【摘 要】 剖析新課標(biāo)對(duì)理解的解讀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)是課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)落地的具體方式.通過學(xué)習(xí)國內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)理解的研究成果，借助“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型，分析理解的層級(jí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，并在教學(xué)實(shí)踐中探尋實(shí)現(xiàn)理解性學(xué)習(xí)的顯性化路徑.教師運(yùn)用系統(tǒng)思維設(shè)計(jì)、實(shí)施追求理解性學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，需尊重理解層級(jí)螺旋上升的規(guī)律，把握其中數(shù)學(xué)活動(dòng)、表象、形式化和構(gòu)造化等重要水平的落實(shí)，需要調(diào)研學(xué)生前擁經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)習(xí)材料，利用層次活動(dòng)觀察學(xué)生行為，及時(shí)發(fā)揮多元評(píng)價(jià)作用促進(jìn)學(xué)生個(gè)人意義建構(gòu)，以期達(dá)到發(fā)展素養(yǎng)的目的.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)；“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型；核心素養(yǎng)

隨著國內(nèi)外教育改革的不斷深化，學(xué)校教師的教學(xué)理念不斷地得以革新，有效學(xué)習(xí)的觀念也逐漸從“記憶+練習(xí)”轉(zhuǎn)向“理解+應(yīng)用”^[1]124.理解的價(jià)值得到廣泛重視，形成了“為理解而教，為理解而學(xué)”的教育思潮.數(shù)學(xué)教師需要在把握數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵基礎(chǔ)上，思考數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)中的核心素養(yǎng)指向，探尋教學(xué)如何讓“數(shù)學(xué)理解”落地的實(shí)施路徑，讓數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)成為教學(xué)的素養(yǎng)追求.

1 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）將“理解”作為行為動(dòng)詞，表述為“描述對(duì)象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”^[1]181.陳瓊^[2]124等人認(rèn)為：數(shù)學(xué)理解是學(xué)習(xí)者先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部表征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后建立新舊知識(shí)聯(lián)系的動(dòng)態(tài)過程中，打破原有的認(rèn)識(shí)平衡，將數(shù)學(xué)對(duì)象的心理表象進(jìn)行改造、整理、重組，重新達(dá)到新的平衡，以便抽取數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解.從這一觀點(diǎn)出發(fā)，可知數(shù)學(xué)理解是集過程與結(jié)果為一體的概念，本質(zhì)上強(qiáng)調(diào)建立學(xué)習(xí)者的知識(shí)體系與數(shù)學(xué)對(duì)象之間的連接，形成對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的深入認(rèn)識(shí)、靈活運(yùn)用，甚至創(chuàng)新創(chuàng)造.

呂林海^[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在理解基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，即通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解.這個(gè)定義從目標(biāo)、過程和結(jié)果三個(gè)維度明確了數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的基本內(nèi)涵.首先數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的目標(biāo)是理解數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、技能、方法，理解數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)文化，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).其次數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的過程就是構(gòu)建并發(fā)展學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程，這種具有發(fā)展性的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)節(jié)點(diǎn)間的網(wǎng)絡(luò)性聯(lián)系.隨著學(xué)生內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)的聯(lián)系不斷豐富，又促進(jìn)原有結(jié)構(gòu)聯(lián)系的強(qiáng)度加深以及結(jié)構(gòu)本身的整合和分化.最后從結(jié)果看學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的理解要盡可能反映知識(shí)應(yīng)用的情境，能夠通過自身的概括與抽象活動(dòng)達(dá)成對(duì)知識(shí)本質(zhì)屬性的理解，對(duì)已學(xué)知識(shí)產(chǎn)生有效遷移.

2 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的表現(xiàn)過程

如何將內(nèi)在的、不能直接觀察到的理解現(xiàn)象及其發(fā)展過程外顯化呢？

1994年，英國的S·Pirie和加拿大的T·Kieren提出的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型^[4]21，間接地、直觀地描述學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過程和本質(zhì).這個(gè)模型由8個(gè)不同理解水平組成（或8個(gè)不同階段），即原始認(rèn)識(shí)、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、觀察評(píng)述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造，各階段關(guān)系如圖1所示.

