[摘 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維成為教學(xué)改革的重頭戲。以逆向問題為引領(lǐng)、以逆向情境為基石、以逆向?qū)嶒?yàn)為引擎可以構(gòu)筑在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的路徑。本文按照上述路徑,以“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”為例,展開案例探究,以期能為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供實(shí)踐參考。
[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);逆向思維;教學(xué)實(shí)踐
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,逆向思維是指從結(jié)果出發(fā),反向推理出原始條件或解題過(guò)程的一種思維方式。在初中階段,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力對(duì)于他們理解復(fù)雜概念,解決實(shí)際問題至關(guān)重要。然而,傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往忽視逆向思維能力的培養(yǎng)。本研究以新課標(biāo)為指導(dǎo),從多個(gè)維度探討在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的有效策略,以期能為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的參考。
一、中學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)路徑
(一)以逆向問題為引領(lǐng),拓展逆向思維
逆向問題,是逆向思維培養(yǎng)的起點(diǎn)。具體而言,教師可以先提出一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,然后改變問題的角度,使其變?yōu)槟嫦騿栴},繼而讓學(xué)生對(duì)逆向問題進(jìn)行思考,尋找可能的解決方案。在此環(huán)節(jié),教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè),初步鍛煉逆向思維能力。當(dāng)學(xué)生提出各種解決方案后,教師可以引導(dǎo)他們逐一分析每個(gè)方案的合理性和適切性。在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的知識(shí),圍繞逆向問題進(jìn)行交流、討論,搞清楚為何某些解決方案是可行的,而另一些則不適用。需要強(qiáng)調(diào)的是,逆向問題往往沒有唯一的答案,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維。在學(xué)生找出解決方案后,教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)思考過(guò)程,包括但不限于以什么為切入點(diǎn)、哪些思路是有效的、哪些遇到了問題以及如何克服這些問題等。最后,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生將逆向思維應(yīng)用到新的、未知的情境中,解決類似的問題,以此進(jìn)行鞏固、提高。
(二)以逆向情境為基石,啟發(fā)逆向思維
逆向情境,是逆向思維培養(yǎng)的基石。具體而言,教師需要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和興趣愛好,創(chuàng)設(shè)與學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知相悖的情境,激發(fā)他們的想象力,引導(dǎo)他們從不同的角度思考問題。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)、勇于嘗試。當(dāng)學(xué)生遇到困惑或挑戰(zhàn)時(shí),教師要給予適當(dāng)?shù)膯l(fā),幫助他們找到解決問題的思路。教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論或角色扮演等活動(dòng),讓他們?cè)诨?dòng)中相互啟發(fā)、共同成長(zhǎng)。通過(guò)逆向情境,學(xué)生會(huì)更加關(guān)注問題的本質(zhì),從而找到有效的解決方法,進(jìn)而將逆向思維方法應(yīng)用到日常生活和學(xué)習(xí)中,不斷提高解決問題的能力。
(三)以逆向?qū)嶒?yàn)為引擎,強(qiáng)化逆向思維
逆向?qū)嶒?yàn),是逆向思維培養(yǎng)的引擎。具體而言,教師可設(shè)計(jì)一系列與逆向思維緊密相關(guān)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng),讓學(xué)生在實(shí)際操作中鍛煉逆向思維。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循趣味性、探究性和實(shí)用性的原則,以更好地激發(fā)學(xué)生的興趣。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,思考實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的原理。學(xué)生需要運(yùn)用逆向思維方法,對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)和解釋,并提出改進(jìn)實(shí)驗(yàn)的方案或解決實(shí)驗(yàn)問題的建議。通過(guò)逆向?qū)嶒?yàn),學(xué)生能夠更好地掌握逆向思維方法,逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
二、案例分析——以“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”為例
(一)以逆向探問為綱,織就思維之網(wǎng)
教師可以通過(guò)設(shè)置逆向問題,有效地鍛煉學(xué)生的逆向思維,幫助他們從新的角度理解和運(yùn)用知識(shí)。
首先,教師可以從“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā),提出逆向問題:“如果已知一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑,那么這個(gè)點(diǎn)會(huì)位于圓的什么位置?”這樣的問題要求學(xué)生從已知的距離關(guān)系逆向推導(dǎo)出點(diǎn)的位置,從而鍛煉他們的逆向思維能力。在解答問題的過(guò)程中,學(xué)生需要回顧和運(yùn)用所學(xué)的有關(guān)圓的知識(shí),思考點(diǎn)與圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系,進(jìn)而確定點(diǎn)的位置。
接著,教師可以將逆向問題引入“直線和圓的位置關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)中:“如果一條直線與圓相離,那么這條直線到圓心的距離與圓的半徑之間有何關(guān)系?”此問題要求學(xué)生從直線與圓相離這一位置關(guān)系逆向推導(dǎo)出直線到圓心距離與圓半徑之間的關(guān)系。學(xué)生在解答時(shí),需要回顧直線與圓相離的定義,即直線與圓沒有公共點(diǎn)。根據(jù)此定義,學(xué)生可以推斷出,當(dāng)直線與圓相離時(shí),直線到圓心的距離必須大于圓的半徑。因?yàn)槿绻本€到圓心的距離小于或等于圓的半徑,那么直線要么與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);要么與圓相切,有一個(gè)公共點(diǎn)。通過(guò)解答逆向問題,學(xué)生能夠加深對(duì)直線與圓位置關(guān)系的理解。
