［摘 要］概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程作為研究并揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支，是利用數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜工程問題的理論基礎(chǔ)。在工科專業(yè)人才培養(yǎng)過程中，學(xué)生人文素養(yǎng)的培養(yǎng)是不可忽視的重要環(huán)節(jié)。因此，在概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程課程教學(xué)過程中，可將理論知識與工科專業(yè)背景相結(jié)合，引入融合思政元素的工科課程教學(xué)案例，幫助學(xué)生更好地理解理論知識、提升個人素質(zhì)與修養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程；課程思政；教學(xué)案例；工科專業(yè)；大學(xué)教育

［中圖分類號］G641 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A ［文章編號］2095-3437（2024）23-0107-04

2016年，全國高校思想政治工作會議在北京召開，習(xí)近平總書記出席會議并發(fā)表重要講話。他強(qiáng)調(diào)，高校思想政治工作關(guān)系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題，要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。

概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程課程是重要的自然科學(xué)類核心基礎(chǔ)課程，包含概率論、數(shù)理統(tǒng)計和隨機(jī)過程三大模塊[1]，其與科學(xué)實驗和工程實踐存在密切聯(lián)系，是信息論、可靠性理論、人工智能等前沿學(xué)科的基礎(chǔ)。在課程教學(xué)過程中，應(yīng)將理論知識與工科專業(yè)背景相結(jié)合，設(shè)計相關(guān)教學(xué)案例，有助于學(xué)生更好地提升理論水平與實踐能力。與此同時，應(yīng)在案例教學(xué)中融入思政元素，將知識傳授和價值引領(lǐng)相結(jié)合，通過潛移默化、循循善誘的方式，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，加強(qiáng)學(xué)生個人素質(zhì)與修養(yǎng)的培養(yǎng)[2-4]。

在上述背景下，本文將設(shè)計具有工科專業(yè)背景、課程思政育人元素的教學(xué)案例，并將教學(xué)案例與原有課程知識體系相融合。

一、戰(zhàn)術(shù)上重視、戰(zhàn)略上輕視——小概率事件

例1 中國民用航空局發(fā)布的《2023年民航行業(yè)發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2023年，民航安全運(yùn)行平穩(wěn)可控，運(yùn)輸航空百萬架次重大事故率十年滾動值為0.0249。從中可以看出，飛機(jī)發(fā)生事故的概率非常小，是目前最安全的交通工具之一。假設(shè)每架飛機(jī)每次飛行時是否發(fā)生重大事故相互獨立且概率相同，試計算在累計經(jīng)歷過1萬次、10萬次、100萬次、1000萬次飛行后，飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率。

解 根據(jù)題意可知每萬架次飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率為0.0249%。設(shè)飛機(jī)發(fā)生事故的次數(shù)為[X]，則經(jīng)歷過[n]萬次飛行后，飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率為

[P{X≥1}=1-P{X=0}=1-（1-0.0249%）n]。

當(dāng)[n]分別取1，10，100，1000時，飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率具體為

1萬次：[P{X≥1}=0.0249%]

10萬次：[P{X≥1}=0.249%]

100萬次：[P{X≥1}=2.460%]

1000萬次：[P{X≥1}=22.044%]

課程思政教學(xué) 通過對飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率的計算，幫助學(xué)生辯證地看待小概率事件，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。一方面，不用過分關(guān)注小概率事件，避免因噎廢食。另一方面，只要重復(fù)次數(shù)足夠多，即使是小概率事件，其發(fā)生也具有必然性。因此，對于小概率事件，應(yīng)該做到戰(zhàn)略上輕視、戰(zhàn)術(shù)上重視，盡可能降低飛機(jī)發(fā)生重大事故的概率，同時減小重大事故的影響。

