[摘 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維成為教學(xué)改革的重頭戲。以逆向問題為引領(lǐng)、以逆向情境為基石、以逆向?qū)嶒?yàn)為引擎可以構(gòu)筑在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的路徑。本文按照上述路徑，以“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”為例，展開案例探究，以期能為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供實(shí)踐參考。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；逆向思維；教學(xué)實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維是指從結(jié)果出發(fā)，反向推理出原始條件或解題過(guò)程的一種思維方式。在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力對(duì)于他們理解復(fù)雜概念，解決實(shí)際問題至關(guān)重要。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往忽視逆向思維能力的培養(yǎng)。本研究以新課標(biāo)為指導(dǎo)，從多個(gè)維度探討在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的有效策略，以期能為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的參考。

一、中學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)路徑

（一）以逆向問題為引領(lǐng)，拓展逆向思維

逆向問題，是逆向思維培養(yǎng)的起點(diǎn)。具體而言，教師可以先提出一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，然后改變問題的角度，使其變?yōu)槟嫦騿栴}，繼而讓學(xué)生對(duì)逆向問題進(jìn)行思考，尋找可能的解決方案。在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)，初步鍛煉逆向思維能力。當(dāng)學(xué)生提出各種解決方案后，教師可以引導(dǎo)他們逐一分析每個(gè)方案的合理性和適切性。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，圍繞逆向問題進(jìn)行交流、討論，搞清楚為何某些解決方案是可行的，而另一些則不適用。需要強(qiáng)調(diào)的是，逆向問題往往沒有唯一的答案，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維。在學(xué)生找出解決方案后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)思考過(guò)程，包括但不限于以什么為切入點(diǎn)、哪些思路是有效的、哪些遇到了問題以及如何克服這些問題等。最后，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生將逆向思維應(yīng)用到新的、未知的情境中，解決類似的問題，以此進(jìn)行鞏固、提高。

（二）以逆向情境為基石，啟發(fā)逆向思維

逆向情境，是逆向思維培養(yǎng)的基石。具體而言，教師需要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和興趣愛好，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知相悖的情境，激發(fā)他們的想象力，引導(dǎo)他們從不同的角度思考問題。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)、勇于嘗試。當(dāng)學(xué)生遇到困惑或挑戰(zhàn)時(shí)，教師要給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)，幫助他們找到解決問題的思路。教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論或角色扮演等活動(dòng)，讓他們?cè)诨?dòng)中相互啟發(fā)、共同成長(zhǎng)。通過(guò)逆向情境，學(xué)生會(huì)更加關(guān)注問題的本質(zhì)，從而找到有效的解決方法，進(jìn)而將逆向思維方法應(yīng)用到日常生活和學(xué)習(xí)中，不斷提高解決問題的能力。

（三）以逆向?qū)嶒?yàn)為引擎，強(qiáng)化逆向思維

逆向?qū)嶒?yàn)，是逆向思維培養(yǎng)的引擎。具體而言，教師可設(shè)計(jì)一系列與逆向思維緊密相關(guān)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中鍛煉逆向思維。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循趣味性、探究性和實(shí)用性的原則，以更好地激發(fā)學(xué)生的興趣。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，思考實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的原理。學(xué)生需要運(yùn)用逆向思維方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)和解釋，并提出改進(jìn)實(shí)驗(yàn)的方案或解決實(shí)驗(yàn)問題的建議。通過(guò)逆向?qū)嶒?yàn)，學(xué)生能夠更好地掌握逆向思維方法，逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、案例分析——以“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”為例

（一）以逆向探問為綱，織就思維之網(wǎng)

教師可以通過(guò)設(shè)置逆向問題，有效地鍛煉學(xué)生的逆向思維，幫助他們從新的角度理解和運(yùn)用知識(shí)。

首先，教師可以從“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，提出逆向問題：“如果已知一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，那么這個(gè)點(diǎn)會(huì)位于圓的什么位置？”這樣的問題要求學(xué)生從已知的距離關(guān)系逆向推導(dǎo)出點(diǎn)的位置，從而鍛煉他們的逆向思維能力。在解答問題的過(guò)程中，學(xué)生需要回顧和運(yùn)用所學(xué)的有關(guān)圓的知識(shí)，思考點(diǎn)與圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而確定點(diǎn)的位置。

接著，教師可以將逆向問題引入“直線和圓的位置關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)中：“如果一條直線與圓相離，那么這條直線到圓心的距離與圓的半徑之間有何關(guān)系？”此問題要求學(xué)生從直線與圓相離這一位置關(guān)系逆向推導(dǎo)出直線到圓心距離與圓半徑之間的關(guān)系。學(xué)生在解答時(shí)，需要回顧直線與圓相離的定義，即直線與圓沒有公共點(diǎn)。根據(jù)此定義，學(xué)生可以推斷出，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，直線到圓心的距離必須大于圓的半徑。因?yàn)槿绻本€到圓心的距離小于或等于圓的半徑，那么直線要么與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；要么與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)。通過(guò)解答逆向問題，學(xué)生能夠加深對(duì)直線與圓位置關(guān)系的理解。

有了前面的基礎(chǔ)，教師就可以設(shè)計(jì)拓展性的逆向問題，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到更復(fù)雜的情境中。例如，如果一條直線與兩個(gè)相離的圓分別相切，那么這條直線與這兩個(gè)圓的圓心連線之間有何關(guān)系？這個(gè)問題不僅涉及直線與圓的位置關(guān)系，還涉及兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，對(duì)于進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的逆向思維能力有很大的推動(dòng)作用。

