān)系？其分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是什么？類(lèi)似的，空間直線(xiàn)與平面又存在幾種位置關(guān)系？

情境性問(wèn)題：教室窗框所在的直線(xiàn)與教室各個(gè)墻壁所在平面有幾種位置關(guān)系？

感知性問(wèn)題：如圖3，正方體中所有棱和對(duì)角線(xiàn)與底面 ABCD 有幾種位置關(guān)系？

操作性問(wèn)題：以書(shū)桌為平面、筆為直線(xiàn)，通過(guò)不同的擺放方式，你認(rèn)為直線(xiàn)與平面有幾種位置關(guān)系？它們的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是什么？請(qǐng)給出相應(yīng)的定義。

這些問(wèn)題基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，每個(gè)學(xué)生都能找到思考的切入點(diǎn)，擁有自己的感受和體驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題提出一實(shí)際觀察一直觀感受一操作模型”的過(guò)程，為建立圖形概念、準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)定義做好充分準(zhǔn)備。這種由“總”到“分”、從具體到抽象、層層深入的方式，更易激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性，讓學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)主題。

2.新知識(shí)鋪墊

對(duì)于抽象程度較高的知識(shí)，教師在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會(huì)，通過(guò)不斷滲透讓學(xué)生在論證過(guò)程與度量需求中體會(huì)知識(shí)研究的邏輯必要性與可行性，同時(shí)分散教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加順暢。

在直線(xiàn)與平面性質(zhì)定理的教學(xué)中，輔助平面是教學(xué)難點(diǎn)，需要在教學(xué)過(guò)程中逐步滲透、鋪墊，學(xué)生才能體會(huì)其“借面找線(xiàn)，降維轉(zhuǎn)化”的價(jià)值。為此，教師可在直線(xiàn)與平面判斷定理的形成與證明過(guò)程中穿插相關(guān)內(nèi)容。例如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究判定定理的不同證明方法（見(jiàn)圖4）。

假設(shè)直線(xiàn) a 與平面 a 相交，記 a∩a=P 。因?yàn)?a//b ，所以 Δ_a 、 b 可以確定一個(gè)平面，記為 β ○顯然 a∩β=b 。

因?yàn)椋?P∈a 所以 P∈β 又因?yàn)?a∩a=P ，所以 P∈α_c 0 所以 P∈b ，即 a∩b=P ，與a//b矛盾，故alla。

通過(guò)讓學(xué)生探索不同的證明過(guò)程，在形成論證思路的過(guò)程中，體會(huì)輔助面的構(gòu)造策略，以及輔助面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的降維轉(zhuǎn)化功能，為線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)埋下伏筆，同時(shí)也明確輔助面的功能定位。

在線(xiàn)面平行之后為何要研究線(xiàn)面垂直？從知識(shí)關(guān)聯(lián)角度來(lái)看，在“線(xiàn)面位置關(guān)系”這一大概念下，平行與垂直是并列知識(shí)，二者融合可形成新的下位知識(shí)直線(xiàn)與平面的距離。而下位知識(shí)又會(huì)反過(guò)來(lái)促使學(xué)生對(duì)上位知識(shí)一直線(xiàn)與平面垂直展開(kāi)研究?；趫D5的思路，設(shè)計(jì)如下基于度量需求的研究性問(wèn)題：如圖6，在正方體中， EF，B₁C₁ 都和平面 ABCD 平行，如何區(qū)分？你認(rèn)為需要做哪些研究？

開(kāi)放性問(wèn)題有助于激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，促使學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題，是推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿?。開(kāi)放題思維發(fā)散性強(qiáng)，通過(guò)對(duì)不同解題過(guò)程的探索，學(xué)生能夠從多個(gè)層面加深對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)與感悟，強(qiáng)化對(duì)所學(xué)知識(shí)和基本圖形價(jià)值的整體認(rèn)識(shí)。尤其是，在不同學(xué)習(xí)階段對(duì)知識(shí)與基本圖形的開(kāi)發(fā)利用，更能幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟知識(shí)的來(lái)龍去脈。

【例1】在正方體 ABCD//B₁C₁D₁ 中，

（1）在線(xiàn)段 BD 上是否存在點(diǎn) E ，使 C₁E// 平面AB₁D₁ ？（線(xiàn)面平行判斷新課）

（2）如果 4，CE與平面ABD位置關(guān)系如何？請(qǐng)給出相關(guān)證明。在線(xiàn)段 BD 上滿(mǎn)足 C₁E// 平面 AB₁D₁ 的點(diǎn)有多少？（線(xiàn)面平行判斷作業(yè)）

