摘"要：函數(shù)是數(shù)學的主要研究對象，而奇偶性是函數(shù)的一種重要特性，通過研究函數(shù)的奇偶性可以加強學生對函數(shù)概念與性質的理解，培養(yǎng)數(shù)學思維和創(chuàng)新能力.“復變函數(shù)論”是理工科本科生必修的數(shù)學基礎課程，在自然科學的各個領域都有著廣泛的應用.現(xiàn)有文獻主要集中于研究實變量函數(shù)的奇偶性及其應用，對復變函數(shù)的奇偶性討論較少.本文利用函數(shù)的奇偶性，系統(tǒng)研究復變函數(shù)中的積分、求導及留數(shù)等相關問題，以指導大學數(shù)學教學，改進教師的教學方法，提高學生的思維水平和計算效率，并體現(xiàn)數(shù)學之美.

關鍵詞：復變函數(shù)；奇偶性；復積分；解析函數(shù)；留數(shù)

Abstract：Function"is"the"main"research"object"of"mathematics"and"parity"is"an"important"characteristic"of"function.By"studying"the"parity，students"can"strengthen"their"understanding"of"the"concept"and"property"of"function，and"cultivate"mathematical"thinking"andnbsp;innovation"ability.Complex"function"theory，as"a"compulsory"mathematical"basic"course"for"undergraduate"students"of"science"and"engineering，has"been"widely"used"in"various"fields"of"natural"science.The"existing"literature"mainly"focus"on"the"research"of"real"variable"function"and"there"is"little"discussion"on"the"parity"of"complex"variable"function.This"paper"uses"the"parity"of"function"to"study"the"problems"of"integration，derivation"and"residue"in"complex"variable"function"systematically，so"as"to"guide"college"mathematical"education，improve"teachers’"teaching"methods，promote"students’"thinking"level"and"computing"ability，and"reflect"the"beauty"of"mathematics.

Keywords：Complex"function；Parity；Complex"integral；Analytic"function；Residue

復變函數(shù)是數(shù)學的一個重要分支，“復變函數(shù)論”作為一種強有力的工具，被廣泛應用于自然科學的眾多領域，如物理場論、彈性理論、流體力學、自動控制論、醫(yī)學成像與診斷等.函數(shù)是“復變函數(shù)論”的主要研究對象，而奇偶性是函數(shù)的基本性質之一，若能靈活使用奇偶函數(shù)的各項性質，可以使很多問題變得更為簡單，可以進一步提高學生的計算能力，體現(xiàn)出了數(shù)學的對稱之美.

1"函數(shù)奇偶性的定義與性質

定義1：設函數(shù)f（z）的定義域D關于原點對稱，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），則稱f（z）為偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），則稱f（z）為奇函數(shù).

例如：sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù).

性質1：設z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為偶函數(shù)，則有u（x，y）=u（-x，-y），v（x，y）=v（-x，-y）；若f（z）奇函數(shù)，則有u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為偶函數(shù)，f（-z）=u（-x，-y）+iv（-x，-y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.類似可證明奇函數(shù)的性質.

定義2：設函數(shù)f（z）的定義域D關于虛軸對稱，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），則稱f（z）為關于虛軸的偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），則稱f（z）為關于虛軸的奇函數(shù).

性質2：設z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為關于虛軸的偶函數(shù)，則有u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）；若f（z）為關于虛軸的奇函數(shù)，則有u（-x，y）=-u（x，y），v（-x，y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為關于虛軸的偶函數(shù)，f（-z）=u（-x，y）+iv（-x，y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

類似可證明關于虛軸的奇函數(shù)的性質.

定義3：設函數(shù)f（z）的定義域D關于實軸對稱，若z∈D，恒有f（z）=f（z），則稱f（z）為關于實軸的偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（z）=-f（z），則稱f（z）為關于實軸的奇函數(shù).

性質3：設z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為關于實軸的偶函數(shù)，則有u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）；若f（z）為關于實軸的奇函數(shù)，則有u（x，-y）=-u（x，y），v（x，-y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為關于實軸的偶函數(shù)，f（z）=u（x，-y）+iv（x，-y），由f（z）=f（z）可得，u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）.類似可證明關于實軸的奇函數(shù)的性質.

定義4：設有向曲線C分為C1和C2兩段，若沿C1行進至C2，曲線方向不發(fā)生變化，則稱C1和C2同向，反之則為異向.

