摘 要：義務(wù)教育階段的學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)推理，通常需要經(jīng)歷兩層：意識(shí)層→能力層；五級(jí)：具體化算術(shù)→結(jié)構(gòu)化算術(shù)→符號(hào)化概括→形式化建構(gòu)→一般化推廣。我們需要厘清代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的進(jìn)階規(guī)律，找準(zhǔn)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)：通過橫向變形和縱向趨同，打牢結(jié)構(gòu)化算術(shù)形成的基礎(chǔ)；通過多元表征和結(jié)構(gòu)統(tǒng)整，強(qiáng)化符號(hào)化概括；通過反思原條件和尋求新規(guī)律，達(dá)成一般化推廣。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)推理；認(rèn)知發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“推理能力”演化為“推理意識(shí)”和“推理能力”，意在凸顯推理能力的心理來源，分階段細(xì)化推理能力的培養(yǎng)過程，體現(xiàn)課程設(shè)計(jì)“螺旋上升”的理念。

［1］新課標(biāo)旨在突破依靠初中平面幾何知識(shí)“一步到位”培養(yǎng)推理能力的困境，引導(dǎo)小學(xué)教師利用數(shù)與代數(shù)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，為初中階段做準(zhǔn)備。

本文聚焦代數(shù)推理，立足代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展層級(jí)，探索推動(dòng)代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)。

一、代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的層級(jí)

史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象分為四個(gè)階段：感性具體→感性一般→理性具體→理性一般。而代數(shù)推理同樣要經(jīng)歷這樣逐級(jí)抽象、一般化的過程，甚至達(dá)到辯證邏輯思維的層次。吳立寶教授在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的層級(jí)［2］：如下頁圖1所示，將感性具體、感性一般和理性具體歸于意識(shí)層，將理性具體、理性一般和辯證邏輯歸為能力層；理性具體被看作意識(shí)層和能力層的中介；學(xué)生代數(shù)推理的認(rèn)知發(fā)展經(jīng)歷“具體化算術(shù)→結(jié)構(gòu)化算術(shù)→符號(hào)化概括→形式化建構(gòu)→一般化推廣”這樣五級(jí)，每一級(jí)是基于前一級(jí)自下而上發(fā)展的。

（一）具體化算術(shù)

具體化算術(shù)是指，以具體情境為背景，以具體數(shù)值為對(duì)象，依據(jù)算術(shù)的具體程序進(jìn)行求解的操作。這一級(jí)無法做到關(guān)聯(lián)對(duì)象之間的相似性與差異性，不能抽象出操作對(duì)象的結(jié)構(gòu)及其規(guī)律。學(xué)生是以孤立的眼光操作整體中的個(gè)體，頭腦中映射的是孤立的運(yùn)算程序和運(yùn)算結(jié)果。比如，學(xué)生在計(jì)算11×23時(shí)，是以具體的數(shù)去運(yùn)算得到結(jié)果253的，而不是抽象出其代數(shù)結(jié)構(gòu)。再如，在運(yùn)算1+3+5+7+9=25時(shí)，學(xué)生通過連加計(jì)算求得結(jié)果但并不能發(fā)現(xiàn)1+3+5+7+9=52，結(jié)果就是中間數(shù)的平方。具體化算術(shù)是代數(shù)推理的認(rèn)知起點(diǎn)，只有經(jīng)歷具體化算術(shù)，日后才能逐漸脫去具體對(duì)象、直觀情境的外衣，逐漸發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象之間潛在的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)。

（二）結(jié)構(gòu)化算術(shù)

結(jié)構(gòu)化算術(shù)的操作對(duì)象是去情境化的數(shù)字或數(shù)量，是由表及里探求代數(shù)式內(nèi)在本質(zhì)結(jié)構(gòu)的過程。結(jié)構(gòu)化算術(shù)包含縱向和橫向兩個(gè)方向的結(jié)構(gòu)識(shí)別。縱向結(jié)構(gòu)識(shí)別指的是以關(guān)聯(lián)的視角尋求若干個(gè)特殊代數(shù)式的共同屬性，橫向結(jié)構(gòu)識(shí)別指的是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行結(jié)構(gòu)變形?？v向上的觀察識(shí)別與橫向上的結(jié)構(gòu)變形二者相輔相成，互利互助。結(jié)構(gòu)化算術(shù)是由算術(shù)向代數(shù)跨越的第一步抽象，是開啟算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)推理的“鑰匙”。

（三）符號(hào)化概括

符號(hào)化概括是指，學(xué)生已經(jīng)探得若干個(gè)代數(shù)式的共同結(jié)構(gòu)，嘗試用符號(hào)代替具體

的數(shù)與數(shù)量，進(jìn)一步表示出代數(shù)式所蘊(yùn)含的規(guī)律。自然語言的表達(dá)方式、文字語言的描述或者簡潔的符號(hào)都可以用來表達(dá)結(jié)構(gòu)、揭示規(guī)律。學(xué)生在頭腦中將符號(hào)視作特殊值，但還沒有達(dá)到用符號(hào)進(jìn)行形式化推演的程度。符號(hào)化概括是由感性一般上升到理性具體的思維過程，是意識(shí)層的最高級(jí)，同時(shí)也是能力層的最低級(jí)，在意識(shí)層到能力層的過渡中起著至關(guān)重要的作用。

