［摘" 要］ 文章對(duì)人教社高中數(shù)學(xué)A版與B版教材中的“一元線性回歸模型”的章節(jié)結(jié)構(gòu)、知識(shí)發(fā)展過(guò)程、例題和習(xí)題設(shè)計(jì)、信息技術(shù)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等五個(gè)方面進(jìn)行了比較分析，揭示了兩個(gè)版本教材的各自特色，并基于這些比較分析，提出了針對(duì)性的教學(xué)建議．

［關(guān)鍵詞］ 線性回歸；相關(guān)系數(shù)；數(shù)據(jù)分析；教學(xué)建議

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）頒布以來(lái)，基于其編寫的高中數(shù)學(xué)教材共有7套版本. 其中，由人民教育出版社組織編寫的A版和B版教材［1］［2］（下文分別簡(jiǎn)稱A版教材和B版教材）的使用范圍最為廣泛，覆蓋了包括北京、山東在內(nèi)的20多個(gè)省份和直轄市. 本文通過(guò)比較分析A版和B版教材中的“一元線性回歸模型”相關(guān)內(nèi)容，以期為教學(xué)實(shí)踐提供有意義的參考．

教材內(nèi)容的比較分析

1. 章節(jié)結(jié)構(gòu)的比較分析

A版教材將“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”作為獨(dú)立的一章，而B(niǎo)版教材則將“概率與統(tǒng)計(jì)”的全部?jī)?nèi)容整合為一章，其中“統(tǒng)計(jì)模型”僅作為一節(jié)內(nèi)容．具體的章節(jié)安排如表1所示

可以看出，對(duì)這一部分內(nèi)容的章節(jié)順序安排，兩個(gè)版本教材的差異較大． A版教材先學(xué)習(xí)樣本相關(guān)系數(shù)，再研究一元線性回歸模型；而B(niǎo)版教材則先學(xué)習(xí)回歸直線方程，再研究相關(guān)系數(shù)． 相較之下，A版教材的編排順序更貼合新課標(biāo)對(duì)有關(guān)知識(shí)內(nèi)容的闡述；而B(niǎo)版教材則著重強(qiáng)調(diào)了當(dāng)變量間的線性相關(guān)關(guān)系較弱時(shí)，所得的回歸直線方程的實(shí)用價(jià)值是有限的，進(jìn)而引出了相關(guān)系數(shù)的概念，其邏輯性顯得更為嚴(yán)謹(jǐn)．

2. 知識(shí)發(fā)展過(guò)程的比較分析

（1）初步確定的數(shù)字特征不同

（2）“標(biāo)準(zhǔn)化”處理的詳略不同

（3）對(duì)相關(guān)系數(shù)取值范圍的處理方式不同

綜合上述，在本節(jié)內(nèi)容中，A版教材更注重知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，更強(qiáng)調(diào)知識(shí)在推導(dǎo)過(guò)程中的嚴(yán)謹(jǐn)性，對(duì)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)提出了更高的要求．相對(duì)而言，B版教材對(duì)一些難度較大、要求較高的推導(dǎo)過(guò)程，采用了適當(dāng)省略或變通的方法，更注重大多數(shù)學(xué)生的可接受性，有助于普通學(xué)校的日常教學(xué)實(shí)踐．類似的情況在其他小節(jié)中也有所體現(xiàn)，例如，在利用最小二乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，A版教材使用了大量篇幅介紹了如何通過(guò)殘差分析來(lái)檢驗(yàn)和改進(jìn)回歸模型的擬合效果，并引出了決定系數(shù)R2的計(jì)算公式；而B(niǎo)版教材則未對(duì)殘差分析等其他內(nèi)容進(jìn)行拓展．

3. 例題和習(xí)題設(shè)計(jì)的比較分析

（1）例題的比較分析

從數(shù)量來(lái)看，A版教材的例題數(shù)量較多，每一小節(jié)配有3道例題（包括問(wèn)題），內(nèi)容比較豐富．而B(niǎo)版教材則按照知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)配有1道例題，針對(duì)性較強(qiáng)．A版教材中的例題的數(shù)據(jù)都較為原始（多數(shù)習(xí)題也有這個(gè)特點(diǎn)），需要使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)．而B(niǎo)版教材中的例題和習(xí)題的數(shù)據(jù)大多經(jīng)過(guò)“修正”，便于學(xué)生進(jìn)行紙筆運(yùn)算，這有利于學(xué)生迅速掌握相關(guān)知識(shí)．

（2）習(xí)題的比較分析

從習(xí)題（包括練習(xí)，下同）數(shù)量來(lái)看，A版教材的習(xí)題共27題，B版教材的習(xí)題共12題. A版教材的習(xí)題數(shù)量明顯比B版教材多．根據(jù)新課標(biāo)對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的三個(gè)水平的要求［3］，可以大致將兩個(gè)版本的習(xí)題水平進(jìn)行如表2所示的劃分.

