摘"要：堅(jiān)持五育并舉、融合育人是實(shí)現(xiàn)高等學(xué)校高質(zhì)量發(fā)展的重要途徑，本文在五育融合的視域下，分析并提出“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”和五育融合理念協(xié)同育人的對(duì)策。并以條件概率為例，闡述了如何立足課程教學(xué)內(nèi)容，引用學(xué)生熟知的運(yùn)動(dòng)健身為背景創(chuàng)設(shè)概率問(wèn)題，挖掘課程育人因素，運(yùn)用“線上+線下”混合式教學(xué)模式，在課堂教學(xué)中以智育為導(dǎo)線，融合德育、體育、美育和勞育教育，實(shí)現(xiàn)全方位育人，突出理論聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)原則，提升明辨性思維能力，培養(yǎng)新時(shí)代德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人，實(shí)現(xiàn)提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；五育融合；條件概率；混合式教學(xué)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是理工類、經(jīng)管類等專業(yè)大二年級(jí)開(kāi)設(shè)的公共課程，也是大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”主要研究了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性問(wèn)題，考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的方法分析和解決生產(chǎn)生活中實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，常有三難：背公式難、運(yùn)用難和積分難。因此在教學(xué)過(guò)程中有以下痛點(diǎn)：一是學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力不足，受公共課限制，學(xué)生對(duì)課程本身不感興趣，上課抬頭率低；二是忽視學(xué)生實(shí)踐研究能力培養(yǎng)，更側(cè)重知識(shí)本身，輕實(shí)踐應(yīng)用，學(xué)生學(xué)習(xí)后不會(huì)利用其解決實(shí)際問(wèn)題；三是五育融合全方位育人工作貫徹還不充分。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”具有課程覆蓋廣、時(shí)間節(jié)點(diǎn)好和切入點(diǎn)較多的優(yōu)勢(shì)［1］。

近兩年入學(xué)的大學(xué)生大部分學(xué)習(xí)的是“人教2019A版”高中數(shù)學(xué)教材，其中概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與大學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程內(nèi)容關(guān)聯(lián)十分緊密，課程的一些基本內(nèi)容貫穿高中和大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。對(duì)于大學(xué)教師，熟稔高中新教材與大學(xué)課程的內(nèi)在聯(lián)系十分重要；對(duì)于高中教師了解課程思政研究成果，拓寬教學(xué)設(shè)計(jì)與知識(shí)應(yīng)用視野對(duì)教學(xué)和育人也十分重要。通過(guò)合理設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，既能培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)；又能幫助學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀、世界觀和價(jià)值觀，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，促進(jìn)大學(xué)和中學(xué)課程思政貫通化建設(shè)，從中學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

為了突破痛點(diǎn)問(wèn)題、實(shí)現(xiàn)課程良好的教學(xué)效果，近年來(lái)許多一線教師對(duì)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)進(jìn)行了改革創(chuàng)新。方茹、王勇等人［2］結(jié)合MOOC+SPOC+翻轉(zhuǎn)課堂的線上線下混合式教學(xué)，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。張艷、陳美蓉等人［3］在課程思政理念下，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過(guò)程教學(xué)，以問(wèn)題為先導(dǎo)，進(jìn)行“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的教學(xué)改革。本文將基于五育融合的教育理念下，分別從情境設(shè)置、教學(xué)模式、學(xué)習(xí)模式和案例設(shè)計(jì)舉例四個(gè)部分展開(kāi)混合式教學(xué)理念和教學(xué)流程。

一、五育融合的教學(xué)情境設(shè)置

真實(shí)情境的問(wèn)題設(shè)置和解決，能夠有效地將五育的要素融合其中，為五育并舉、融合育人提供了載體，使主體有可能由此確認(rèn)自己在有益、明智、健康、美妙、實(shí)在地做事。教師要善于運(yùn)用生活的五育融合力量，利用真實(shí)問(wèn)題情境引導(dǎo)五育融合課堂教學(xué)實(shí)踐，將德、智、體、美、勞自然而然地帶入課堂、帶入各種理論概念、帶入學(xué)生的學(xué)習(xí)生活與問(wèn)題解決日常［4］。

以設(shè)定日常生活、學(xué)術(shù)科研、國(guó)家發(fā)展乃至人類社會(huì)所面臨的各種問(wèn)題情境為切入點(diǎn)是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”這門公共課的一大優(yōu)勢(shì)，也是德智體美勞五育融合發(fā)展的實(shí)施路徑之一［5］。例如，在講授指數(shù)分布與方差時(shí)，對(duì)于經(jīng)管專業(yè)學(xué)生，可利用工廠某設(shè)備壽命服從指數(shù)分布這類經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)實(shí)踐能力的發(fā)展，在此課堂中融入了勞育教育。