（四）形式化建構(gòu)

形式化建構(gòu)是指，學(xué)生不再將字母看成有限個(gè)具體數(shù)值的替代物，而沖破特殊的束縛，在頭腦中形成抽象符號(hào)的形式化表象。形式化建構(gòu)是對(duì)符號(hào)化概括的修正檢驗(yàn)，這里的形式化超越了有限和特殊的限制，向“無數(shù)”過渡，但還未達(dá)到“任意”的層面，還不具有全局性。思維由理性具體上升到理性一般，是代數(shù)推理的第二級(jí)。

（五）一般化推廣

一般化推廣有兩方面的理解：其一，將符號(hào)的含義由形式化階段的“無數(shù)”推廣到“任意”層面來表達(dá)一般化規(guī)律。符號(hào)的意義被擴(kuò)大，推向極限，形成普適的表達(dá)。正如史寧中教授所說的，抽象的最高層次是普適階段。其二，一般化推廣的認(rèn)知發(fā)展還體現(xiàn)在推廣發(fā)現(xiàn)新的更具普適性的結(jié)論，如改變一些前提條件，規(guī)律會(huì)隨之怎樣改變，進(jìn)而產(chǎn)生更具有一般性的普適的新代數(shù)結(jié)構(gòu)。［3］比如，“兩位數(shù)×11”的規(guī)律結(jié)構(gòu)被破解，如果“兩位數(shù)”的條件被改變，變成“三位數(shù)×11”，結(jié)論是否還成立？

二、推動(dòng)代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)

基于上述代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展層級(jí)，不難發(fā)現(xiàn)，意識(shí)層內(nèi)部發(fā)展的關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)化算術(shù)的形成，從意識(shí)層到能力層跨越的關(guān)鍵是符號(hào)化概括的形成，而能力層發(fā)展的關(guān)鍵則是一般化推廣的形成。

（一）結(jié)構(gòu)化算術(shù)：橫向變形，縱向趨同

我們可以從橫向與縱向兩個(gè)方面來促進(jìn)結(jié)構(gòu)化算術(shù)的形成。結(jié)構(gòu)化算術(shù)的前身是具體化算術(shù)，具體化算術(shù)的特點(diǎn)是直觀性和具體性，此時(shí)學(xué)生的思維是具象思維，看待問題伴有一定的感性色彩，這就便于引導(dǎo)其從具體的事例中找到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)，嘗試橫向變形。當(dāng)學(xué)生在具體事例中有了足夠量的積累，逐步從感性具體走向感性一般，就可以引導(dǎo)他們從有限個(gè)特殊事例中尋找聯(lián)系，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，展開縱向趨同。通過橫向變形與縱向趨同，進(jìn)一步探尋客觀不變的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。

如圖2—圖4所示，在教學(xué)整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，借助直觀圖示引導(dǎo)學(xué)生將乘法算式橫向變形為如“30×20＝（3×10）×（2×10）＝（3×2）×（10×10）”的模型。然后，引導(dǎo)學(xué)生從有限個(gè)特殊的事例中尋找聯(lián)系，關(guān)聯(lián)橫向結(jié)構(gòu)，思考這些特殊事例之間是否有關(guān)聯(lián)、有怎樣的關(guān)聯(lián)，挖掘橫向結(jié)構(gòu)的一致性，進(jìn)行“縱向趨同”，引導(dǎo)學(xué)生縱向比較整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，將橫向結(jié)構(gòu)與縱向結(jié)構(gòu)加以耦合，讓乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征“計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”得以浮出水面。

在除法運(yùn)算的教學(xué)中同樣也可以遵循“橫向變形，縱向趨同”的實(shí)施路徑：如下頁圖5-圖7所示，首先借助具體的運(yùn)算律將整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法都進(jìn)行橫向變形，改寫成“800÷40＝（8×100）÷（4×10）＝（8÷4）×（100÷10）”的結(jié)構(gòu)。然后，進(jìn)一步關(guān)聯(lián)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的結(jié)構(gòu)進(jìn)行縱向分析，尋找三者之間共通之處，發(fā)現(xiàn)除法的算理是“計(jì)數(shù)單位相除、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除”。最終，在乘法運(yùn)算結(jié)構(gòu)和除法運(yùn)算結(jié)構(gòu)上再進(jìn)行二次縱向?qū)Ρ?，發(fā)現(xiàn)二者都是“計(jì)數(shù)單位相乘除與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘除”。這就很好地體現(xiàn)了除法是乘法的逆運(yùn)算，但二者在運(yùn)算上又保持了一致性。