二、事故調(diào)查有方向——貝葉斯公式

例2 馬航MH370航班在2014年3月8日從吉隆坡飛往北京途中失蹤，事件引起了國際社會的廣泛關(guān)注。對MH370航班實施的涉及多國的搜尋是航空史上規(guī)模最大、成本最高的搜尋之一，根據(jù)衛(wèi)星數(shù)據(jù)分析，搜尋重點放在印度洋南部的偏遠(yuǎn)海域。長時間的搜尋盡管使用了深海潛水器和其他先進(jìn)技術(shù)，但并沒有找到飛機(jī)的主體部分。

假設(shè)飛機(jī)墜落在甲、乙、丙、丁四個區(qū)域之一，搜救部門判斷其概率分別為0.1，0.2，0.6，0.1?，F(xiàn)打算逐次搜索不同的區(qū)域。若飛機(jī)墜落在某個區(qū)域內(nèi)，搜救部門在該區(qū)域搜索一次后發(fā)現(xiàn)飛機(jī)的概率為0.5。問：若首次搜索丙區(qū)域后，未發(fā)現(xiàn)飛機(jī)，則此時飛機(jī)落入四個區(qū)域的概率是多少？第二次應(yīng)該搜索哪個區(qū)域？

課程思政教學(xué) 貝葉斯公式可以幫助搜救團(tuán)隊在有限的信息和資源下，有效地更新和優(yōu)化搜救策略。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到在實際生活中經(jīng)驗固然是寶貴的，但是任何事物都處在發(fā)展變化之中，需要不斷挖掘和發(fā)現(xiàn)新信息，合理調(diào)整對事物的認(rèn)知，這樣才能做出更好的決策，避免教條主義。

三、質(zhì)量控制有手段——正態(tài)分布

例3 在藥品生產(chǎn)過程中，要加強(qiáng)質(zhì)量控制，不斷優(yōu)化生產(chǎn)工藝，以達(dá)到產(chǎn)品質(zhì)量持續(xù)可控的目的。在阿莫西林膠囊質(zhì)量的過程控制中，通過對目標(biāo)產(chǎn)品全過程檢驗數(shù)據(jù)的分析，確定影響制劑成品的關(guān)鍵質(zhì)量屬性（CQAs）為阿莫西林閉環(huán)二聚體[5]。

假設(shè)產(chǎn)品質(zhì)量特性值[X]服從正態(tài)分布[N（μ，σ2）]，且根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 17989.2—2020《控制圖第2部分：常規(guī)控制圖》設(shè)定制劑成品CQAs的控制界限為[μ±3σ]，即取[μ±3σ]作為上下控制界限，位于該范圍內(nèi)的產(chǎn)品即為合格產(chǎn)品，利用正態(tài)分布的“[3σ]準(zhǔn)則”控制藥品生產(chǎn)質(zhì)量。

問：（1）制劑成品CQAs的合格品率是多少？（2）若將控制界限設(shè)置為[μ±2σ]，制劑成品CQAs的合格品率變?yōu)槎嗌?？?）根據(jù)上述結(jié)果，若制藥工廠在生產(chǎn)過程中實行“[3σ]準(zhǔn)則”，相較于“[2σ]準(zhǔn)則”，為什么會導(dǎo)致使用同一個品牌的產(chǎn)品，但不同用戶的療效會有較大差異？

解

（1）制劑成品CQAs的合格品率為

[P{μ-3σ≤X≤μ+3σ}]

[=Φ（3）-Φ（-3）=99.74%]。

（2）若將控制界限設(shè)置為[μ±2σ]，制劑成品CQAs的合格品率變?yōu)?/p>

[P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}]