二、“線上+線下”混合式教學(xué)模式

隨著教育教學(xué)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，顯然“線上+線下”混合式教學(xué)模式更加適合當(dāng)今與網(wǎng)絡(luò)一同成長(zhǎng)的“00”后大學(xué)生們。線上教學(xué)是對(duì)線下教學(xué)的拓展和延伸，也使師生聯(lián)系方式更加多元化，有效適應(yīng)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展需求［6］。所以對(duì)于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”這門課程，可將學(xué)習(xí)過(guò)程分為以下三步：線上課前準(zhǔn)備、線下課堂教學(xué)、線上課后拓學(xué)。

線上課前準(zhǔn)備：利用學(xué)習(xí)軟件布置課前練習(xí)題，分析學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和能力，將錯(cuò)誤率較高的知識(shí)點(diǎn)劃分為教學(xué)重點(diǎn)。其中不同章節(jié)側(cè)重點(diǎn)不同，如第一章是對(duì)高中學(xué)過(guò)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，第二章和第三章復(fù)習(xí)概率密度函數(shù)部分的積分求解方法，如有疑問(wèn)，還可通過(guò)MOOC對(duì)高等數(shù)學(xué)積分部分再學(xué)習(xí)。在后幾章的學(xué)習(xí)前教師將核心內(nèi)容安排學(xué)生預(yù)習(xí)。

線下課堂教學(xué)：通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，講授相關(guān)課程，以智育為導(dǎo)線，融合、滲透德育、體育、美育和勞育教育，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生在真實(shí)環(huán)境下解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。

線上課后拓學(xué)：教師布置線上課后作業(yè)以及能力培養(yǎng)訓(xùn)練，如能否利用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)并解決日常生活中或與專業(yè)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題？這個(gè)過(guò)程不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)公式、概念的理解，而且提高學(xué)生建模素養(yǎng)，提升明辨性思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力，避免出現(xiàn)學(xué)了卻不會(huì)用的現(xiàn)象。

三、倡導(dǎo)明辨性思維的主動(dòng)性學(xué)習(xí)模式

教學(xué)痛點(diǎn)中學(xué)生缺乏對(duì)知識(shí)的分析、推論和再創(chuàng)造的能力培養(yǎng)，就是忽略了學(xué)生明辨性思維的培養(yǎng)。明辨性思維是指對(duì)于某種事物、現(xiàn)象和主張發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，同時(shí)根據(jù)自身的思考邏輯做出主張的思考［7］。它是一種更高階的理性思維方式，是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一，也是日常生活中所需要的重要能力。

將明辨性思維模式滲透到“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”中，創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生多提問(wèn)，敢于質(zhì)疑問(wèn)題與教材，精于分析處理數(shù)據(jù)，勇于解決實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，構(gòu)建概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)體系，即培養(yǎng)明辨性思維的過(guò)程。明辨性思維在于審問(wèn)、反思和明辨，這也是在養(yǎng)成獨(dú)立思考、自我負(fù)責(zé)的思維習(xí)慣，擁有精神上的自由與幸福，促進(jìn)德智體美勞全面發(fā)展。

四、五育融合的課程案例設(shè)計(jì)——以條件概率為例

（一）設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課采用基于問(wèn)題導(dǎo)向的混合式教學(xué)模式，課程以大學(xué)生熟悉的運(yùn)動(dòng)健身為背景展開(kāi)，以實(shí)際背景創(chuàng)設(shè)條件概率問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)又借用籃球和乒乓球比賽中常見(jiàn)問(wèn)題為題目，靈活運(yùn)用全概率公式和貝葉斯公式解決實(shí)際問(wèn)題。力求本節(jié)課潤(rùn)物無(wú)聲地幫助學(xué)生樹(shù)立正確的健康觀，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界，應(yīng)用明辨性思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新實(shí)踐能力，促進(jìn)德智體美勞全面發(fā)展。從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量和效果的目的。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)與流程說(shuō)明

設(shè)計(jì)概要

實(shí)施流程

課前準(zhǔn)備

教師利用學(xué)習(xí)軟件安排條件概率練習(xí)題，了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容掌握水平，進(jìn)而調(diào)整教學(xué)安排計(jì)劃

課堂教學(xué)