這8個(gè)理解水平包括了人們理解某一數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、公式、定理等）所經(jīng)歷的全過程：原始認(rèn)知是所有數(shù)學(xué)理解的出發(fā)點(diǎn)，利用具體材料、圖形、符號(hào)等進(jìn)行初始的思考活動(dòng)；繼而產(chǎn)生表象，尋找特征，以具象和個(gè)體為輸出內(nèi)容（有可能是錯(cuò)誤的）；運(yùn)用歸納將經(jīng)驗(yàn)逐步融合抽象出一般特征，形成表象；進(jìn)而能夠區(qū)別不同表象間的區(qū)別和聯(lián)系，嘗試找出關(guān)系，并能夠運(yùn)用符號(hào)等工具表達(dá)出來，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊的相關(guān)的性質(zhì)；通過抽象出一般特性和方法建立形式化的數(shù)學(xué)對(duì)象，可以從原來的表象抽離，認(rèn)知一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性；然后再次觀察和反思形式化的過程，對(duì)其本質(zhì)屬性和性質(zhì)進(jìn)行整理和組織輸出；大腦主動(dòng)將新獲得的知識(shí)與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)系，建立其邏輯有序的內(nèi)在關(guān)系，使之正當(dāng)化和確切化；當(dāng)對(duì)概念有了全面的結(jié)構(gòu)化的理解，達(dá)到融會(huì)貫通靈活運(yùn)用的程度時(shí)，主動(dòng)產(chǎn)生新的概念和問題.

Pirie和Kieren認(rèn)為，這八個(gè)水平并非直線式的發(fā)展，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、反復(fù)建構(gòu)的過程，圖2虛線框內(nèi)顯示理解水平的動(dòng)態(tài)變化過程.它具有超越性，外側(cè)理解水平包含并超越內(nèi)側(cè)水平；具有回歸性，如圖1中的回歸虛線，理解的過程并非單向由內(nèi)向外發(fā)展，回歸是理解過程不可缺少的活動(dòng)，無論在哪一級(jí)水平上，面對(duì)不能理解的問題，有必要返回到內(nèi)側(cè)水平，當(dāng)返回到內(nèi)側(cè)水平的同時(shí)也更加擴(kuò)充和加深外側(cè)水平的理解；具有跳躍性，圖1中的虛線邊界就是可以超越的，學(xué)生有能力直接使用現(xiàn)有理解進(jìn)行更高一級(jí)的理解活動(dòng).比如當(dāng)一個(gè)學(xué)生形成了概念的表象后，就有能力不再重做產(chǎn)生表象的活動(dòng)，不需要回憶具體的實(shí)例，而直接應(yīng)用表象.對(duì)于性質(zhì)認(rèn)知水平來說，表象是反映的對(duì)象，有不斷意識(shí)的必要，學(xué)生仍需要利用形成現(xiàn)有表象的活動(dòng)，以能夠關(guān)注一般性.因此，形成表象與性質(zhì)認(rèn)知水平間的邊界是“必要”的.這一特點(diǎn)說明在“超回歸”理解模型的8個(gè)水平中，數(shù)學(xué)活動(dòng)、表象、形式化和構(gòu)造化是最基本和最重要的理解水平^[4]22.

3 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的素養(yǎng)指向

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用 ^[2]1.數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容是關(guān)鍵能力、必備品格和價(jià)值觀念形成的載體，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的土壤.數(shù)學(xué)理解的達(dá)成是學(xué)生掌握“四基”“四能”的根本保證，是進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

研讀《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定，可以發(fā)現(xiàn)指向“理解”的具體表現(xiàn)有：通過數(shù)學(xué)的眼光，能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，即從具體感性到具體表象；通過數(shù)學(xué)的思維，獲得對(duì)本質(zhì)屬性的理解，運(yùn)用運(yùn)算和邏輯推理建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的形式化聯(lián)系；通過數(shù)學(xué)的語言可以簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，即建立結(jié)構(gòu)化的心智模型，主動(dòng)建模解釋現(xiàn)實(shí)世界.對(duì)比理解模型可以知道，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)理解的過程實(shí)質(zhì)上是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

當(dāng)嘗試建構(gòu)“數(shù)學(xué)理解”這樣一個(gè)復(fù)雜的心理變化過程與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)（如圖2），核心素養(yǎng)在理解性學(xué)習(xí)中就獲得了顯性化的過程.這將為教師在具體的實(shí)踐中找到落實(shí)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)路徑提供重要參考.

