摘 要：文章首先概述了輔助角公式的基本概念，隨后詳細(xì)探討了其典型應(yīng)用，針對(duì)輔助角的選取原則、常見(jiàn)轉(zhuǎn)換方法及與其他三角恒等式的結(jié)合運(yùn)用.通過(guò)系統(tǒng)地分析與總結(jié)，幫助學(xué)生更好地掌握輔助角公式，提高解決三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：蘇教版；高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；輔助角

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0095-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：唐佳?。?981.2—），男，江蘇省泰州人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，其應(yīng)用范圍廣泛，解題方法多樣.在眾多解題技巧中，輔助角公式無(wú)疑是一把銳利的“尖刀”，能夠有效簡(jiǎn)化復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式，為解題開(kāi)辟一條捷徑.然而，對(duì)于許多高中生而言，輔助角公式的靈活運(yùn)用仍是一個(gè)難點(diǎn).如何準(zhǔn)確把握輔助角公式的本質(zhì)，在何時(shí)何地巧妙運(yùn)用這一利器，成為困擾學(xué)生的難題.本文立足于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材，著眼于輔助角公式在三角函數(shù)解題中的實(shí)際應(yīng)用，旨在為學(xué)生提供一份詳盡而實(shí)用的指南.

1 高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題中輔助角公式概述

輔助角公式的本質(zhì)是將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)潔的形式，使原本晦澀難懂的問(wèn)題豁然開(kāi)朗.

輔助角公式的基本形式為acosα+bsinα=

（a2+b2）·cos（α-φ），其中φ=arctan（b/a）.這個(gè)看似簡(jiǎn)單的公式，蘊(yùn)含著深刻的幾何意義和代數(shù)變換，它巧妙地將兩個(gè)三角函數(shù)的和轉(zhuǎn)化為單一的余弦函數(shù)，不僅簡(jiǎn)化了表達(dá)式，還為進(jìn)一步運(yùn)算和分析鋪平了道路.在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，輔助角公式被賦予了重要地位，它不僅是解決復(fù)雜三角函數(shù)問(wèn)題的有力工具，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高解題能力的重要載體.

2 輔助角公式在高中數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用

2.1 化簡(jiǎn)復(fù)雜三角函數(shù)表達(dá)式

在高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)解題中，化簡(jiǎn)復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式是一個(gè)常見(jiàn)且重要的步驟.輔助角公式在這一過(guò)程中扮演了關(guān)鍵角色.

例1 已知f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R），

（1）求函數(shù)f（x）的取值范圍；

（2）求函數(shù)的最小值.

分析 （1）求函數(shù)f（x）的取值范圍，首先分析3sin2x，由于sin2x的取值范圍是［-1，1］，所以3sin2x的取值范圍是［-3，3］.

其次分析2cos2x，由于cos2x的取值范圍是［0，1］，所以2cos2x的取值范圍是［0，2］.

因此f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R）的取值范圍是［m-3，m+3+2］.

（2）要找到函數(shù)的最小值，需要同時(shí)考慮

3sin2x和2cos2x的最小值.

因?yàn)?sin2x的最小值為-3，2cos2x的最小值為0，所以，函數(shù)f（x）的最小值為f （x）min=-3+0+m=m-3［1］.

因此函數(shù)f （x）的最小值是m-3.

通過(guò)這一過(guò)程，我們成功地將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的形式，便于進(jìn)一步分析和計(jì)算.這一應(yīng)用不僅展示了輔助角公式的威力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化繁為簡(jiǎn)的美妙之處.

2.2 解三角函數(shù)的最值

在解三角函數(shù)的最值問(wèn)題中，輔助角公式同樣是一種強(qiáng)有力的工具.通過(guò)將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式，我們可以更容易地找到其最大值或最小值.下面以一個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明這一過(guò)程.

例2 若函數(shù)y=2sinx+acosx+4的最小值為1，則實(shí)數(shù)a=.

分析 已知其最小值為1，我們需要求出常數(shù)a.

首先，使用輔助角公式將y=2sinx+acosx+4轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式.設(shè)A=2和B=a，則

2sinx+acosx=A2+B2sin（x+φ），

其中，φ=arctan（BA）=arctan（a2）.

因此，原表達(dá)式可以改寫(xiě)為

y=4+asin（x+φ）+4.

由于sin（x+φ）的取值范圍為[-1，1]，我們可以進(jìn)一步分析y的取值范圍，即a=5.

通過(guò)這一例子，我們可以看到輔助角公式在解三角函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用，將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，不僅使求解過(guò)程更加直觀和容易，還能有效地提高解題效率和準(zhǔn)確性.

2.3 函數(shù)圖象的變換

函數(shù)圖象的變換是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，通過(guò)圖象變換，我們可以更直觀地理解函數(shù)的性質(zhì).輔助角公式在這一過(guò)程中也有著廣泛的應(yīng)用.下面通過(guò)一個(gè)具體例子來(lái)分析函數(shù)圖象的變換.

