摘 要：數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題與圖形結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)解題的框架，理清數(shù)學(xué)解題的思路.這就要求高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，做到以形助數(shù)，化難為易；以數(shù)解形，化繁為簡(jiǎn)；數(shù)形互變，有效解題.旨在聚焦數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

中圖分類號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0333（2024）33-0051-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡(jiǎn)介：姚九見(jiàn)（1993.1—），男，安徽省潁上縣人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，以一定數(shù)學(xué)問(wèn)題作為載體，旨在深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握和數(shù)學(xué)能力的提升，指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).然而，當(dāng)前很多高中生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中并沒(méi)有完成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的任務(wù)，集中表現(xiàn)為解題缺乏思路、思維轉(zhuǎn)化不足、解題正確率不高等問(wèn)題^[1]面對(duì)高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中遇到的挑戰(zhàn)，數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)指明了方向.這就要求高中數(shù)學(xué)教師深入探索數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用.

1 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值 作為一種典型的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)際密切相關(guān)，能夠幫助學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)成長(zhǎng)和發(fā)展，同時(shí)也能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)，開(kāi)辟數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新思路^[2].

1.1 滲透教學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力.在高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)下，學(xué)生深度把握數(shù)形結(jié)合思想，明確數(shù)形結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的價(jià)值，掌握數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.更為重要的是，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用也能夠促使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中打破傳統(tǒng)的思維模式，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化呈現(xiàn)出來(lái)，在文字、圖形和符號(hào)互動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生思維.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用還能夠促使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握，提升解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2 轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，提升教學(xué)效果

作為極為重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的深度融合，也能夠推動(dòng)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的發(fā)展.在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師過(guò)于注重解題的結(jié)果，忽視了解題的過(guò)程.同時(shí)，很多高中數(shù)學(xué)教師也只注重學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握，缺乏對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考.在這種情況下，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)沒(méi)有得到充分挖掘.而將數(shù)形結(jié)合思想融入高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師不僅能夠向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)解題的方法，同時(shí)也能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)，轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)解題教學(xué)思路，提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量和效果.

2 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用策略 毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一大“利器”.但是，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用并未達(dá)到預(yù)期目標(biāo).這就要求高中數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)價(jià)值，真正做到以下幾個(gè)方面.

2.1 以形助數(shù)，化難為易

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題的運(yùn)用過(guò)程中，“數(shù)”和“形”是高中生需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，學(xué)生往往通過(guò)閱讀抽象語(yǔ)言的方式來(lái)理解數(shù)學(xué)問(wèn)題.然而，很多學(xué)生因?yàn)樗季S發(fā)展不充分，在思維理解和轉(zhuǎn)化的過(guò)程中存在問(wèn)題，無(wú)法將數(shù)學(xué)抽象語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)具象圖象.在這種情況下，學(xué)生數(shù)學(xué)解題的積極性和主動(dòng)性不高，畏難心理嚴(yán)重.這就要求高中數(shù)學(xué)教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行積極引導(dǎo)，促使學(xué)生在深入分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題繪制直觀圖形，通過(guò)“數(shù)”化“形”，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化^[3].

人教版高中數(shù)學(xué)必修一教材中，集合的基本運(yùn)算就涉及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.以教材并集教學(xué)板塊的例2為例：設(shè)集合A={x|-1lt;x＜2}，集合B={x|1lt;xlt;3}，求A∪B.通過(guò)對(duì)上述題目進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，上述題目考查的是如何求兩個(gè)集合的并集.在解題的過(guò)程中，面對(duì)兩個(gè)集合，學(xué)生需要先計(jì)算集合B，掌握集合B的范圍.在明確兩個(gè)集合范圍的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠利用數(shù)軸直觀呈現(xiàn)A∪B的求解過(guò)程，也能夠直觀呈現(xiàn)A∪B的求解結(jié)果，如圖1.

在上述求解集合并集的過(guò)程中，學(xué)生能夠在“計(jì)算未知集合—繪制數(shù)軸—表示集合”的解題思路指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)軸實(shí)現(xiàn)并集的計(jì)算.在數(shù)學(xué)圖形繪制過(guò)程中，學(xué)生能夠直觀解題.

2.2 以數(shù)解形，化繁為簡(jiǎn)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，以數(shù)解形也是高中數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題.抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形的結(jié)合是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)置的典型狀態(tài).在理解抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程中，高中生能夠把握數(shù)學(xué)問(wèn)題考查的內(nèi)容，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有效解題.然而，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中雖然能夠了解抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言，卻發(fā)現(xiàn)圖形過(guò)于簡(jiǎn)單，在觀察時(shí)難以找到規(guī)律.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師要注重學(xué)生主體性的發(fā)揮，解放學(xué)生的感官，促使學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的細(xì)節(jié)呈現(xiàn)在圖形上，進(jìn)而挖掘和推敲更多信息，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系，更好地解題^[4].