4 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐

下面以蘇科版七年級(jí)下冊(cè)“三角形內(nèi)角和”性質(zhì)的教學(xué)實(shí)踐為例，剖析課堂教學(xué)如何落實(shí)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí).

（一）前置作業(yè)喚起原始認(rèn)知

1.你知道三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是多少度？是確定不變的嗎？

2.小學(xué)時(shí)是怎么說明這個(gè)結(jié)論的？

3.準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片，將一個(gè)角（如圖3中的∠1）撕下拼接到另外一個(gè)角外側(cè)（比如∠2右邊），拼接后的角與原來的角是什么位置關(guān)系？

4.如果不用撕下拼接的方法，你能否畫出拼接后的這個(gè)角？

（二）操作探究形成表象

1.請(qǐng)把拼好的圖形放在一張白紙上，如圖4，將剪下的角的一邊標(biāo)記為CM，直觀感受邊CM與AB有什么關(guān)系？如何驗(yàn)證你的直觀猜想？反之，如何以AC為邊畫∠ACM=∠A？

2.如圖5，如果延長(zhǎng)邊BC，則新產(chǎn)生的∠MCN與哪個(gè)角有聯(lián)系？

（三）推導(dǎo)性質(zhì)固化形式

1.運(yùn)用先……，再……，然后……的順序?qū)⑸鲜鏊伎歼^程和同伴說一遍，理清因果關(guān)系；（如果評(píng)述有困難，請(qǐng)?jiān)儆^察圖4，5，回到拼接后的表象，觀察尋找元素間的聯(lián)系）

2.師生用文字和符號(hào)將上述因果關(guān)系寫出來；

3.還有其他作輔助的平行線的方式轉(zhuǎn)移角，來證明這個(gè)結(jié)論嗎？

（嘗試方法遷移，對(duì)平行線的性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造化理解）

證明：如圖6，過點(diǎn)A作BC的平行線MN，轉(zhuǎn)移∠B，∠C.

所以∠B=∠1，∠C=∠2，所以∠BAC＋∠B＋∠C=∠BAC＋∠1＋∠2=180°.

4.證明出來的結(jié)論與三角形的形狀有關(guān)嗎？與大小有關(guān)嗎？

任意三角形的三個(gè)內(nèi)角都滿足這個(gè)結(jié)論嗎？嘗試用符號(hào)方式總結(jié)這個(gè)性質(zhì).（經(jīng)歷兩種視角的反復(fù)觀察述評(píng)，確認(rèn)變化中的不變：三角形的三個(gè)內(nèi)角大小是不確定的，但其和是不變的，感悟變中不變的規(guī)律正是數(shù)學(xué)研究的特征）

5.三角形內(nèi)角和公式可以用來做什么？怎么用？說出你的理解，寫出公式的其他形式.

（四）構(gòu)造場(chǎng)景變式應(yīng)用

1.△ABC中，已知∠A=55°，∠B=48°，求∠C.（直接應(yīng)用性質(zhì)解決求角度問題，順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律，將新的性質(zhì)嵌入認(rèn)知體系，積累新的體驗(yàn)）

2. △ABC中，已知∠A=2∠B，∠C =48°，求∠A.（給出三角形內(nèi)角之間的特殊關(guān)系，隱含條件轉(zhuǎn)化應(yīng)用，經(jīng)歷代數(shù)式的等價(jià)變形，對(duì)形式化的結(jié)論再度固化，形成深刻描述）

（五）方法遷移創(chuàng)造歸納

1.能類比使用性質(zhì)推導(dǎo)的方法（構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)移角）解決四邊形、五邊形、n邊形的內(nèi)角和的問題嗎？

推導(dǎo)方法一：如圖7，過點(diǎn)A作AM平行于BC，交DC于點(diǎn)M.

所以∠B＋∠1=180°，∠C＋∠4=180°.

又因?yàn)椤?＋∠4＋∠D=180°，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為∠B＋∠C＋∠D＋∠DAB=" （∠B＋∠1） ＋（∠C＋∠2）＋（∠D＋∠4＋∠3） －（∠2＋∠4）=" 180°＋180°＋180°-180°=360°.

推導(dǎo)方法二：如圖8，

過點(diǎn)D作DN平行于BC，過點(diǎn)A作AM平行于BC.

