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        探求解題策略 提升運算素養(yǎng)

        2024-12-11 00:00:00張銀霞邵利
        數(shù)理化解題研究·高中版 2024年12期
        關鍵詞:解題策略高中數(shù)學

        摘 要:在圓錐曲線教學中,引入多元解題策略可以激活學生思維,讓學生從多角度觀察問題,促進深層知識的建構,從而推動學生運算素養(yǎng)的提升.

        關鍵詞:高中數(shù)學;解題策略;運算素養(yǎng)

        中圖分類號:G632"" 文獻標識碼:A"" 文章編號:1008-0333(2024)34-0055-03

        收稿日期:2024-09-05

        作者簡介:張銀霞(1996.10—),女,四川省成都人,碩士,從事中學數(shù)學教學研究;

        邵利,女,四川省成都人,副教授,從事中學數(shù)學教育研究.

        圓錐曲線的運算常給人一種復雜煩瑣的印象,使許多學生在面對此類問題時心生畏懼,不僅缺乏勇氣去嘗試計算,也未能掌握有效的運算技巧和方法,導致計算過程常常中斷,從而影響了他們在圓錐曲線題目上的得分[1].因此,很有必要在日常訓練中加強對圓錐曲線問題的解法歸類和深度反思,特別是在提升運算素養(yǎng)方面,應加大投入,因為這不僅是解答問題的基石,更是促進學生數(shù)學思維發(fā)展、培養(yǎng)學生規(guī)范化解題思維的關鍵所在.

        在此,本文以2024年全國甲卷的一道高考題為例,對其解法進行探究,淺談圓錐曲線中數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

        1 題目呈現(xiàn)與評析

        題目 設橢圓C:x2a2+y2b2=1(agt;bgt;0)的右焦點為F,點M(1,32)在C上,且MF⊥x軸.

        (1)求C的方程;

        (2)過P(4,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點,N為線段FP的中點,直線NB交直線MF于點Q,證明:AQ⊥y軸.

        此題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系的拓展,考查學生多思路分析、多角度求解問題的能力.第(1)問橢圓方程的解法比較常規(guī),通過解方程組的方法可以解決,最終的答案為x24+y23=1.本文主要分析第(2)問.

        2 解法探究

        第(2)問的證明本質上就是運算問題,可以從韋達定理或三點共線切入,相同的切入點也可以有不同的解題策略,而運算的難易程度與解題策略的選擇密切相關.

        切入點1 韋達定理.

        算法1 設直線AB為x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線AB和橢圓C的方程得到x24+y23=1,x=my+4,消去變量x,得

        (3m2+4)y2+24my+36=0.

        再根據(jù)韋達定理,得

        y1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4.

        設Q(1,yQ),由已知得到N(52,0).

        根據(jù)點斜式得到直線NB的方程

        y=y2x2-5/2(x-52),

        由此得點Q的縱坐標

        yQ=y2x2-5/2(1-52)=3y25-2x2.

        要證AQ⊥y軸,只需要證明yQ=y1.

        因為yQ-y1=3y25-2x2-y1=3y25-2(my2+4)-y1=3y2+2my1y2+3y15-2(my2+4)=2my1y2+3(y1+y2)5-2(my2+4),

        將韋達定理的結論代入上式,得

        yQ-y1=72m/(3m2+4)-72m/(3m2+4)5-2(my2+4)=0.

        所以得證.

        點評 本解法屬于常規(guī)思路,先設出直線AB的方程,聯(lián)立橢圓方程,得到一元二次方程,然后由韋達定理,證明點A的縱坐標與點Q的縱坐標相等.以上過程都屬于通性通法,思路很自然,只不過對學生的計算能力要求比較髙.其中,直線方程的設法對后續(xù)運算的影響很大,在處理橢圓問題時,要想更快地求得運算結果,必須學會選擇最優(yōu)的運算方法.而最優(yōu)解法的辨析離不開平時對多種解題策略的歸納及深度思考.

        算法2 依據(jù)算法1的韋達定理的結論,過點A作AQ′⊥MF于點Q′,下面證明點Q′在直線NB上,即證明kNQ′=kNB.

        由已知得N(52,0),根據(jù)AQ′⊥MF可以得到點Q′(1,y1).

        所以kNQ′-kNB=y1-01-5/2-y2-0x2-5/2

        =-23y1-

        y2x2-

        5/2

        =-2my1y2/3-(y1+y2)x2-5/2.

        將韋達定理的結論代入上式,得

        kNQ′-kNB=-(2m/3)[36/(3m2+4)]+24m/(3m2+4)x2-5/2=0.