對(duì)于問(wèn)題（1），多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn) B 、 D 兩點(diǎn)，以及 BD 的中點(diǎn)，并給出證明過(guò)程。該問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生在變化的情境中理解判定定理的關(guān)鍵一一如何尋找平行線(xiàn)，既可以找已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，也可以構(gòu)造平行關(guān)系來(lái)尋找。其中，中點(diǎn)的作用尤為重要，充分體現(xiàn)了尋找平行線(xiàn)的主動(dòng)性，以及借面找線(xiàn)的降維轉(zhuǎn)化思想，再次為性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)埋下伏筆。當(dāng)學(xué)生將 B /D 兩點(diǎn)和中點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，思維會(huì)得到進(jìn)一步提升，認(rèn)識(shí)到整個(gè)直線(xiàn) BD 上的點(diǎn)都滿(mǎn)足條件。

問(wèn)題（2）有一定難度，學(xué)生出現(xiàn)了如下解法：

教師讓學(xué)生課后深入思考，嘗試分析研究方向和重點(diǎn)，下節(jié)課展示研究問(wèn)題。由此，引出線(xiàn)面垂直研究的必要性，同時(shí)也為后續(xù)距離定義的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

四、突出知識(shí)“去向”的教學(xué)策略

依據(jù)“直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系”所在單元“空間直線(xiàn)與平面”的教學(xué)要求與內(nèi)容分析，結(jié)合教學(xué)案例的經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)實(shí)踐中，可從以下幾個(gè)方面入手，強(qiáng)化知識(shí)的“去向”聯(lián)系。

（一）設(shè)計(jì)開(kāi)放題，豐富知識(shí)的“去向”聯(lián)系

如圖7所示，連接 CE 交 ?_AB"于 M ，作 MN//BB₁"交A₁B₁"于 N， 交 AB₁"于 F ，連接C₁N 交 B₁D₁ 于 G ，連接 FG

根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 （204 0 所以 RtΔNFGΔRtΔCEC₁ 所以 ∠NGF=∠CEC₁₀ 過(guò) M 作 MT//C₁E 交 C₁N 于 T 則 ∠CEC₁=∠TMC=∠NTE ，所以 ∠NGF=∠NTM ，故而MTIIFG，所以 FG//C₁E ，所以 C₁E//AB₁D₁

還有學(xué)生通過(guò)延長(zhǎng) GF 交 CM 延長(zhǎng)線(xiàn)于 S ，或者延長(zhǎng) C₁E 交 NM 延長(zhǎng)線(xiàn)于 L 用相似或平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理完成證明的；也有學(xué)生延展平面 C₁D₁E ，尋找平面 C₁DE 與平面 AB₁D₁ 交線(xiàn)完成證明的，這里不再贅述。

能夠解答該問(wèn)題的學(xué)生，主動(dòng)構(gòu)造平面的能力得到顯著提高，尋找輔助面的意識(shí)增強(qiáng)，解題目標(biāo)更加明確，逐漸養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣。該問(wèn)題進(jìn)一步為性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)做鋪墊，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)面面平行有了直觀感知，為后續(xù)面面平行的研究奠定基礎(chǔ)。

（3） P 為 CC₁ 的中點(diǎn)，在底面 ABCD 上是否存在點(diǎn)E ，使 PE// 平面 AB₁D₁ ？若存在求出 E 的軌跡長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由。（用于面面平行新課教學(xué)）

（4）如果（3）中 E 為線(xiàn)段 BD 上的點(diǎn)，上述結(jié)論又將如何？（作為面面平行課后探究?jī)?nèi)容，在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)再次探討）

學(xué)生解答如下：

思路1：如圖8所示，學(xué)生借助（3）中 BC 與 CD 的中點(diǎn) H，L 形成的平行平面 PHL ，設(shè) PE// 平面 AB₁D₁ ，平面 C₁CE 交平面 AB₁D₁ 于，交 HL 于 K ，連接 PK ，則有PEI。平面PHL//平面 AB₁D₁ ，所以PK/l，故PE/PK，與題目相交矛盾！所以 PE 與平面 AB₁D₁ 不平行。

思路2：學(xué)生借助問(wèn)題（2）的圖形與結(jié)論 C₁E// FG ，若PE//平面 AB₁D₁ ，則必有PEIIFG，所以PEIC₁E ，與它們相交矛盾！