所以∠B＋∠1=180°，∠C=∠5，∠2=∠3.

又因?yàn)椤?＋∠4＋∠5=180°，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為∠B＋∠C＋∠ADC＋∠DAB = （∠B＋∠1）＋∠3＋∠5＋∠4=（∠B＋∠1） ＋∠2＋∠5＋∠4 = 180°＋180°=360°.

延用利用平行線轉(zhuǎn)移角方法，從圖9中容易得到五邊形的內(nèi)角和=180°+180°+180°=540°.

2.以上用相同的方法轉(zhuǎn)移角求和的方法匯總歸納如表1.

3.你還能用什么方法解決任意多邊形的內(nèi)角和的問題？ （可以借用已證得的三角形、四邊形內(nèi)角和結(jié)論，將多邊形分割成若干個(gè)三角形或四邊形的方法）

4.多邊形的內(nèi)角和的大小與什么量相關(guān)？嘗試?yán)迷摴揭圆煌牧繛槲粗獢?shù)量編一道題目，請(qǐng)其他同學(xué)解決.

（六）小結(jié)建構(gòu)提升理解

1.回顧以上推證活動(dòng)，經(jīng)歷了什么過程，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想方法？

2.多邊形內(nèi)角和的大小依賴邊數(shù)產(chǎn)生變化且按一定的規(guī)律在變化，變化中的數(shù)量關(guān)系正是數(shù)學(xué)研究的基本內(nèi)容，你還能發(fā)現(xiàn)多邊形的組成要素間有哪些特殊的數(shù)量關(guān)系？

5 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)追求

5.1 調(diào)研前擁經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)習(xí)材料

學(xué)生的前擁經(jīng)驗(yàn)是獲得數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的前提.課前教師要利用前置作業(yè)或操作活動(dòng)調(diào)研學(xué)情，確定最近發(fā)展區(qū)后再審視學(xué)習(xí)內(nèi)容.因?yàn)榇偈箤W(xué)生達(dá)成深度理解的關(guān)鍵是做到“兩個(gè)過程”的合理性：數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性，學(xué)生思維過程的合理性，所以教學(xué)內(nèi)容的安排不但要符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯線索，即教師在理解內(nèi)容基礎(chǔ)上進(jìn)行適用學(xué)情的重組內(nèi)容，還要符合學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，即理解內(nèi)容基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有助于啟發(fā)學(xué)生思維的活動(dòng).

另外，起源于數(shù)學(xué)活動(dòng)的原始認(rèn)識(shí)和表象是數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，經(jīng)常要回到內(nèi)側(cè)水平理解中去，依靠具體經(jīng)驗(yàn)，獲得對(duì)新知識(shí)的相應(yīng)水平的理解.這就要求教師提前根據(jù)教科書提供的線索，為學(xué)生提供實(shí)物、圖、表等豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生有充分的時(shí)間對(duì)具體事物進(jìn)行操作，使他們獲得學(xué)習(xí)新知識(shí)所需要的具體經(jīng)驗(yàn)，積累生動(dòng)充分的感知表象，再通過自己的思維構(gòu)成對(duì)概念的理解，而不是通過機(jī)械地重復(fù)，記住教師所講述的那些關(guān)于概念的現(xiàn)成解釋.

上述案例中，教師提前閱讀小學(xué)相應(yīng)的章節(jié)，明確當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)過程和思考水平，再結(jié)合平行線的知識(shí)設(shè)計(jì)了環(huán)節(jié)一、二，師生利用準(zhǔn)備好的三角形紙片等材料展開操作探究活動(dòng).這個(gè)操作既以拼接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為原始認(rèn)知，又緊緊圍繞平行線的前擁知識(shí)形成表象，從而順利進(jìn)行聯(lián)想，認(rèn)同輔助線的合理性，形成新的經(jīng)驗(yàn).

