例題如圖1所示，點(diǎn) P 是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下說(shuō)法中不正確的是（ ）

（A）當(dāng)點(diǎn) P 在平面 BCC₁B₁ 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-AA₁D₁D 的體積不變.

（B）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， D₁P 與 A₁C₁ 所成角的取值范圍是

（C）若 F 是 A₁B₁ 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn) P 滿(mǎn)足 PF //平面 B₁CD₁ ：

（D）若點(diǎn) P 在底面 ABCD 上運(yùn)動(dòng)，則使直線

A₁P 與平面ABCD所成的角為 45^° 的點(diǎn) P 的軌跡為圓上的一段孤.

分析策略 本題作為選擇題壓軸，考查范圍較廣，難度較高.考查知識(shí)點(diǎn)包括：立體幾何中探索錐體體積的定值問(wèn)題、異面直線所成角的范圍、動(dòng)點(diǎn)的存在性、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題等.

選項(xiàng)（A），點(diǎn) P 在平面 BCC₁B₁ 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn) P 到平面 AA₁D₁D 的距離保持不變，根據(jù)四棱錐體積公式即可判斷，因此不做過(guò)多贅述.

對(duì)于選項(xiàng)（B）（C）（D），可直接建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量后，再應(yīng)用垂直或平行向量公式可解決.

如在選項(xiàng)（C）中，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)均可用坐標(biāo)表示出來(lái)，由于此時(shí)點(diǎn) P 在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，故與選項(xiàng) B 中設(shè)法不同，設(shè)P（x，y，0） ，且 x∈[0，2] ？ y∈[0，2] ，借助利用向量坐標(biāo)表示出的各線段后，不難發(fā)現(xiàn) ，再利用線面垂直判定定理，可知 AC_1⊥ 平面 B₁CD₁ ，即 是平面 B₁CD₁ 的一個(gè)法向量，現(xiàn)要想求證是否存在點(diǎn) P 滿(mǎn)足 PF //平面 B₁CD₁ 若存在，即有 · ，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)后有， x- y+1=0 ，顯然該直線與底面 ABCD 有公共點(diǎn)，因此存在點(diǎn) P 滿(mǎn)足 PF// 平面 B₁CD₁

還可利用直線、平面垂直或平行相關(guān)判定定理與性質(zhì)進(jìn)行判斷.

選項(xiàng)（B），根據(jù)異面直線所成角問(wèn)題，首先將異面兩直線所成角轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成角度，接著利用等邊三角形特征即可判斷正誤.

選項(xiàng)（C），利用線面平行判定定理，有MF//平面 B₁CD₁ MN /平面 B₁CD₁ ，再根據(jù)面面平行判定定理有兩平面平行成立，問(wèn)題解決.

選項(xiàng)（D），抓住關(guān)鍵條件 AA₁⊥ 平面 ABCD .問(wèn)題即可解決.

解題過(guò)程 選項(xiàng)（B）.

法1連接 AD₁，CD₁ 因?yàn)?AC//A₁C₁ ，

所以 D₁P 與 A₁C₁ 所成角即為 D₁P 與 AC 所成 角.

在等邊三角形 D₁AC 中，

當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 或點(diǎn) C 重合時(shí)，此時(shí) D₁P 與 AC 所成角最小，最小值即等邊三角形角度，為，

當(dāng)點(diǎn) P 為 AC 中點(diǎn)時(shí)，此時(shí) D₁P 與 AC 所成角最大，根據(jù)等邊三角形中三線合一可知，此時(shí)最大值為

所以當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， D₁P 與 A₁C₁ 所成角的取值范圍是 .選項(xiàng)（B）正確.

法2以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則 D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2）， 設(shè) P（x，2-x，0） ， ！有 ， 設(shè) D₁P 與 A₁C₁ 所成角為 θ 且 則 當(dāng) x≠1 時(shí)，

此時(shí) 當(dāng) x=1 時(shí)，此時(shí) cosθ=0 因此 ，即 選項(xiàng)（C），分別取 A₁D₁，DD₁，DC，BC，BB₁ 的中點(diǎn) M，N，G，H，E ，連接 MF，MN，NG，GH HE，EF，A₁D ，在正方體中有， MF//B₁D₁ ，因?yàn)?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0821/KYWPc2HA7YkRcR6nVvrfsG.webp"/> 平面 B₁CD₁，B₁D₁? 平面 B₁CD₁ ，所以MF//平面 B₁CD₁ .又 MN//A₁D，A₁D//B₁C 所以 MN//B₁C ，因?yàn)?MN≠ 平面 B₁CD₁，B₁C? 平面 B₁CD₁ ，所以 MN// 平面 B₁CD₁ .由于 MN∩ MF=M，MF，MN? 平面 MNGHEF ，所以平面MNGHEF//平面 B₁CD₁ .因?yàn)辄c(diǎn) P 在底面ABCD上，所以當(dāng)點(diǎn) P 在 GH 上時(shí)， PF /平面 B₁CD₁ ，因此（C）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

選項(xiàng)（D），連接 AP，AP₁ ，因?yàn)?AA₁⊥ 平面ABCD，所以 ∠APA₁ 即為直線 A₁P 與平面ABCD所成的角，此時(shí) ∠APA₁=45^° ，所以 AP=AA₁=2 .所以在平面ABCD上點(diǎn) P 的軌跡為以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上的一段弧，故選項(xiàng)（D）正確.

點(diǎn)評(píng)解決動(dòng)態(tài)幾何中的軌跡問(wèn)題一第一步：準(zhǔn)確作圖.首先整體閱讀問(wèn)題，根據(jù)題干信息準(zhǔn)確畫(huà)出幾何圖形，數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題；第二步：分析性質(zhì).抓住題目關(guān)鍵條件，分析動(dòng)點(diǎn)軌跡，常見(jiàn)的動(dòng)點(diǎn)軌跡有線段、直線、圓、弧等；第三步：解決問(wèn)題.在分析完動(dòng)點(diǎn)軌跡后，運(yùn)用幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決對(duì)應(yīng)問(wèn)題，

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，有關(guān)立體幾何問(wèn)題的考查，雖然題目復(fù)雜多樣，但其本質(zhì)都是在考查直線、平面的平行、垂直判定定理與性質(zhì)，且在解決問(wèn)題時(shí)，還可采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解決.學(xué)生可采用自己熟悉的方式解決問(wèn)題.但同時(shí)，在日常練習(xí)中，教師要向?qū)W生滲透一題多解，拓展學(xué)生思維能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.