思路3：有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，面C₁CE 就是對(duì)角面，設(shè) A₁C₁與 B₁D₁ 交于 O_?1 ，如果PEI/平面 AB₁D₁ ，必須 PE//O₁A由等角定理易得 ∠A₁AO₁=∠C₁PE ，所以 "Rt△GEP所以A0= CE，而

，矛盾！

思路4：也有學(xué)生在對(duì)角面 ACC₁A₁ 中，延長(zhǎng) C₁E 與 O₁A ，發(fā)現(xiàn)它們是相交的。這時(shí)教師必須指導(dǎo)學(xué)生完成理論證明，做好直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的有機(jī)結(jié)合，突出形與數(shù)的雙向溝通。

問(wèn)題（3）是對(duì)問(wèn)題（1）（2）的進(jìn)一步深化，是探索與驗(yàn)證相結(jié)合的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了證明與度量的有機(jī)融合。

問(wèn)題（4）綜合運(yùn)用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行關(guān)系，充分體現(xiàn)了平行關(guān)系之間的緊密聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化。從問(wèn)題（1）（2）到問(wèn)題（3）（4）的過(guò)渡與串聯(lián)，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)培育的階段性與連續(xù)性，也反映出知識(shí)關(guān)系的復(fù)雜性。在空間向量學(xué)習(xí)階段可以重新探討問(wèn)題（4），通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)向量在解決探究性問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)。

（二）在操作尋找中厘清知識(shí)的“去向”關(guān)系

通過(guò)在正方體、長(zhǎng)方體等知識(shí)載體中探尋相關(guān)位置關(guān)系，既能增強(qiáng)學(xué)生的空間立體感，又能鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，深化學(xué)生對(duì)位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。

在垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程中，在不同階段引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正方體進(jìn)行如圖9所示的操作，有助于學(xué)生理解垂直知識(shí)的“去向”及其與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。

在線(xiàn)面垂直、三垂線(xiàn)定理、面面垂直等不同學(xué)習(xí)階段，學(xué)生從不同角度尋找垂線(xiàn)或垂面，進(jìn)一步體會(huì)了三種垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化。問(wèn)題（1）（2）讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到線(xiàn)線(xiàn)垂直是線(xiàn)面垂直和尋找垂面的起點(diǎn)，也是面面垂直的基礎(chǔ)；問(wèn)題（3）是問(wèn)題（2）的綜合應(yīng)用；問(wèn)題（4）則對(duì)學(xué)生提出了更高要求，旨在培養(yǎng)學(xué)生的概括和抽象思維能力。這些知識(shí)的“來(lái)去”關(guān)系基于圖10所示的“判斷”與“性質(zhì)”的邏輯關(guān)系建立，體現(xiàn)了充分性與必要性在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系中的重要作用。

（三）設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，挖掘知識(shí)的“去向”聯(lián)系

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)通常所需課時(shí)較長(zhǎng)，而探究性活動(dòng)靈活多樣，更適合在課時(shí)教學(xué)中穿插開(kāi)展。在教學(xué)中設(shè)計(jì)一到兩個(gè)探究性問(wèn)題，有助于聚焦學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)“以學(xué)定教”“教學(xué)合一”的目標(biāo)。探究性活動(dòng)的開(kāi)展，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)研究，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)更加全面、深入、立體，進(jìn)而增強(qiáng)知識(shí)的整體性。

以學(xué)習(xí)線(xiàn)面所成角概念為例，教材中出現(xiàn)如圖11所示的基本圖形，可從以下環(huán)節(jié)挖掘知識(shí)的“去向”聯(lián)系。

1.深入研究知識(shí)本體，全面認(rèn)識(shí)各元素關(guān)系

在學(xué)習(xí)多面體與旋轉(zhuǎn)體之后，針對(duì)上述圖形，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地提出問(wèn)題，促使學(xué)生主動(dòng)研究知識(shí)，回顧以往學(xué)習(xí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。學(xué)生提出了如下問(wèn)題：

（1）四面體 PABO 中，有多少線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直、面面垂直？有多少直角三角形？

（2）若 AB=a ， OB=b ， OP=c ，有多少對(duì)異面直線(xiàn)？所成角是多少？求所有的線(xiàn)面角、二面角大小以及各個(gè)點(diǎn)到面的距離。

（3）外接球的球心在哪里？表面積、體積是多少？?jī)?nèi)切球的表面積、體積是多少？

學(xué)生提出的這些問(wèn)題涵蓋了立體幾何的證明、度量，以及球的外接、內(nèi)切等內(nèi)容，知識(shí)豐富多樣，使學(xué)生對(duì)線(xiàn)面角基本圖形有了更全面的認(rèn)識(shí)。在這一系列探究活動(dòng)中，各個(gè)階段的知識(shí)都得到了復(fù)習(xí)鞏固，通過(guò)一張圖匯聚了立體幾何的眾多知識(shí)，充分發(fā)揮了圖形的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的整合與拓展。