2"奇偶函數(shù)的積分

復變函數(shù)積分計算是復變函數(shù)教學中的重要內容，研究奇偶性在積分中的作用規(guī)律能進一步提升學生的思維水平與計算能力，指導教師改進復積分的教學方法.

2.1"定理1［1］

設函數(shù)f（z）在有向光滑曲線C上連續(xù)，C由C1和C2兩部分構成.

（1）若C1與C2為形狀關于原點對稱的同向曲線，則有∫Cf（z）dz=0，當f為偶函數(shù)；

2∫C1f（z）dz，當f為奇函數(shù).

（2）若C1與C2為形狀關于原點對稱的異向曲線，則有∫Cf（z）dz=2∫C1f（z）dz，當f為偶函數(shù)；

0，當f為奇函數(shù).

證：若f為偶函數(shù)，由性質1，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=∫Cu（x，y）dy=∫Cv（x，y）dx=∫Cv（x，y）dy=0，故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=0.

若f為奇函數(shù)，由性質1，u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=2∫C1u（x，y）dx，∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy，∫Cv（x，y）dx=2∫C1v（x，y）dx，∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1f（z）dz.

類似可證明（2）成立.

2.2定理2［2］

設函數(shù)f（z）在有向光滑曲線C上連續(xù)，C由C1和C2兩部分構成.

（1）若C1與C2為形狀關于虛軸對稱的同向曲線，則有：

當f為關于虛軸的奇函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

當f為關于虛軸的偶函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

若C1與C2為形狀關于虛軸對稱的異向曲線，則結論相反.

（2）若C1與C2為形狀關于實軸對稱的同向曲線，則有：

當f為關于實軸的奇函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

當f為關于實軸的偶函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

若C1與C2為形狀關于實軸對稱的異向曲線，則結論相反.

證：設C1與C2為形狀關于虛軸對稱的同向曲線.若f為關于虛軸的偶函數(shù)，由性質2，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

由參考文獻［3］中的定理6知，

∫Cu（x，y）dx=∫Cv（x，y）dx=0，

∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy，

∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1（-v+iu）dy.

類似可證明其他結論也成立.

2.3"應用舉例

例：沿曲線正向計算下列積分.

（1）∫|z|=3zsinzdz；（2）∫|z|=3z12（z2+1）2（z4+2）3dz.

解：該圓周|z|=3可看做由關于原點對稱的兩條同向曲線構成，且被積函數(shù)為偶函數(shù)，由定理1積分值均為0.

3"奇偶函數(shù)的導數(shù)

解析函數(shù)是復變函數(shù)的主要研究對象，它是一類特殊的可導函數(shù)，關于解析函數(shù)性質的研究也是整個復變函數(shù)研究的核心問題.

3.1"定理3

設函數(shù)f（z）在關于原點對稱的區(qū)域D內解析，若f（z）為奇函數(shù)，則有：

f（n）（z）為D內的偶函數(shù)，n為奇數(shù)；

為D內的奇函數(shù)，n為偶數(shù).

若f（z）為偶函數(shù)，則結論相反.

證：設f（z）為奇函數(shù)，即f（-z）=-f（z），兩邊同時求導后有-f′（-z）=-f′（z），故f′（z）為偶函數(shù)，由數(shù)學歸納法和解析函數(shù)的無窮可微性可得結論.類似可證明偶函數(shù)的結論.

3.2"定理4

設函數(shù)f（z）在零點的鄰域|z|＜δ內解析，若f（z）為奇函數(shù)，則函數(shù)在該鄰域內的泰勒級數(shù)僅含奇數(shù)次冪項；若為偶函數(shù)，則含偶數(shù)次冪項.

證：由泰勒展開定理，f（z）=∑+∞n=0cnzn，|z|＜δ，其中cn=f（n）（0）n！.

若f為奇函數(shù)，n為偶數(shù)時，由定理3知f（n）（z）也為奇函數(shù)，故f（n）（0）=0，即cn≡0，級數(shù)中僅含z的奇數(shù)次冪項.

類似可證明偶函數(shù)的結論.

3.3"定理5

設不恒為零的函數(shù)f（z）在零點的鄰域|z|＜δ內解析，且0為f（z）的m級零點.若f（z）為奇函數(shù)，則m為奇數(shù)；若f（z）為偶函數(shù)，則m為偶數(shù).