例3 設(shè)f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2，

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心與對(duì)稱軸；

（2）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移π3個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（π6）的值．

分析 （1）因?yàn)閟in（π-x）=sinx，

所以f（x）=23sin2x-（sinx-cosx）2

=23sin2x-（sin2x-2sinxcosx+cos2x）

=23sin2x-（1-2sinxcosx）

=23sin2x-1+2sinxcosx.

由于sinxcosx=12sin2x，

所以f（x）=23sin2x-1+sin2x.

通過(guò)求導(dǎo)法可以進(jìn)一步分析其單調(diào)遞增區(qū)間：

f ′（x）=43sinxcosx+2cos2x，

解f ′（x）=0可以找到臨界點(diǎn)，從而確定單調(diào)遞增區(qū)間.

對(duì)稱性方面，函數(shù)f（x）具有周期性和對(duì)稱性.可以分析發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱中心和對(duì)稱軸.

（2）將y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，即x→x2.即y=f（x2）.

再將圖象向左平移π3個(gè)單位，即x→x+π3.

即y=f（x+π/32）=f（x2+π6）.

所以g（x）=f（x2+π6）.

所以g（π6）=f（π6×12+π6）=f（π4）［2］.

將x=π4代入原函數(shù)f（x）即可得到g（π6）的具體值.

通過(guò)以上分析，可以看出輔助角公式和函數(shù)圖象變換在理解和解決三角函數(shù)問(wèn)題中的重要性.

3 輔助角公式的解題技巧與方法

3.1 輔助角的選取原則

在運(yùn)用輔助角公式解題時(shí)，選擇合適的輔助角至關(guān)重要.通常情況下，我們應(yīng)優(yōu)先考慮能夠簡(jiǎn)化表達(dá)式、突出重點(diǎn)信息的角度.選取輔助角時(shí)，要著眼于化繁為簡(jiǎn)，使原本復(fù)雜的問(wèn)題更加直觀明了.同時(shí)，輔助角的引入應(yīng)盡量避免出現(xiàn)冗余或無(wú)關(guān)的信息，以免增加不必要的計(jì)算量.3.2 常見(jiàn)的輔助角轉(zhuǎn)換方法

在三角函數(shù)解題中，我們常常需要在不同的角度表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這時(shí)就需要運(yùn)用一些常見(jiàn)的輔助角轉(zhuǎn)換方法.例如，利用倍角公式將簡(jiǎn)單角度轉(zhuǎn)化為復(fù)雜角度，或反之利用半角公式將復(fù)雜角度化為簡(jiǎn)單角度.同時(shí)，我們還可以借助和差化積、積化和差等恒等變換，實(shí)現(xiàn)不同角度表示之間的相互轉(zhuǎn)化.在具體運(yùn)用時(shí)，我們要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和需要，選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換方法.靈活運(yùn)用各種輔助角轉(zhuǎn)換技巧，能夠幫助我們簡(jiǎn)化問(wèn)題、拓展思路，提高解題效率和準(zhǔn)確性.此外，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中，我們還要注意條件的等價(jià)性，確保轉(zhuǎn)換前后表達(dá)式的一致性.

3.3 結(jié)合其他三角恒等式的應(yīng)用

輔助角公式的威力固然強(qiáng)大，但在實(shí)際解題中，我們往往需要將其與其他三角恒等式相結(jié)合，發(fā)揮協(xié)同效應(yīng).例如，在化簡(jiǎn)復(fù)雜三角函數(shù)表達(dá)式時(shí)，我們可以先運(yùn)用輔助角公式將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形式，再利用其他恒等式如倍角公式、降冪公式等進(jìn)一步化簡(jiǎn).在求解三角函數(shù)方程時(shí)，我們可以先引入輔助角將方程轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的形式，再結(jié)合其他恒等關(guān)系求解.總之，靈活運(yùn)用輔助角公式與其他三角恒等式的組合，能夠發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高解題的效率和質(zhì)量.這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅要深入理解每一個(gè)公式和恒等關(guān)系，更要注重它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用的能力.

4 結(jié)束語(yǔ)

輔助角公式作為高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題的重要工具，其應(yīng)用貫穿于方方面面.通過(guò)深入剖析輔助角公式在蘇教版高中數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用，我們可以看到，無(wú)論是化簡(jiǎn)復(fù)雜三角函數(shù)表達(dá)式、解三角函數(shù)最值問(wèn)題，還是探究函數(shù)圖象的變換，輔助角公式都能發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，為解題提供便捷高效的途徑.然而，輔助角公式的運(yùn)用絕非一蹴而就，它需要我們?cè)谏羁汤斫馄鋬?nèi)在原理的基礎(chǔ)上，掌握靈活多變的解題技巧與方法，選取合適的輔助角、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換方式，并將輔助角公式與其他三角恒等式相結(jié)合，這些都是我們?cè)诮忸}實(shí)踐中需要不斷探索和積累的寶貴經(jīng)驗(yàn).作為教育工作者，我們要以開(kāi)放的心態(tài)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度來(lái)對(duì)待輔助角公式的教學(xué)和應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

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［責(zé)任編輯：李 璟］