        根據(jù)同一性可知點Q與Q′重合,所以AQ⊥y軸.

        點評 本解法沒有直接算出點Q的縱坐標,而是采用間接證法,使得整個運算量變小,正確率相應提高.該法并不是直接解題,而是借助過渡工具,因此學生難以想到.雖然這種方法在解題過程中顯得不那么直觀,但它所體現(xiàn)的數(shù)學思維方法和技巧卻對學生有著深遠的影響.只有在選擇和比較方法的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,才能養(yǎng)成更全面、深刻的思考習慣,進而在新情境中采取新對策,提高分析和獨立解決問題的能力,最終促進數(shù)學思維的發(fā)展.

        切入點2 A,B,P三點共線.

        算法3 設A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓C的方程,得

        3x21+4y21=12,①

        3x22+4y22=12.②

        設AP=λPB,則4-x1=λx2-4λ,-y1=λy2.

        由①-②×λ2,得

        3x21-3(λx2)2+4y21-4(λy2)2=12-12λ2.

        將其化簡后,得

        3(x1-λx2)(x1+λx2)(1+λ)(1-λ)+4(y1-λy2)(y1+λy2)(1+λ)(1-λ)=12.

        再把4-x1=λx2-4λ,-y1=λy2代入上式,得

        5λ-2λx2+3=0.③

        將③代入yQ,得

        yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx2=y1.

        算法4 設A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓C的方程,得

        3x21+4y21=12,①

        3x22+4y22=12.②

        由A,B,P三點共線可知y1x1-4=y2x2-4.

        即x1y2-x2y1=4(y2-y1).④

        所以將①②代入,得

        (x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1)

        =x21y22-x22y21

        =(4+4y213)y22-(4+4y223)y21

        =4(y2+y1)(y2-y1).

        把④代入可得

        2x2y1+3y2-5y1=0.⑤

        將⑤代入yQ,得

        yQ=3y25-2x2=3y1y25y1-2y1x2=y1.

        點評 算法3利用向量的方法描述共線關系,這種方式直觀且易于學生理解,但實際操作中涉及的計算步驟相對煩瑣,容易使學生陷入冗長的計算之中.相比之下,算法4選擇了斜率這一視角,簡潔明了地表達了共線的數(shù)學條件,盡管計算過程更為簡便,卻鮮有學生主動采用這一思路,這背后反映出的是學生對數(shù)學知識本質的把握不夠深入,導致在解題時難以靈活運用所學知識.

        數(shù)學思維的提升,并不僅僅在于掌握解題技巧,更重要的是培養(yǎng)學生從不同角度審視問題、在不同層次上進行深度思考的能力[2].當面對新的數(shù)學問題時,學生應當能夠迅速識別問題的本質,依據(jù)新的條件選擇最合適的解題方法,并探索出解決問題的最優(yōu)方案.而要達到這一境界,學生不僅需要有完整的數(shù)學知識體系作為基礎,更需要深入理解每個數(shù)學概念的內涵和外延,掌握其背后的邏輯和規(guī)律.只有這樣,學生才能在數(shù)學學習的道路上不斷前行,提升自己的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力.

        3 結束語

        眾所周知,數(shù)學運算素養(yǎng)是學生學習數(shù)學過程中的一項核心素養(yǎng),它的提升需要教師的指導和學生的主動參與.從教師的角度來說,在解析幾何的教學中,教師應注重與學生共同深入剖析題目,探求多樣化的解題策略,并細致探討其運算量.其中包括理解運算路徑的設計、節(jié)點的把握以及過程的監(jiān)控等核心要素.教師需清晰闡述每一步運算的邏輯,強調運算中的關鍵細節(jié),并教授學生有效的代數(shù)變換方法和實用的運算技巧.這樣的教學方式旨在讓學生理解運算的動機,分析各種解法的利弊,以及運算的復雜程度,從而培養(yǎng)學生的運算思維和成就感,最終提升他們的數(shù)學運算素養(yǎng).從學生的角度來說,面對同一題目的不同解法,應該學會主動思考,比較各種解法的運算成本,以及各自的關鍵點、易錯點,然后通過不斷實踐、優(yōu)化和反思,提升數(shù)學運算素養(yǎng).

        參考文獻:

        [1] 姬彩生.高考數(shù)學圓錐曲線解題技巧研究[J].數(shù)理化解題研究,2022(10):18-20.

        [2] 王昌林,紀定春.對2021年高考數(shù)學甲卷圓錐曲線壓軸題的探究[J].數(shù)理化學習(高中版),2021(10):40-44.

        [責任編輯:李 璟]

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