從表2可以看出，兩個(gè)版本的習(xí)題在水平一上的占比大致相同，而在水平二上，A版教材的習(xí)題比例略低于B版教材；至于水平三上，B版教材的習(xí)題比例明顯低于A版教材．在習(xí)題內(nèi)容方面，A版教材中與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的論述題或決策題較多，注重知識(shí)的拓展和創(chuàng)造性應(yīng)用；而B(niǎo)版教材中運(yùn)算求解的題目較多，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的培養(yǎng)．

從表3可以看出，A版教材中的習(xí)題對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)的訓(xùn)練較多，而B(niǎo)版教材中的習(xí)題則對(duì)回歸系數(shù)的訓(xùn)練較多．兩個(gè)版本都重視一元線性回歸模型的建立，都注重統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用．

4. 信息技術(shù)應(yīng)用的比較分析

新課標(biāo)指出，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響，應(yīng)重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，鼓勵(lì)學(xué)生使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件．A版和B版教材都非常重視信息技術(shù)在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的應(yīng)用，但具體的做法也明顯不同．

在本文所討論的“一元線性回歸模型”相關(guān)內(nèi)容中，A版教材主要推薦的軟件是Excel軟件和R軟件．具體方式是以旁注的形式，簡(jiǎn)單介紹了Excel軟件和R軟件在畫散點(diǎn)圖、計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)、求經(jīng)驗(yàn)回歸模型時(shí)需要用到的函數(shù)，沒(méi)有呈現(xiàn)具體的操作過(guò)程（在必修二的概率與統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容中，已經(jīng)使用過(guò)這兩個(gè)軟件）. 然而，A版教材在本章末的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)”中，較詳細(xì)地介紹了利用R軟件建立統(tǒng)計(jì)模型的具體過(guò)程． B版教材主要推薦的軟件是GeoGebra軟件（簡(jiǎn)稱GGB），并把“用信息技術(shù)求回歸方程”作為一個(gè)獨(dú)立的小節(jié)進(jìn)行呈現(xiàn). 通過(guò)圖文結(jié)合的方式，詳細(xì)展示了用GGB軟件求回歸方程的步驟，內(nèi)容通俗易懂，便于學(xué)生理解和掌握．

如果將討論范圍從本文的“一元線性回歸模型”擴(kuò)展至整套教材（僅限必修和選擇性必修內(nèi)容），我們不難發(fā)現(xiàn)，B版教材更重視信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容的融合，其應(yīng)用信息技術(shù)的場(chǎng)景（大約30余次）明顯多于A版教材（僅12次）（均不包括“一元線性回歸模型”相關(guān)內(nèi)容中的次數(shù)）. 從推薦使用的軟件來(lái)看，A版教材根據(jù)不同的知識(shí)內(nèi)容，介紹使用不同的軟件工具，如GGB軟件、Excel軟件、R軟件以及圖形計(jì)算器等． B版教材除了在少數(shù)場(chǎng)景介紹Excel軟件的應(yīng)用外，主要推廣GGB軟件，鼓勵(lì)學(xué)生在幾何、代數(shù)、微積分、概率統(tǒng)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用GGB，這有助于培養(yǎng)學(xué)生在信息技術(shù)方面的高階素養(yǎng)，并實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用.

5. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的比較分析

教學(xué)建議

1． 整合教材，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

不同版本的教材，具有不同的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)．除了學(xué)生使用的版本教材外，學(xué)校還應(yīng)為教師盡可能地配備其他版本的教材，以供教師能夠根據(jù)教學(xué)需求整合不同版本教材的內(nèi)容，從而優(yōu)化教學(xué)方案，提升教學(xué)成效. 以本文所探討的統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容為例，教師首先可以根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合大單元教學(xué)理念，研究確定相關(guān)系數(shù)和回歸方程的教學(xué)順序． 隨后，針對(duì)每個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，包括情境、問(wèn)題、概念、公式、例題、習(xí)題等，借鑒不同教材的處理方法，擇其優(yōu)者為我所用，以優(yōu)化教學(xué)流程和訓(xùn)練內(nèi)容．在必要時(shí)，教師還可以對(duì)其他版本的教材內(nèi)容進(jìn)行篩選和整合，作為學(xué)習(xí)資源提供給有需要的學(xué)生，以滿足其個(gè)性化學(xué)習(xí)的需求．

2． 重視信息技術(shù)在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)據(jù)分析是課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的六大核心素養(yǎng)之一，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法．概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的主要載體． 在高中階段，概率內(nèi)容所涉及的數(shù)據(jù)整理、運(yùn)算等過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，而統(tǒng)計(jì)內(nèi)容則涉及更多、更大量數(shù)據(jù)的收集、整理、運(yùn)算、處理等. 雖然僅靠傳統(tǒng)的紙筆演算也可以應(yīng)對(duì)考試，但這種方法難以真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 因此，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，我們應(yīng)高度重視信息技術(shù)的融合應(yīng)用，在充分利用教材中相關(guān)案例的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步挖掘并創(chuàng)設(shè)更多、更優(yōu)質(zhì)的應(yīng)用場(chǎng)景，鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)、實(shí)踐統(tǒng)計(jì). 我們的目標(biāo)是讓學(xué)生不僅能夠使用、愿意使用，而且樂(lè)于使用、有效使用這些信息技術(shù).

3． 認(rèn)真組織數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

史寧中教授說(shuō)過(guò)，統(tǒng)計(jì)和學(xué)生的生活很接近，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷活動(dòng)過(guò)程，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能較容易理解統(tǒng)計(jì)知識(shí)．在現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際問(wèn)題中，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息不僅是數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵步驟，也是數(shù)學(xué)建模的核心過(guò)程. 這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而且能夠加深學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的理解. 然而，在日常的課堂教學(xué)中，由于時(shí)間、場(chǎng)地等的限制，師生往往只能利用已經(jīng)整理好的數(shù)據(jù)信息構(gòu)建模型進(jìn)行推斷，使得學(xué)生難以體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的全過(guò)程．因此，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)更多的研究性學(xué)習(xí)任務(wù)，認(rèn)真組織數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，以彌補(bǔ)課堂教學(xué)實(shí)踐的不足． 在必要時(shí)，還可以在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)和選擇課題進(jìn)行研究，從而拓展學(xué)生的實(shí)踐學(xué)習(xí)途徑，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章建躍，李增滬． 普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 高存明． 普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)（B版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［3］ 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．