2.挖掘知識(shí)形成過(guò)程中蘊(yùn)藏的其他知識(shí)

在探究線(xiàn)面角唯一性和最小性的過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，平面 α 上過(guò) A 點(diǎn)的直線(xiàn)中，（ 1）CPAB=θ （ θ 為線(xiàn)面所成角）的只有一條（射影）；（2）∠PAB∈（θ，π/2） 為兩條（對(duì)稱(chēng)）； （ 3）∠PAB= π/2 為一條（與射影垂直）。

其中，（1）體現(xiàn)了形成線(xiàn)面角的可行性；（2）體現(xiàn)了圖形的對(duì)稱(chēng)性。由此可得出射影是角平分線(xiàn)等結(jié)論，進(jìn)一步還能得到相應(yīng)三棱錐頂點(diǎn)射影是內(nèi)心等結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比又可得到垂心、外心等相似結(jié)論，充分挖掘了圖形的潛在價(jià)值，為后續(xù)幾何體的學(xué)習(xí)做好鋪墊。（3）與射影同樣具有唯一性。教師引導(dǎo)學(xué)生思考其能否用于度量斜線(xiàn)，促使學(xué)生深入研究，發(fā)現(xiàn)由于所有角均為 90^° ，無(wú)法區(qū)分，所以不能用于度量；同時(shí)還發(fā)現(xiàn)其與射影所成角也為 90^° ，從而引出三垂線(xiàn)定理及逆定理，為定理的學(xué)習(xí)提供了思路來(lái)源。

追求三個(gè)角的精確關(guān)系，得到三余弦定理：cos ∠PAB=cos （20 ∠PAO?cos∠OAB 。由三垂線(xiàn)定理及逆定理可得：當(dāng) PA 為斜線(xiàn)時(shí)，cos ∠PAB=0? COs ∠OAB= 0?∠PAB=90^°?∠OAB=90^° 。此外，通過(guò)特殊化、控制變量等方法，還可構(gòu)造出其他問(wèn)題。這一基本圖形在幾何體性質(zhì)與度量中應(yīng)用廣泛，需要教師在教學(xué)中不斷強(qiáng)化，以便充分發(fā)揮其遷移運(yùn)用的價(jià)值。

五、構(gòu)建單元知識(shí)圖譜，加強(qiáng)知識(shí)“來(lái)去”聯(lián)系

知識(shí)的“來(lái)”與“去”是一個(gè)有機(jī)整體，知識(shí)的來(lái)源往往是上位知識(shí)的延伸應(yīng)用，通常涉及多個(gè)知識(shí)的融合，或是邏輯關(guān)系的“逆”與“否”轉(zhuǎn)化過(guò)程。知識(shí)的勾連整合就是知識(shí)整體化、結(jié)構(gòu)化的過(guò)程，也是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。知識(shí)圖譜能夠直觀地展示知識(shí)之間的關(guān)系，有助于學(xué)生將離散、碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，從而提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。在課堂教學(xué)中，應(yīng)及時(shí)在小結(jié)環(huán)節(jié)明確知識(shí)之間的聯(lián)系，并隨著課時(shí)教學(xué)的推進(jìn)，逐步構(gòu)建單元知識(shí)圖譜，幫助學(xué)生形成對(duì)單元知識(shí)的整體認(rèn)知，如圖12所示（因篇幅限制僅展示部分內(nèi)容）。

單元知識(shí)圖譜是在課時(shí)教學(xué)過(guò)程中逐步豐富完善的，它依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律建立，是教師引導(dǎo)與學(xué)生自主構(gòu)建相結(jié)合的成果。這樣的知識(shí)圖譜融合了知識(shí)、方法和思想，構(gòu)建起緊密的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)教學(xué)需要，還可在圖譜中加入基本圖形、典型范例等內(nèi)容，從而進(jìn)一步豐富圖譜內(nèi)涵。通過(guò)每節(jié)課持續(xù)構(gòu)建單元知識(shí)圖譜，讓學(xué)生在知識(shí)的相互連接中體會(huì)知識(shí)的“來(lái)龍去脈”，感悟知識(shí)應(yīng)用的邏輯順序，拓寬知識(shí)理解的視角，為后續(xù)知識(shí)的遷移、擴(kuò)張與創(chuàng)新奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