5.2 設(shè)置螺旋回歸，觀察活動(dòng)過程

教師通過設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)和具備回歸性的問題，制造對(duì)話機(jī)會(huì)來觀察學(xué)生的思維過程.其一關(guān)注學(xué)生心智活動(dòng)的參與度，是否能聯(lián)結(jié)新的知識(shí)信息，擴(kuò)展和完善自身的理解；其二觀察學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的豐富度是否得到提高，能否在多變的情境中厘清本質(zhì)屬性；其三觀察學(xué)生在變化的情境中能否建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，促使其在新問題中更加靈活地應(yīng)用已有知識(shí).比如環(huán)節(jié)三和五，教師借助遞進(jìn)式的問題有意識(shí)提供反復(fù)回歸路徑，若有困難，再觀察第三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)述性質(zhì)的推證過程，明確輔助線的作用，再進(jìn)行移情體驗(yàn).在形成表象—抽象推理—建立結(jié)構(gòu)的理解過程中觀察學(xué)生的理解水平，繼而推動(dòng)理解層級(jí)的螺旋躍升.

這些有效的活動(dòng)和具備螺旋回歸性的問題有以下特征：（1）能從表象揭示本質(zhì)，把握知識(shí)的起源、底層連接、固有屬性;（2）能從抽象回歸具體，能對(duì)抽象概念進(jìn)行形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，運(yùn)用自主舉例促進(jìn)內(nèi)化和順應(yīng);（3）能從孤立建立系統(tǒng)，對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系有深刻認(rèn)識(shí)，呈現(xiàn)層次性、立體化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，特別是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn);（4）能從知識(shí)提煉思想，對(duì)知識(shí)形成、發(fā)展、應(yīng)用過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、關(guān)鍵能力、價(jià)值觀資源有明晰認(rèn)識(shí).

5.3 聚焦多維評(píng)價(jià)，獲得意義建構(gòu)

葉瀾老師認(rèn)為，有價(jià)值的課堂不但使學(xué)生獲得知識(shí)、能力和意義，更要讓學(xué)生收獲成功的情感體驗(yàn)，產(chǎn)生向前一步的求知需求，而這些意義的得來需要學(xué)生在每一節(jié)課上都能夠得到他人與自我的認(rèn)可.教師要按教學(xué)評(píng)一致性原則系統(tǒng)思考和設(shè)計(jì)，目標(biāo)設(shè)定包含評(píng)價(jià)的要素，活動(dòng)任務(wù)設(shè)計(jì)前確定評(píng)價(jià)指向，組織實(shí)施過程中體現(xiàn)多維評(píng)價(jià)，利用小結(jié)進(jìn)行學(xué)生自我意義建構(gòu)，充分體現(xiàn)評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用.

回顧案例，操作喚醒環(huán)節(jié)為學(xué)生提供熟悉的情境，給予積極的心理支持；隨后展開聯(lián)想突破經(jīng)驗(yàn)性理解水平，運(yùn)用畫平行線構(gòu)造等角，收獲知識(shí)轉(zhuǎn)場(chǎng)應(yīng)用的價(jià)值感；在環(huán)節(jié)三、五，嘗試說、一起寫、尋發(fā)散等表現(xiàn)過程實(shí)現(xiàn)同伴、師生的互評(píng)，產(chǎn)生情感聯(lián)結(jié)，助力形式化理解；最后在知識(shí)應(yīng)用遷移和結(jié)構(gòu)化的過程中逐漸搭建具備個(gè)性化特征的知識(shí)、方法、能力等網(wǎng)絡(luò)，收獲到審美性及結(jié)果性評(píng)價(jià)，形成自我認(rèn)同的閉環(huán)，同時(shí)結(jié)構(gòu)性理解躍升到遷移性理解水平^[5].

正如希爾伯特教授認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的理解是學(xué)習(xí)者內(nèi)部心理網(wǎng)絡(luò)的一部分，理解的程度是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的，智力表征的網(wǎng)絡(luò)是逐漸地從對(duì)現(xiàn)存的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)上新的信息或在以前沒有聯(lián)系的信息之間建立起新的關(guān)系而建成的，隨著網(wǎng)絡(luò)的變大和組織的更完善，理解就增長(zhǎng)了.因此高立意的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師樹立整體觀念，運(yùn)用系統(tǒng)思維設(shè)計(jì)，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)理解性上有層級(jí)發(fā)展，從經(jīng)驗(yàn)性理解上升到形式化理解，再發(fā)展到結(jié)構(gòu)性理解，實(shí)現(xiàn)遷移和創(chuàng)新，把理解性學(xué)習(xí)作為課堂教學(xué)的追求.

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作者簡(jiǎn)介 潘麗莎（1975—），女，江蘇徐州人，中學(xué)高級(jí)教師;從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.