人教版高中數(shù)學(xué)必修二教材中，立體幾何是極為重要的教學(xué)內(nèi)容，也是學(xué)生需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.立體幾何不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更考查學(xué)生的空間想象能力.以球的表面積和體積教學(xué)板塊的練習(xí)題為例：一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是80 cm，60 cm，55 cm的水槽中裝有200 000 cm³的水.現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50 cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會(huì)從水槽中溢出？

在對(duì)上述數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，該題目主要考查的是球的體積和圓柱的體積的相關(guān)知識(shí).高中生只要掌握相關(guān)計(jì)算公式，明確圖形細(xì)節(jié)，就能夠有效解題.但是，如何促使學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形結(jié)合起來(lái)，就需要高中生將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的信息標(biāo)注在圖形上，從而確定相應(yīng)的證明原理.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師鼓勵(lì)學(xué)生閱讀問(wèn)題，在理解題意的基礎(chǔ)上，自行繪制上述問(wèn)題的示意圖，如圖2.

在對(duì)上述圖形進(jìn)行分析的過(guò)程中，高中生能夠直觀了解水槽和木球之間的關(guān)系，也能夠掌握?qǐng)D形的相關(guān)數(shù)據(jù)，便于學(xué)生展開(kāi)計(jì)算.在遵循“解讀數(shù)學(xué)語(yǔ)言—提取關(guān)鍵信息—繪制直觀圖形—標(biāo)記關(guān)鍵信息—聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)—有效解決問(wèn)題”的思路過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)計(jì)算可得：球的體積為65 450 cm³，在水中球的體積為43 633 cm³，球排開(kāi)水的體積為264 000 cm³.其中，有水200 000 cm³，球推開(kāi)水的體積為43 633 cm³，由于200 000 cm³+43 633 cm³=243 633 cm³lt;264 000 cm³，所以水槽中的水不會(huì)溢出來(lái).

2.3 數(shù)形互變，有效解題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)形互變也是數(shù)形結(jié)合思想的一種重要形式.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，作為數(shù)學(xué)解題的主體，高中生在具體解題過(guò)程中往往會(huì)通過(guò)繪制圖形的方式解讀抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也會(huì)在觀察圖形的過(guò)程中得出問(wèn)題結(jié)論，最終回歸到抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言.在數(shù)形互變的過(guò)程中，高中生的解題難度得以降低，以往煩瑣的題目也因?yàn)閿?shù)形相互轉(zhuǎn)換而變得條理清晰.在這個(gè)過(guò)程中，高中生數(shù)學(xué)解題的效率大幅提升.因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)題目的具體內(nèi)容和情況，選擇數(shù)形互變的方式展開(kāi)解題，深度貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想，促使數(shù)學(xué)解題變得簡(jiǎn)單，緩解高中生對(duì)數(shù)學(xué)解題的畏懼心理和抵觸心理^[5].

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，函數(shù)問(wèn)題是高中生需要重點(diǎn)掌握的問(wèn)題，也是數(shù)形互變運(yùn)用頻率較高的問(wèn)題.以人教版高中數(shù)學(xué)必修一教材中不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異教學(xué)板塊的練習(xí)題為例：y=log₂x，y=log₅x，y=lgx的圖象如圖3所示.

（1）試說(shuō)明哪個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)哪個(gè)圖象，并解釋為什么；

（2）以已有圖象為基礎(chǔ)，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=log_?x，y=log_?x，y=logx的圖象；

（3）從（2）的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

上述題目主要設(shè)置3個(gè)問(wèn)題，并且配備函數(shù)圖象.在對(duì)該題目進(jìn)行分析時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在對(duì)問(wèn)題和函數(shù)圖象進(jìn)行解讀的過(guò)程中，問(wèn)題能夠直觀地在折線圖上呈現(xiàn)出來(lái).判斷函數(shù)對(duì)應(yīng)圖象時(shí)，學(xué)生能夠根據(jù)“當(dāng)?shù)讛?shù)全大于1時(shí)，在x=1右側(cè)，底數(shù)越大的函數(shù)圖象越靠近x軸”，能夠判斷出①對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=lgx；②對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=log₅x；③對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=log₂x.同理，學(xué)生也能夠畫(huà)出y=log_?x，y=log_?x，y=logx的圖象.

3 結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一股潮流.數(shù)形結(jié)合思想不僅滿足了高中生數(shù)學(xué)解題的需求，同時(shí)也能夠?qū)崿F(xiàn)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.在提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的趨勢(shì)下，高中數(shù)學(xué)教師要向高中生傳遞數(shù)形結(jié)合思想，促使高中生在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中有效解題，鞏固知識(shí).

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[責(zé)任編輯：李 璟]