（二）以逆向情境為本，激活思維之源

教師可以通過(guò)設(shè)置逆向情境，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用幾何概念，從而發(fā)展他們的逆向思維。

1.逆向情境的創(chuàng)設(shè)與引導(dǎo)

逆向情境與常規(guī)情境不同，它能夠顛覆學(xué)生的一般認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，促使他們從新的角度去思考問題。在“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，教師可以通過(guò)上述方式創(chuàng)設(shè)逆向情境（見表1）。

2.逆向情境下的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

（1）小組討論。以“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”為例，教師可以設(shè)計(jì)逆向問題：“如果一條直線與圓相切，那么這條直線上與圓相切的點(diǎn)有哪些可能的位置？”接著，教師將學(xué)生分成若干小組，每組4—5人，鼓勵(lì)他們自由討論，從不同的角度提出各種猜想，并分享自己的推理過(guò)程。

（2）角色扮演。教師可以設(shè)定一個(gè)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系偵探”的情境，讓學(xué)生扮演偵探探究點(diǎn)和圓之間的位置關(guān)系。在活動(dòng)開始前，教師首先為學(xué)生提供一份“案件”資料，包括一些與點(diǎn)和圓、直線和圓相關(guān)的線索和提示。學(xué)生則需要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，通過(guò)逆向思維方法追溯線索，提出假設(shè)并驗(yàn)證，從而找出點(diǎn)和圓之間的位置關(guān)系，找到“真相”。

（三）以逆向?qū)嶒?yàn)為軸，磨礪思維之鋒

針對(duì)“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”這部分內(nèi)容，實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)應(yīng)設(shè)定為：通過(guò)解決點(diǎn)和圓、直線和圓位置關(guān)系問題的逆向?qū)嶒?yàn)活動(dòng)，使學(xué)生理解并掌握逆向思維方法，提高解決問題的能力（見表2）。

（1）實(shí)驗(yàn)任務(wù)一：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。首先，教師展示一個(gè)圓和一個(gè)點(diǎn)，并提出第一個(gè)問題：請(qǐng)判斷這個(gè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。學(xué)生回答后，教師揭曉正確答案，并講解判斷的方法。接著，教師繼續(xù)提問：如果我們想要改變點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，應(yīng)該怎么做呢？在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生就會(huì)開始嘗試通過(guò)改變點(diǎn)的位置來(lái)改變點(diǎn)與圓的關(guān)系。

（2）實(shí)驗(yàn)任務(wù)二：直線和圓的位置關(guān)系。在任務(wù)一的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生完成任務(wù)二：現(xiàn)在有一條直線和一個(gè)圓，請(qǐng)觀察它們的位置關(guān)系，并思考找出決定它們位置關(guān)系的關(guān)鍵因素。在此環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從直線的角度和位置入手，思考如何通過(guò)改變直線的角度或位置來(lái)改變它與圓的位置關(guān)系。

（3）實(shí)驗(yàn)任務(wù)三：學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)任務(wù)。在前兩個(gè)任務(wù)的基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生自行設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，以進(jìn)一步培養(yǎng)他們的逆向思維能力和創(chuàng)新思維。實(shí)驗(yàn)任務(wù)可以是改變圓的大小或位置，觀察點(diǎn)或直線與圓的位置變化；也可以是調(diào)整直線的角度，探索直線與圓位置關(guān)系的更多可能性；還可以是綜合多個(gè)因素，觀察它們對(duì)點(diǎn)與圓、直線與圓位置關(guān)系的影響。在自主實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系將有更加深刻的理解，逆向思維能力也將得到鍛煉。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)總結(jié)，并重點(diǎn)引導(dǎo)他們總結(jié)逆向思維在實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。例如，在判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以從圓心到點(diǎn)的距離與半徑的比較入手；在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)觀察直線到圓心的距離與半徑的關(guān)系入手。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上，培養(yǎng)初中生的逆向思維能力具有重要的意義。首先，逆向思維能夠幫助學(xué)生打破常規(guī)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)。在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)，傳統(tǒng)的思維方式往往受限，而逆向思維則能促使學(xué)生從相反的角度審視問題，另辟蹊徑。其次，逆向思維有助于學(xué)生的邏輯推理能力和批判性思維能力的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于從結(jié)果反推原因時(shí)，他們?cè)诜治龊徒鉀Q問題的過(guò)程中，會(huì)更加注重細(xì)節(jié)和邏輯關(guān)系，從而提高思維水平。最后，逆向思維還能增強(qiáng)學(xué)生的適應(yīng)能力和應(yīng)變能力。在面對(duì)不確定性時(shí)，具備逆向思維能力的學(xué)生能夠靈活調(diào)整思路，找到更有效的應(yīng)對(duì)策略，這對(duì)他們未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活都有積極的影響。通過(guò)多維度分析，本研究提出了以問題引導(dǎo)、情境創(chuàng)設(shè)、思維啟發(fā)和實(shí)驗(yàn)驅(qū)動(dòng)等策略構(gòu)筑的初中生逆向思維培養(yǎng)路徑，希望能對(duì)廣大一線教師提供有益參考。

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