摘 要：在圓錐曲線教學中，引入多元解題策略可以激活學生思維，讓學生從多角度觀察問題，促進深層知識的建構，從而推動學生運算素養(yǎng)的提升.

關鍵詞：高中數(shù)學；解題策略；運算素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0055-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：張銀霞（1996.10—），女，四川省成都人，碩士，從事中學數(shù)學教學研究；

邵利，女，四川省成都人，副教授，從事中學數(shù)學教育研究.

圓錐曲線的運算常給人一種復雜煩瑣的印象，使許多學生在面對此類問題時心生畏懼，不僅缺乏勇氣去嘗試計算，也未能掌握有效的運算技巧和方法，導致計算過程常常中斷，從而影響了他們在圓錐曲線題目上的得分[1].因此，很有必要在日常訓練中加強對圓錐曲線問題的解法歸類和深度反思，特別是在提升運算素養(yǎng)方面，應加大投入，因為這不僅是解答問題的基石，更是促進學生數(shù)學思維發(fā)展、培養(yǎng)學生規(guī)范化解題思維的關鍵所在.

在此，本文以2024年全國甲卷的一道高考題為例，對其解法進行探究，淺談圓錐曲線中數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 題目呈現(xiàn)與評析

題目 設橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，點M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；

（2）過P（4，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明：AQ⊥y軸.

此題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系的拓展，考查學生多思路分析、多角度求解問題的能力.第（1）問橢圓方程的解法比較常規(guī)，通過解方程組的方法可以解決，最終的答案為x24+y23=1.本文主要分析第（2）問.

2 解法探究

第（2）問的證明本質上就是運算問題，可以從韋達定理或三點共線切入，相同的切入點也可以有不同的解題策略，而運算的難易程度與解題策略的選擇密切相關.

切入點1 韋達定理.

算法1 設直線AB為x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線AB和橢圓C的方程得到x24+y23=1，x=my+4，消去變量x，得

（3m2+4）y2+24my+36=0.

再根據(jù)韋達定理，得

y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4.

設Q（1，yQ），由已知得到N（52，0）.

根據(jù)點斜式得到直線NB的方程

y=y2x2-5/2（x-52），

由此得點Q的縱坐標

yQ=y2x2-5/2（1-52）=3y25-2x2.

要證AQ⊥y軸，只需要證明yQ=y1.

因為yQ-y1=3y25-2x2-y1=3y25-2（my2+4）-y1=3y2+2my1y2+3y15-2（my2+4）=2my1y2+3（y1+y2）5-2（my2+4），

將韋達定理的結論代入上式，得

yQ-y1=72m/（3m2+4）-72m/（3m2+4）5-2（my2+4）=0.

所以得證.

點評 本解法屬于常規(guī)思路，先設出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到一元二次方程，然后由韋達定理，證明點A的縱坐標與點Q的縱坐標相等.以上過程都屬于通性通法，思路很自然，只不過對學生的計算能力要求比較髙.其中，直線方程的設法對后續(xù)運算的影響很大，在處理橢圓問題時，要想更快地求得運算結果，必須學會選擇最優(yōu)的運算方法.而最優(yōu)解法的辨析離不開平時對多種解題策略的歸納及深度思考.

算法2 依據(jù)算法1的韋達定理的結論，過點A作AQ′⊥MF于點Q′，下面證明點Q′在直線NB上，即證明kNQ′=kNB.

由已知得N（52，0），根據(jù)AQ′⊥MF可以得到點Q′（1，y1）.

所以kNQ′-kNB=y1-01-5/2-y2-0x2-5/2

=-23y1-

y2x2-

5/2

=-2my1y2/3-（y1+y2）x2-5/2.

將韋達定理的結論代入上式，得

kNQ′-kNB=-（2m/3）［36/（3m2+4）］+24m/（3m2+4）x2-5/2=0.

根據(jù)同一性可知點Q與Q′重合，所以AQ⊥y軸.