證：由已知0是f（z）的m級零點，則有f（z）=zmg（z），|z|＜δ，其中g（z）在|z|＜δ內解析且g（0）≠0.若f為奇函數(shù)，g（z）必為偶函數(shù)，故m為奇數(shù).類似可證明偶函數(shù)的結論.

4"奇偶函數(shù)的留數(shù)

留數(shù)又稱殘數(shù)，是“復變函數(shù)論”中一個非常重要的概念.留數(shù)計算一般是先將函數(shù)在包含孤立奇點的圓環(huán)域內展開為洛朗級數(shù)，再尋找負一次冪項的系數(shù)（有限孤立奇點），這種方法雖然是最本質的方法，但涉及函數(shù)級數(shù)展開往往較為麻煩，如果能結合函數(shù)的奇偶性進行分析，求留數(shù)的過程會更為方便.

4.1"定理6［4］

設f（z）的定義域D關于原點對稱，a是f（z）的有限孤立奇點，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），a］=-Res［f（z），-a］.若f（z）是奇函數(shù)，則Res［f（z），a］=Res［f（z），-a］.

證：由洛朗定理，f（z）=∑+∞n=-∞cn（z-a）n，0＜|z-a|＜δ.

則f（-z）=∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）ncn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

而-f（-z）=-∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）n+1cn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

若f（z）為偶函數(shù)，f（z）=f（-z），則有Res［f（z），a］=c-1=-Res［f（-z），-a］=-Res［f（z），-a］.

若f（z）為奇函數(shù)，f（z）=-f（-z），則有Res［f（z），a］=c-1=Res［-f（-z），-a］=Res［f（z），-a］.

推論：設0是f（z）的孤立奇點，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），0］=0.

證：由定理6，Res［f（z），0］=-Res［f（z），0］，故Res［f（z），0］=0.

4.2"定理7

設∞是f（z）的孤立奇點，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），∞］=0.

證：由無窮遠點留數(shù)的計算規(guī)則，Res［f（z），∞］=-Resf1t1t2，0.

若f（z）為偶函數(shù)，則f1t1t2為變量t的偶函數(shù).再由推論1可得，Res［f（z），∞］=0.

4.3"應用舉例

例1：求下列函數(shù)在零點的留數(shù).

（1）sinz-zz4sinz；（2）z2（1-ez2）3.

解：0為孤立奇點，且函數(shù)為偶函數(shù)，由推論1留數(shù)均為0.

例2：求下列函數(shù)在無窮遠點的留數(shù).

（1）e1z2；（2）z21+z4.

解：∞為孤立奇點，且函數(shù)為偶函數(shù)，由定理7留數(shù)均為0.

4.4"定理8

設f（z）=P（z）Q（z）為奇的有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0）與Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）為互質多項式，且符合條件：

（1）n-m≥2；（2）在實軸上Q（z）≠0.則有

∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0，其中ak為f（z）所有位于上半平面的有限孤立奇點.

證：根據(jù)已知條件和留數(shù)定理在實積分上的應用可知，2πi∑Imak＞0Res［f（z），ak］=∫+∞-∞f（x）dx，由于f（z）為奇函數(shù)，f（x）也為奇函數(shù)，故∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0.

結語

通過本文的研究可以發(fā)現(xiàn)，奇偶復變函數(shù)在積分、導數(shù)和留數(shù)等方面都具有特殊的性質.這些性質與實變量函數(shù)相比，既有聯(lián)系也有明顯的區(qū)別.若能靈活掌握相關特性，可以深化學生對復變函數(shù)奇偶性的認識和理解，提高學生的解題能力，進一步促進“復變函數(shù)論”的教學.

參考文獻：

［1］陳永衡，王有德，徐洪香.第二類曲線積分、復變函數(shù)積分的一個性質［J］.遼寧工學院學報，2003（02）：6970.

［2］吳君，劉易成.復積分的對比教學初探［J］.湘南學院學報，2010，31（05）：4446.

［3］孟澤紅.對稱性在求解第一型和第二型曲線積分上的區(qū)別［J］.科技創(chuàng)新導報，2018，15（14）：242243.

［4］于亞萍，李杰，鄭亞勤.一類函數(shù)留數(shù)計算的兩個簡化方法［J］.牡丹江教育學院學報，2006（06）：128130.

基金項目：西南科技大學龍山人才項目（18LZX655）

作者簡介：萬莉莉（1982—"），女，漢族，四川瀘州人，博士，副教授，從事非線性分析研究。