（二）符號(hào)化概括：多元表征，結(jié)構(gòu)統(tǒng)整

從意識(shí)層到能力層跨越的關(guān)鍵是符號(hào)化概括的形成，同時(shí)也是算術(shù)結(jié)構(gòu)走向代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要節(jié)點(diǎn)。我們需要關(guān)注早期“多元表征”與后期“結(jié)構(gòu)統(tǒng)整”兩個(gè)方面。不管是早期的非正式語言概括（如通過自然語言的說理方式或者文字語言的描述方式）或者后期的規(guī)范字母表達(dá)，都是符號(hào)化概括階段的認(rèn)知表達(dá)。這就要求我們在符號(hào)化概括的早期給予學(xué)生充足的思考空間，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)化的規(guī)律進(jìn)行多重表征，而對(duì)于表征方式和表征的抽象程度不作要求。在符號(hào)化概括的后期，學(xué)生基本掌握了規(guī)范的字母表達(dá)。但由于同一規(guī)律表征方式的不同就會(huì)帶來規(guī)律表達(dá)式結(jié)構(gòu)的不同。教師要注意培養(yǎng)學(xué)生“用字母式運(yùn)算”的能力，最終實(shí)現(xiàn)符號(hào)表達(dá)式結(jié)構(gòu)的統(tǒng)整。

如探究個(gè)位是5的兩位數(shù)的平方規(guī)律，25×25＝625，學(xué)生會(huì)概括為個(gè)位是5的兩位數(shù)的平方＝十位上的數(shù)×（十位數(shù)字＋1）×100＋52，同樣也可以概括成a25＝100a（a＋1）＋52。隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生通過多種表征方式，體會(huì)用字母表示結(jié)構(gòu)關(guān)系的簡潔性與精巧性，逐步實(shí)現(xiàn)用字母的形式進(jìn)行符號(hào)表達(dá)。

在如圖8所示的“探索規(guī)律”教學(xué)中也同樣遵循“多元表征與結(jié)構(gòu)統(tǒng)整”的實(shí)施路徑。對(duì)于“一張桌子可以坐4人，兩張桌子可以坐6人，如果像這樣接著擺下去，n張桌子可以坐多少人？”這一問題，學(xué)生呈現(xiàn)了不同的表達(dá)式，有的是將起始桌的4人看作不變，再加上新增的2（n－1）人；還有的將左右兩端的2人看作不變，再加上對(duì)坐的2n人；也有的聯(lián)系了長方形周長公式，得到了（n＋1）×2人。雖然到了符號(hào)化運(yùn)算的后期，學(xué)生都是用字母進(jìn)行表征，但是字母式背后蘊(yùn)含的方法是不同的。通過進(jìn)一步公式變形推導(dǎo)，不同的字母表達(dá)式又可以統(tǒng)整為2＋2n。

（三）一般化推廣：反思原條件，尋求新規(guī)律

一般化推廣的“推廣”一詞含有兩層含義：一是考慮規(guī)律成立前提條件的普適性，二是一個(gè)規(guī)律向一類規(guī)律的延展性。因此，一般化推廣的形成需要做好兩件事：一是引導(dǎo)學(xué)生“反思原條件”，二是啟發(fā)學(xué)生“尋求新規(guī)律”。首先，受限于小學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，代數(shù)推理往往采用不完全歸納推理的方式，這里的字母表達(dá)式往往不具有普適性。所以，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行前提限制或者說普適性檢驗(yàn)。其次，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律時(shí)，應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)追問“如果換個(gè)條件，規(guī)律會(huì)變嗎？”“這個(gè)規(guī)律是這樣，這一類規(guī)律也是這樣嗎？”只有這樣，學(xué)生的一般化推廣思維與能力才能在不斷地發(fā)展、突破、調(diào)整中得以鍛煉。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)×11”時(shí)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)“兩邊一拉，中間相加”（如12×11＝132，得數(shù)132的兩邊是由12“拉開”得到，中間的數(shù)3是由1+2得到）的規(guī)律。此時(shí)教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生反思規(guī)律成立的前提條件：如果是89×11（中間的數(shù)8＋9＝17）也成立嗎？80×11這種末尾有0的兩位數(shù)也符合規(guī)律嗎？前提條件是否為所有兩位數(shù)？教師還要啟發(fā)學(xué)生“尋求新規(guī)律”：兩位數(shù)×11的規(guī)律成立了，那它是否適用于三位數(shù)×11或四位數(shù)×11呢？

再如，當(dāng)學(xué)生觀察132－122＝13＋12、142－132＝14＋13、152－142＝15＋14時(shí)，很容易發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的平方差等于兩數(shù)之和。此時(shí)教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生“反思原條件”，規(guī)律成立的前提條件是所有兩位數(shù)還是只限于相鄰數(shù)？通過舉更多的例子可以發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)的平方差等于兩數(shù)之和乘兩數(shù)之差，而相鄰數(shù)只是因?yàn)椴顬?而省略了。教師還可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生“尋求新規(guī)律”：這樣的規(guī)律對(duì)小數(shù)、分?jǐn)?shù)同樣適用嗎？平方差公式的規(guī)律是這樣，那平方和公式會(huì)是怎樣的？只有不斷地向前追問“原條件”，向外延展“新規(guī)律”，才能形成適應(yīng)不同前提、不同類別的一般化表達(dá)，發(fā)展嚴(yán)密的代數(shù)推理能力。

參考文獻(xiàn)：

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