點評 本解法沒有直接算出點Q的縱坐標，而是采用間接證法，使得整個運算量變小，正確率相應提高.該法并不是直接解題，而是借助過渡工具，因此學生難以想到.雖然這種方法在解題過程中顯得不那么直觀，但它所體現(xiàn)的數(shù)學思維方法和技巧卻對學生有著深遠的影響.只有在選擇和比較方法的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，才能養(yǎng)成更全面、深刻的思考習慣，進而在新情境中采取新對策，提高分析和獨立解決問題的能力，最終促進數(shù)學思維的發(fā)展.

切入點2 A，B，P三點共線.

算法3 設A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C的方程，得

3x21+4y21=12，①

3x22+4y22=12.②

設AP=λPB，則4-x1=λx2-4λ，-y1=λy2.

由①-②×λ2，得

3x21-3（λx2）2+4y21-4（λy2）2=12-12λ2.

將其化簡后，得

3（x1-λx2）（x1+λx2）（1+λ）（1-λ）+4（y1-λy2）（y1+λy2）（1+λ）（1-λ）=12.

再把4-x1=λx2-4λ，-y1=λy2代入上式，得

5λ-2λx2+3=0.③

將③代入yQ，得

yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx2=y1.

算法4 設A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C的方程，得

3x21+4y21=12，①

3x22+4y22=12.②

由A，B，P三點共線可知y1x1-4=y2x2-4.

即x1y2-x2y1=4（y2-y1）.④

所以將①②代入，得

（x1y2-x2y1）（x1y2+x2y1）

=x21y22-x22y21

=（4+4y213）y22-（4+4y223）y21

=4（y2+y1）（y2-y1）.

把④代入可得

2x2y1+3y2-5y1=0.⑤

將⑤代入yQ，得

yQ=3y25-2x2=3y1y25y1-2y1x2=y1.

點評 算法3利用向量的方法描述共線關系，這種方式直觀且易于學生理解，但實際操作中涉及的計算步驟相對煩瑣，容易使學生陷入冗長的計算之中.相比之下，算法4選擇了斜率這一視角，簡潔明了地表達了共線的數(shù)學條件，盡管計算過程更為簡便，卻鮮有學生主動采用這一思路，這背后反映出的是學生對數(shù)學知識本質的把握不夠深入，導致在解題時難以靈活運用所學知識.

數(shù)學思維的提升，并不僅僅在于掌握解題技巧，更重要的是培養(yǎng)學生從不同角度審視問題、在不同層次上進行深度思考的能力[2].當面對新的數(shù)學問題時，學生應當能夠迅速識別問題的本質，依據(jù)新的條件選擇最合適的解題方法，并探索出解決問題的最優(yōu)方案.而要達到這一境界，學生不僅需要有完整的數(shù)學知識體系作為基礎，更需要深入理解每個數(shù)學概念的內涵和外延，掌握其背后的邏輯和規(guī)律.只有這樣，學生才能在數(shù)學學習的道路上不斷前行，提升自己的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力.

3 結束語

眾所周知，數(shù)學運算素養(yǎng)是學生學習數(shù)學過程中的一項核心素養(yǎng)，它的提升需要教師的指導和學生的主動參與.從教師的角度來說，在解析幾何的教學中，教師應注重與學生共同深入剖析題目，探求多樣化的解題策略，并細致探討其運算量.其中包括理解運算路徑的設計、節(jié)點的把握以及過程的監(jiān)控等核心要素.教師需清晰闡述每一步運算的邏輯，強調運算中的關鍵細節(jié)，并教授學生有效的代數(shù)變換方法和實用的運算技巧.這樣的教學方式旨在讓學生理解運算的動機，分析各種解法的利弊，以及運算的復雜程度，從而培養(yǎng)學生的運算思維和成就感，最終提升他們的數(shù)學運算素養(yǎng).從學生的角度來說，面對同一題目的不同解法，應該學會主動思考，比較各種解法的運算成本，以及各自的關鍵點、易錯點，然后通過不斷實踐、優(yōu)化和反思，提升數(shù)學運算素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 姬彩生.高考數(shù)學圓錐曲線解題技巧研究[J].數(shù)理化解題研究，2022（10）：18-20.

［2］ 王昌林，紀定春.對2021年高考數(shù)學甲卷圓錐曲線壓軸題的探究[J].數(shù)理化學習（高中版），2021（10）：40-44.

［責任編輯：李 璟］