1.條件概率

（1）智育目標(biāo)：條件概率的定義

（2）體育目標(biāo)：提升健康意識(shí)、樹(shù)立正確的健康觀

（3）思維提升：審問(wèn)、反思、明辨

近年來(lái)，全民健身始終是大眾關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。隨著健康中國(guó)的戰(zhàn)略深入實(shí)施，人們愈加意識(shí)到健康的體魄與生活的幸福指數(shù)息息相關(guān)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)健身，不僅能夠強(qiáng)身健體，還能夠緩解壓力，促進(jìn)心理健康發(fā)展。作為國(guó)家的未來(lái)，大學(xué)生更應(yīng)加強(qiáng)體育鍛煉，許多高校也開(kāi)展了一系列體育活動(dòng)，如籃球比賽、校園微馬、乒乓球比賽等。眾所周知，體育運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識(shí)，那么體育運(yùn)動(dòng)中有哪些概率問(wèn)題呢？今天讓我們來(lái)探究體育運(yùn)動(dòng)與概率問(wèn)題

問(wèn)題1：假設(shè)某專業(yè)有180名學(xué)生，其中男女生比例為1∶5，男女生中平時(shí)有運(yùn)動(dòng)習(xí)慣的分別為50人和30人。從中任選一名學(xué)生，問(wèn)：該生平時(shí)有運(yùn)動(dòng)習(xí)慣的概率

已知該生是女生，求其平時(shí)有運(yùn)動(dòng)習(xí)慣的概率

求解過(guò)程：（1）顯然是50+30180=49

（2）該專業(yè)女生人數(shù)為180×56=150，則所求概率為30150=15

追問(wèn)：這兩問(wèn)中所求概率的含義有什么不同嗎

注意第二問(wèn)中增加了一個(gè)前提條件為已知學(xué)生是女生，由此給出條件概率的定義

2.乘法公式

（1）智育目標(biāo)：乘法公式的應(yīng)用

（2）德育目標(biāo)：體會(huì)乘法公式中化繁為簡(jiǎn)、分而治之的思想

（3）思維提升：審問(wèn)、反思、明辨（互動(dòng)式教學(xué)）

問(wèn)題2：為了推動(dòng)全民健身活動(dòng)的開(kāi)展，著力提高學(xué)生綜合素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某高校舉辦了大學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)。同時(shí)為了確保比賽的公正、公平，學(xué)校新引進(jìn)一套田賽激光測(cè)距儀，與原雷達(dá)測(cè)距儀共同使用，每套測(cè)距儀單獨(dú)使用時(shí)，雷達(dá)測(cè)距儀和激光測(cè)距儀的有效概率分別為0.95和0.97，在雷達(dá)測(cè)距儀失靈的情況下，激光測(cè)距儀仍能正常工作的概率為0.93，求兩種測(cè)距儀至少有一套有效的概率

求解過(guò)程：以A表示事件“雷達(dá)測(cè)距儀有效”，以B表示“激光測(cè)距儀有效”，則“兩種測(cè)距儀至少有一種有效”可表示為A∪B，因?yàn)锳∪B=A∪A-B，且A和A-B互斥，所以

P（A∪B）=P（A∪A-B）=P（A）+P（A-B）=P（A）+P（A-）P（B|A-）=0.95+0.05×0.93=0.9965

追問(wèn)：小組討論，如何將乘法公式進(jìn)行推廣

3.全概率公式

（1）智育目標(biāo)：能夠劃分樣本空間，應(yīng)用全概率公式

（2）美育目標(biāo)：用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)的魅力

問(wèn)題3：據(jù)統(tǒng)計(jì)，超六成大學(xué)生更喜歡球類運(yùn)動(dòng)［8］，尤其是籃球運(yùn)動(dòng)，每年的高?；@球聯(lián)賽也會(huì)得到廣泛關(guān)注。若在某次高校聯(lián)賽上，a、b、c、d四支隊(duì)伍最后進(jìn)入四強(qiáng)，等待爭(zhēng)奪冠軍席位，半決賽上a將對(duì)陣c，b將對(duì)陣d，在第一場(chǎng)半決賽中，a戰(zhàn)勝了c奪得決賽的第一個(gè)名額，按照過(guò)去比賽記錄分析，a戰(zhàn)勝b的概率為0.7，戰(zhàn)勝d的概率為0.5，而b戰(zhàn)勝d的概率為0.5，那么a最后能奪冠的概率有多大

求解過(guò)程：設(shè)X表示事件“a隊(duì)奪冠”，Y表示事件“b戰(zhàn)勝d”，Z表示事件“d戰(zhàn)勝b”。由題可知，P（Y）=0.5，P（Z）=0.5，P（X|Y）=0.7，P（X|Z）=0.5，則P（X）=P（Y）P（X|Y）+P（Z）P（X|Z）=0.5×0.7+0.5×0.5=0.6