[=Φ（2）-Φ（-2）=95.44%]。

（3）根據(jù)上述計算結(jié)果可知，當(dāng)實行“[2σ]準(zhǔn)則”時，有4.3%的產(chǎn)品被判定為不合格品，而這些產(chǎn)品在實行“[3σ]準(zhǔn)則”時會被判定為合格品。因此，若用戶剛好買到這部分產(chǎn)品，則更容易導(dǎo)致藥物療效不穩(wěn)定，即買到了“合格品中的次品”，這解釋了使用同一個品牌的產(chǎn)品，實行“[3σ]準(zhǔn)則”時不同用戶的療效會有較大差異。對工廠而言，不能盲目地通過增大[σ]的系數(shù)來降低次品率，應(yīng)該設(shè)法優(yōu)化生產(chǎn)工藝，提高產(chǎn)品質(zhì)量。對用戶而言，同一個品牌的產(chǎn)品質(zhì)量存在差異是不可避免的。

課程思政教學(xué) 從生產(chǎn)制造案例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制了解正態(tài)分布的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并將其與生活進(jìn)行聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生主動思考。引導(dǎo)學(xué)生理性看待產(chǎn)品質(zhì)量問題，了解產(chǎn)品質(zhì)量的波動性，學(xué)會通過現(xiàn)象了解事物背后的本質(zhì)，從而正確處理問題。

四、高效檢測有方法——數(shù)學(xué)期望

例4 新冠疫情的暴發(fā)對全球公共衛(wèi)生體系提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。在這場抗擊疫情的戰(zhàn)斗中，科學(xué)成了重要的武器。其中，核酸檢測作為診斷新冠病毒感染的關(guān)鍵手段，其效率直接關(guān)系到疫情防控的效果。

為了提高檢測效率，混檢技術(shù)在實際應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用。從數(shù)學(xué)期望的角度來看，混檢技術(shù)相比單檢技術(shù)能夠顯著提高檢測效率，特別是在樣本數(shù)量龐大且感染率較低的情況下。

假設(shè)有[N]個樣本需要檢測，感染率為[p]。如果采用單檢技術(shù)，則總共需要進(jìn)行[N]次檢測。當(dāng)采用混檢技術(shù)時，首先將樣本混合后進(jìn)行一次檢測，此時檢測結(jié)果為陽性的概率是[1-（1-p）N]。如果檢測結(jié)果為陽性，則對[N]個樣本再單獨進(jìn)行檢測。因此，檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為[1+N[1-（1-p）N]]。當(dāng)感染率較低時，[1-（1-p）N]較小，因此檢測次數(shù)少于[N]。尤其是在樣本數(shù)量龐大且感染率較低的情況下，混檢技術(shù)的優(yōu)勢更加明顯。

需要注意的是，在實際應(yīng)用中還需要考慮其他因素，如檢測過程中可能出現(xiàn)的假陽性、假陰性等問題以及實際操作中的復(fù)雜性和成本等因素?？偟膩碚f，混檢技術(shù)通過減少所需的檢測次數(shù)和樣本數(shù)量來提高核酸檢測的效率，使得工作人員在有限的時間內(nèi)能夠檢測更多的樣本，為疫情防控提供了有力支持。

課程思政教學(xué) 通過此案例，學(xué)生可以深刻地認(rèn)識到科技在抗擊新冠疫情中的重要作用、科技工作者的責(zé)任擔(dān)當(dāng)，同時還可以了解到科技與社會發(fā)展的緊密聯(lián)系，以及科技在推動社會進(jìn)步中的重要作用。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的科技素養(yǎng)和社會責(zé)任感，激發(fā)他們的創(chuàng)新精神和報國情懷。

五、從量變到質(zhì)變——中心極限定理

例5 中國芯片產(chǎn)業(yè)對國外依存度較高，在外國的限制和封鎖下，中國芯片產(chǎn)業(yè)陷入了“卡脖子”的困境。中國目前在推動芯片產(chǎn)業(yè)的自主可控、減少外部依賴方面投入了大量的資源和精力，例如加大研發(fā)投入、支持本土芯片企業(yè)發(fā)展，以及通過國家層面的戰(zhàn)略規(guī)劃和政策支持來提升整體產(chǎn)業(yè)鏈的競爭力。這是一個長期而艱巨的任務(wù)，但對于確保國家安全和經(jīng)濟(jì)自主性至關(guān)重要。芯片制造是一個極其復(fù)雜且精密的過程，具有多達(dá)數(shù)百個步驟，其次品率受多種因素影響，因此控制次品率對整個行業(yè)來說都是巨大的挑戰(zhàn)。

