立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，其中的翻折問題在高考中十分常見，知識(shí)考點(diǎn)涉及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系分析，以及空間角的計(jì)算等.該類問題解析的關(guān)鍵是把握翻折前后不變的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，后續(xù)合理引入?yún)?shù)，利用方程思想構(gòu)建解題思路.

1策略講解，分步構(gòu)建

立體幾何中的翻折問題，屬于幾何動(dòng)態(tài)問題，難點(diǎn)是不變量和不變關(guān)系的提取，教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生梳理解題策略，分步構(gòu)建.

1. 1 解題策略

解析立體幾何翻折問題，有兩大解題策略，包括翻折前后“變量”與“不變量”關(guān)系的分析，翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置確定.

策略1“變量”與“不變量”分析

解析過程關(guān)注翻折前后的“變量”與“不變量”關(guān)系，重點(diǎn)是幾何位置和數(shù)量關(guān)系.建議以折痕為對(duì)稱軸，探查軸兩側(cè)的位置與數(shù)量關(guān)系，可引人對(duì)稱思想來提取等線段、等角條件.對(duì)于“不變量”，可構(gòu)建平面模型，利用平面幾何知識(shí)解析；對(duì)于“變量”，則可構(gòu)建空間模型，利用立體幾何知識(shí)分析.

策略2 翻折后的關(guān)鍵點(diǎn)確定

翻折后的關(guān)鍵點(diǎn)可作為翻折問題的切入點(diǎn)，利用運(yùn)動(dòng)變化點(diǎn)、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，關(guān)鍵點(diǎn)往往串聯(lián)了點(diǎn)、線、面的聯(lián)動(dòng).解析時(shí)可重點(diǎn)分析關(guān)鍵點(diǎn)，提取其中的位置與數(shù)量條件，再結(jié)合幾何知識(shí)建模求解.

1. 2 分步構(gòu)建

立體幾何翻折問題，需要把握其中的翻折過程，可分三步進(jìn)行構(gòu)建突破，教學(xué)中可以結(jié)合圖1來具體講解.

2 示例指導(dǎo)，過程構(gòu)建

立體幾何翻折問題探究過程中，建議結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生逐步分析，解析教學(xué)可分兩個(gè)階段：階段1，整合問題，梳理思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生明晰問題的推理過程和思路方法；階段2，過程構(gòu)建，詳解講解解題過程.具體教學(xué)中，建議結(jié)合典型問題深入講解.

例題如圖 2-① 所示的平面圖形由三個(gè)特殊圖形組成，即矩形 ADEB，RtΔABC 和菱形BFGC，AB長為 _1，BE 與 BF 相等均為 2，∠FBC 大小為 60^°. 將該平面圖形沿著線段 AB 和 BC 折起來，使得 BE 與 BF 重合在一起，再連接線段 DG ，如圖 2-②

（1）試證明圖 2-② 中的 A，C，G，D 四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，并且平面 ABC 與平面BCGE為垂直關(guān)

系；

（2）試求圖 2-② 中二面角 B-CG-A 的大小.

思路引導(dǎo)上述為幾何綜合題，以平面圖形為基礎(chǔ)通過翻折來構(gòu)建立體幾何，題設(shè)兩問，涉及了位置關(guān)系證明和二面角的求值.教學(xué)中建議參考圖3進(jìn)行思維引導(dǎo)，從問題條件出發(fā)，結(jié)合幾何定理來探索構(gòu)建.

過程構(gòu)建 （1）分析題設(shè)條件，可得 AD 與BE平行， CG 與 BE 平行，則 AD//CG ，所以可確定AD，CG 在同一平面，則 A，C，G，D 四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi).

由題設(shè)條件可知 AB 與 BE 垂直， _AB 與 BC 垂直，同時(shí)有 BE 與 BC 相交于點(diǎn) B，BE，BC 均在平面BCGE內(nèi)，可推知 _AB 垂直于平面BCGE.又因?yàn)锳B 在平面 ABC 內(nèi)，所以可證明平面ABC與平面BCGE為垂直關(guān)系.

（2）利用空間向量法求二面角的平面角，先建立模型后計(jì)算.

作 EH⊥BC ，設(shè)垂足為點(diǎn) H .因?yàn)?EH 在平面BCGE內(nèi)，平面BCGE與平面 ABC 為垂直關(guān)系，平面BCGE與平面ABC相交于 BC ，從而可推知 EH 與平面ABC垂直.而菱形BCGE邊長為 2，∠EBC 為 60^° ，可得 BH 長為 1，EH 長為 ：

如圖4所示建立空間直角坐標(biāo)系，其中 H 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?x 軸的正方向.

則

設(shè) n=（x，y，z） 為平面 ACGD 的法向量，則 可取 取 m=（0，1，0） 為平面BCGE 的法向量，則 所以二面角 B-CG-A 的大小為 30^°

解后總結(jié) 以折疊為基礎(chǔ)構(gòu)建的立體幾何問題，理清其中的折疊過程是關(guān)鍵，需要關(guān)注其中的平行與垂直關(guān)系，提起其中的折變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.另外，空間幾何中的線與線，線與面、面與面的垂直關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化，證明時(shí)可基于空間幾何的“垂直定理”來推理.

3結(jié)語

對(duì)于立體幾何折疊問題探究，教師可參考上述總結(jié)的解析策略和分步構(gòu)建方法，結(jié)合實(shí)例梳理構(gòu)建思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生整合條件，結(jié)合定理推導(dǎo)計(jì)算.教學(xué)過程中，注意學(xué)生的思維引導(dǎo)，可以合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生思考.另外，探究過程需注意方法總結(jié)，讓學(xué)生反思過程，總結(jié)解題技巧.