4.貝葉斯公式

（1）智育目標(biāo)：貝葉斯公式的應(yīng)用，體會(huì)全概率公式由因?qū)Ч?，貝葉斯公式執(zhí)果索因

（2）德育目標(biāo)：增強(qiáng)民族自豪感。體會(huì)原因和結(jié)果是對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系

（3）思維提升：審問(wèn)、反思、明辨（互動(dòng)式教學(xué)）

問(wèn)題4：乒乓球被譽(yù)為“國(guó)球”，一直深受大學(xué)生的喜愛(ài)。參加乒乓球訓(xùn)練，能夠促進(jìn)身心健康發(fā)展，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。一些球迷也會(huì)關(guān)注乒乓球選手在接發(fā)球不同戰(zhàn)術(shù)的得分情況。若某乒乓球選手發(fā)球搶攻段戰(zhàn)術(shù)類別主要為發(fā)球直接得分、第三板技戰(zhàn)術(shù)和第五板銜接，得分率分別為98.51%、51.38%和54.16%，使用率分別為11.96%、58.04%和30%。則該選手搶攻段得分的概率是多少

若已知該選手搶攻段得分，那他最有可能使用的技術(shù)是什么

求解過(guò)程：由題意，設(shè)A為“選手得分”，Bi（i=1，2，3）分別為“發(fā)球直接得分”“第三板技戰(zhàn)術(shù)”和“第五板銜接”的使用率，則

（1）由全概率公式有：P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.9851×0.1196+0.5138×0.5804+0.5416×0.3≈0.5785

（2）由貝葉斯公式有：P（B1|A）=P（AB1）P（A）=P（A|B1）P（B1）P（A）=0.9851×0.11960.5785≈0.2037

同理可得P（B2|A）≈0.5155，P（B3|A）≈0.2809，故最有可能使用第三板技戰(zhàn)術(shù)

追問(wèn)：這兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別是什么，你能得到什么結(jié)論

采用小組合作的形式，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行討論和探究

回顧本節(jié)課重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的健康觀，科學(xué)安排體育運(yùn)動(dòng)。根據(jù)課上學(xué)生們的思維習(xí)慣創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，拓展思維的深度和廣度

課后拓學(xué)

（1）智育目標(biāo)：鞏固新知

（2）美育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界

（3）勞育目標(biāo)：增強(qiáng)創(chuàng)新實(shí)踐能力

（4）思維提升：審問(wèn)、反思、明辨

教師首先根據(jù)學(xué)生能力設(shè)置基礎(chǔ)題，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)通平臺(tái)在線答題。其次提出問(wèn)題：體育運(yùn)動(dòng)中還有哪些概率問(wèn)題？如何利用本節(jié)課的三個(gè)公式解決所學(xué)專業(yè)問(wèn)題或者生活中實(shí)際問(wèn)題？學(xué)生編寫問(wèn)題并給出答案，有代表性的問(wèn)題將在下次課上集中研討

鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，將復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)審慎思考，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是培養(yǎng)學(xué)生明辨性思維、提升創(chuàng)新能力的過(guò)程

結(jié)語(yǔ)

基于五育融合視域下“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”混合式教學(xué)有著廣闊的研究空間。通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展只是第一步，還需要建設(shè)相匹配的評(píng)價(jià)體系。本文僅以條件概率為例，引用學(xué)生熟知的運(yùn)動(dòng)健身為背景創(chuàng)設(shè)概率問(wèn)題，主要講授條件概率及三個(gè)重要公式，以智育為導(dǎo)線，融合、滲透德育、體育、美育和勞育教育，傳授知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生明辨性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，注重學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，將理論知識(shí)與五育目標(biāo)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)全方位育人。幫助大學(xué)生養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣，樹(shù)立正確的健康理念，培養(yǎng)明辨性思維，努力成長(zhǎng)為社會(huì)主義合格的建設(shè)者和接班人，也能達(dá)到專業(yè)課程與德育教育的課程思政合力促進(jìn)專業(yè)發(fā)展的目的，提高“德智體美勞”五育教學(xué)質(zhì)量和效果。

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基金項(xiàng)目：齊齊哈爾大學(xué)“課程思政”示范課程建設(shè)項(xiàng)目（QDJG2021kcsz02）；黑龍江省省屬高等學(xué)?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（145209132）

作者簡(jiǎn)介：夏強(qiáng)（1997—"），女，漢族，黑龍江密山人，碩士，助教，研究方向：奇點(diǎn)理論。

*通信作者：李強(qiáng)（1980—"），男，漢族，黑龍江齊齊哈爾人，博士，教授，研究方向：奇點(diǎn)理論。