有了前面的基礎(chǔ),教師就可以設(shè)計(jì)拓展性的逆向問題,讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到更復(fù)雜的情境中。例如,如果一條直線與兩個(gè)相離的圓分別相切,那么這條直線與這兩個(gè)圓的圓心連線之間有何關(guān)系?這個(gè)問題不僅涉及直線與圓的位置關(guān)系,還涉及兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系,需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決,對(duì)于進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的逆向思維能力有很大的推動(dòng)作用。
(二)以逆向情境為本,激活思維之源
教師可以通過(guò)設(shè)置逆向情境,幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用幾何概念,從而發(fā)展他們的逆向思維。
1.逆向情境的創(chuàng)設(shè)與引導(dǎo)
逆向情境與常規(guī)情境不同,它能夠顛覆學(xué)生的一般認(rèn)知,激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲,促使他們從新的角度去思考問題。在“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中,教師可以通過(guò)上述方式創(chuàng)設(shè)逆向情境(見表1)。
2.逆向情境下的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
(1)小組討論。以“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”為例,教師可以設(shè)計(jì)逆向問題:“如果一條直線與圓相切,那么這條直線上與圓相切的點(diǎn)有哪些可能的位置?”接著,教師將學(xué)生分成若干小組,每組4—5人,鼓勵(lì)他們自由討論,從不同的角度提出各種猜想,并分享自己的推理過(guò)程。
(2)角色扮演。教師可以設(shè)定一個(gè)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系偵探”的情境,讓學(xué)生扮演偵探探究點(diǎn)和圓之間的位置關(guān)系。在活動(dòng)開始前,教師首先為學(xué)生提供一份“案件”資料,包括一些與點(diǎn)和圓、直線和圓相關(guān)的線索和提示。學(xué)生則需要運(yùn)用所學(xué)知識(shí),通過(guò)逆向思維方法追溯線索,提出假設(shè)并驗(yàn)證,從而找出點(diǎn)和圓之間的位置關(guān)系,找到“真相”。
(三)以逆向?qū)嶒?yàn)為軸,磨礪思維之鋒
針對(duì)“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”這部分內(nèi)容,實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)應(yīng)設(shè)定為:通過(guò)解決點(diǎn)和圓、直線和圓位置關(guān)系問題的逆向?qū)嶒?yàn)活動(dòng),使學(xué)生理解并掌握逆向思維方法,提高解決問題的能力(見表2)。
(1)實(shí)驗(yàn)任務(wù)一:點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。首先,教師展示一個(gè)圓和一個(gè)點(diǎn),并提出第一個(gè)問題:請(qǐng)判斷這個(gè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。學(xué)生回答后,教師揭曉正確答案,并講解判斷的方法。接著,教師繼續(xù)提問:如果我們想要改變點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,應(yīng)該怎么做呢?在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下,學(xué)生就會(huì)開始嘗試通過(guò)改變點(diǎn)的位置來(lái)改變點(diǎn)與圓的關(guān)系。
(2)實(shí)驗(yàn)任務(wù)二:直線和圓的位置關(guān)系。在任務(wù)一的基礎(chǔ)上,教師讓學(xué)生完成任務(wù)二:現(xiàn)在有一條直線和一個(gè)圓,請(qǐng)觀察它們的位置關(guān)系,并思考找出決定它們位置關(guān)系的關(guān)鍵因素。在此環(huán)節(jié),教師要引導(dǎo)學(xué)生從直線的角度和位置入手,思考如何通過(guò)改變直線的角度或位置來(lái)改變它與圓的位置關(guān)系。
(3)實(shí)驗(yàn)任務(wù)三:學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)任務(wù)。在前兩個(gè)任務(wù)的基礎(chǔ)上,教師鼓勵(lì)學(xué)生自行設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)任務(wù),以進(jìn)一步培養(yǎng)他們的逆向思維能力和創(chuàng)新思維。實(shí)驗(yàn)任務(wù)可以是改變圓的大小或位置,觀察點(diǎn)或直線與圓的位置變化;也可以是調(diào)整直線的角度,探索直線與圓位置關(guān)系的更多可能性;還可以是綜合多個(gè)因素,觀察它們對(duì)點(diǎn)與圓、直線與圓位置關(guān)系的影響。在自主實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,學(xué)生對(duì)點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系將有更加深刻的理解,逆向思維能力也將得到鍛煉。
上述實(shí)驗(yàn)結(jié)束后,教師可以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)總結(jié),并重點(diǎn)引導(dǎo)他們總結(jié)逆向思維在實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。例如,在判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí),可以從圓心到點(diǎn)的距離與半徑的比較入手;在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),可以通過(guò)觀察直線到圓心的距離與半徑的關(guān)系入手。
三、結(jié)語(yǔ)
綜上,培養(yǎng)初中生的逆向思維能力具有重要的意義。首先,逆向思維能夠幫助學(xué)生打破常規(guī),激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)。在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí),傳統(tǒng)的思維方式往往受限,而逆向思維則能促使學(xué)生從相反的角度審視問題,另辟蹊徑。其次,逆向思維有助于學(xué)生的邏輯推理能力和批判性思維能力的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于從結(jié)果反推原因時(shí),他們?cè)诜治龊徒鉀Q問題的過(guò)程中,會(huì)更加注重細(xì)節(jié)和邏輯關(guān)系,從而提高思維水平。最后,逆向思維還能增強(qiáng)學(xué)生的適應(yīng)能力和應(yīng)變能力。在面對(duì)不確定性時(shí),具備逆向思維能力的學(xué)生能夠靈活調(diào)整思路,找到更有效的應(yīng)對(duì)策略,這對(duì)他們未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活都有積極的影響。通過(guò)多維度分析,本研究提出了以問題引導(dǎo)、情境創(chuàng)設(shè)、思維啟發(fā)和實(shí)驗(yàn)驅(qū)動(dòng)等策略構(gòu)筑的初中生逆向思維培養(yǎng)路徑,希望能對(duì)廣大一線教師提供有益參考。
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