六、總結(jié)與展望

強(qiáng)化課時(shí)知識(shí)的“來(lái)去”聯(lián)系，以系統(tǒng)化思維設(shè)計(jì)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，不僅能將零散的課時(shí)內(nèi)容串聯(lián)成連續(xù)發(fā)展的知識(shí)鏈條，還能顯著增強(qiáng)知識(shí)間的互動(dòng)關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的思維在知識(shí)的融通中實(shí)現(xiàn)向廣度與深度的拓展。在這一過(guò)程中，學(xué)習(xí)不再是孤立知識(shí)點(diǎn)的機(jī)械堆砌，而是通過(guò)知識(shí)的溯源與延伸，充分展現(xiàn)學(xué)科知識(shí)的整體性與連通性。這種教學(xué)實(shí)踐促使單元教學(xué)從教師的理論認(rèn)知層面，切實(shí)轉(zhuǎn)化為可操作、可感知的課堂行動(dòng)與學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓知識(shí)體系真正在師生的協(xié)同建構(gòu)中煥發(fā)生命力。

借助開(kāi)放性問(wèn)題創(chuàng)設(shè)與探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展，將多元知識(shí)整合于同一學(xué)習(xí)載體，既能引導(dǎo)學(xué)生深度剖析載體本質(zhì)，又能促進(jìn)知識(shí)的跨界融合與遷移應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的緊密咬合。從單元教學(xué)的起始課開(kāi)始，教師便注重隱性知識(shí)的滲透，將核心研究方法與數(shù)學(xué)思想融入課堂細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建起科學(xué)的認(rèn)知框架。以此為指導(dǎo)，學(xué)生可自主探索后續(xù)知識(shí)。持續(xù)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用場(chǎng)景則使隱性知識(shí)逐步顯性化，這不僅彰顯了學(xué)科研究方法的普適價(jià)值，還深化了數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)作用，更推動(dòng)了學(xué)生形成主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系的思維自覺(jué)。

加強(qiáng)課時(shí)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，既是凸顯知識(shí)整體性的有效策略，也是串聯(lián)單元知識(shí)、構(gòu)建跨單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要紐帶，更是破解單元教學(xué)浮于表面等問(wèn)題的關(guān)鍵路徑。這種教學(xué)方式兼具理論價(jià)值與實(shí)踐可行性，將之融入日常教學(xué)，能持續(xù)強(qiáng)化知識(shí)的系統(tǒng)性，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展與深度培育提供有力支撐。值得注意的是，強(qiáng)化課時(shí)知識(shí)聯(lián)系僅是單元教學(xué)研究的一個(gè)切入點(diǎn)，未來(lái)如何進(jìn)一步深化單元內(nèi)知識(shí)的有機(jī)融合，尤其是探索不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域知識(shí)間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，仍需教育工作者在實(shí)踐中不斷探索、總結(jié)與突破。

［本文系上海市第五期名師名校長(zhǎng)工程攻關(guān)計(jì)劃侯寶坤高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)方法論視角下的教材開(kāi)發(fā)與教學(xué)實(shí)踐的行動(dòng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SMGC-202405）階段性研究成果]

［參考文獻(xiàn)]

[1]熊梅，李洪修.發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)：?jiǎn)卧獙W(xué)習(xí)的價(jià)值、特征和策略[J].課程·教材·教法，2018，38（12）：88-94.

[2]上海市教育委員會(huì)教學(xué)研究室.上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求（試驗(yàn)本）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

[3]宋曉平，王建華.數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)動(dòng)力與“教學(xué)用問(wèn)題”研究[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（03）：19-23.

[4]侯寶坤.學(xué)生在場(chǎng)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、特征與提升途徑——以高中數(shù)學(xué)為例[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2021（06）：45-50.

[5]王曉芳，杜靜.澳大利亞新南威爾士州“以學(xué)為中心”課堂觀察范式及其特征——基于“優(yōu)質(zhì)教學(xué)巡課”的考察[J].比較教育研究，2021，43（10）：70-77.

[6]戈其平，鐘艷如.基于數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)圖譜構(gòu)建[J].計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展，2019，29（03）：187-189.

[7]劉玉華，呂延芳，薛兵.設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[J].中小學(xué)班主任，2022（10）：33-35.

[8]侯寶坤.即時(shí)發(fā)問(wèn)，在對(duì)話(huà)中提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（08）： 40-43+52 業(yè)

侯寶坤上海市向明中學(xué)，正高級(jí)教師。