某企業(yè)對某款器件的芯片進(jìn)行了設(shè)計，在芯片量產(chǎn)之前需要經(jīng)過流片環(huán)節(jié)，這一環(huán)節(jié)是芯片制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，如果流片成功就可以開始大規(guī)模制造，但如果流片失敗則需要繼續(xù)優(yōu)化設(shè)計。假設(shè)該企業(yè)在流片環(huán)節(jié)總共生產(chǎn)了300片樣品，生產(chǎn)工藝存在不穩(wěn)定性，已知在生產(chǎn)過程中，每片芯片的厚度相互獨立且服從在區(qū)間[（8，12）um]上的均勻分布，問在流片環(huán)節(jié)生產(chǎn)的所有樣品的平均厚度近似服從什么分布？

解 設(shè)第[i]個芯片的厚度為[Xi，i=1，2，...，n]，根據(jù)題意可知[Xi～U（8，12）]，因此[E（Xi）=10]，[D（Xi）=43]。又由于[Xi]相互獨立，且[n=300]，由中心極限定理可知，當(dāng)[n]充分大時，所有樣品的平均厚度[Y]近似服從正態(tài)分布：

[Y=1300i=1300Xi～N（10，4900）]。

課程思政教學(xué) 即使獨立同分布的隨機(jī)變量本身不服從正態(tài)分布，多個隨機(jī)變量和的極限分布也服從正態(tài)分布，這就是量變引起質(zhì)變的道理。通過此案例教導(dǎo)學(xué)生只要腳踏實地、注重積累，就一定會有所收獲；在社會中，每個人的小貢獻(xiàn)加起來就可以推動社會的大發(fā)展。此外，要教導(dǎo)學(xué)生有科技強(qiáng)國的責(zé)任感與使命感，能夠適應(yīng)國家重大戰(zhàn)略需求、促進(jìn)自身發(fā)展，為祖國的繁榮和發(fā)展作出重要貢獻(xiàn)。

社會的發(fā)展對大學(xué)生的綜合素質(zhì)和思想品質(zhì)提出了更高的要求。在大學(xué)生的世界觀、人生觀和價值觀還未完全成熟的情況下，教師在教學(xué)過程中適時進(jìn)行價值引領(lǐng)具有重要意義。在對概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程課程進(jìn)行教學(xué)案例設(shè)計時，要注重落實立德樹人根本任務(wù)，為了培養(yǎng)實踐能力強(qiáng)、創(chuàng)新能力強(qiáng)、具備國際競爭力的高素質(zhì)綜合型工科人才，將思政元素融入具有工科專業(yè)背景的教學(xué)案例中，加深理論知識教學(xué)、思政教育與工科專業(yè)的有機(jī)融合。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 石愛菊，丁秀梅，孔告化，等. 概率統(tǒng)計與隨機(jī)過程：第3版[M].北京：人民郵電出版社，2024.

[2] 李晨，陳麗萍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中思政元素的挖掘與實踐[J]. 大學(xué)教育，2021（9）：104-106.

[3] 曹宏舉，何素艷，郭巧麗. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程浸入式課程思政教學(xué)實踐[J]. 大學(xué)教育，2023（4）：116-118.

[4] 張宇，姜雄，李芳芳. 基于課程思政理念的概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例設(shè)計[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2024，40（3）：114-122.

[5] 戚淑葉，黃偉明，王德剛，等. 阿莫西林膠囊生產(chǎn)過程質(zhì)量控制方案初探[J]. 中國抗生素雜志，2022，47（6）：575-580.

［責(zé)任編輯：林志恒］