董祥玲 王楊 田宇

摘要：信息技術(shù)的革新不斷改變著教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都產(chǎn)生了重要的影響。GeoGebra軟件是一款功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，已逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)、研究、學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)的重要輔助性工具。它能夠動(dòng)態(tài)地展示幾何圖形的生成、變化和運(yùn)動(dòng)等過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解抽象的幾何知識(shí)。對(duì)此，針對(duì)運(yùn)用GeoGebra軟件的重要性、高中數(shù)學(xué)教學(xué)運(yùn)用GeoGebra軟件的策略、教學(xué)案例分析———以正弦函數(shù)的圖象為例進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；GeoGebra軟件；實(shí)踐；策略

近些年來(lái)，隨著我國(guó)教育信息化戰(zhàn)略的實(shí)施，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合已被越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教師所重視。GeoGebra作為一款功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，已逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)、研究、學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)的重要輔助性工具，為師生交流、生生交流搭建了平臺(tái)，也為數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)提供了豐富多元化的課程資源。

一、運(yùn)用GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)

（一）激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂大多采用講授法，教師通常將現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論直接灌輸給學(xué)生，全然不顧學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程和理解能力。殊不知這樣的填鴨式教學(xué)方式會(huì)磨滅學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，致使數(shù)學(xué)課程枯燥無(wú)味，更談不上啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考。通過(guò)GeoGebra軟件的強(qiáng)大功能，教師可以設(shè)計(jì)生動(dòng)形象、豐富多元的趣味性教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)新知的探究欲望，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生喜愛(ài)上數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（二）提高學(xué)生的信息素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，高中數(shù)學(xué)相較于初中數(shù)學(xué)更為抽象，很多數(shù)學(xué)概念或原理難以理解。由于GeoGebra軟件能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念或原理的文字語(yǔ)言以直觀、動(dòng)態(tài)、可視化的圖形語(yǔ)言展現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生可以先用幾何眼光觀察，借助代數(shù)方法分析，從形到數(shù)，從數(shù)到形，形與數(shù)之間相互轉(zhuǎn)化和結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想或規(guī)律，拓展自身的想象力和創(chuàng)造力，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念或原理的本質(zhì)理解。

（三）拓展數(shù)學(xué)課堂的新思路

將GeoGebra運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，能夠給傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)更多的創(chuàng)新與發(fā)展。GeoGebra功能強(qiáng)大，不僅能夠繪制二維、三維幾何圖形，還能夠?qū)崿F(xiàn)代數(shù)計(jì)算、繪制函數(shù)、函數(shù)變換、關(guān)系判斷等功能，既適用于幾何教學(xué)，也適用于函數(shù)教學(xué)。以幾何教學(xué)為例，GeoGebra軟件能夠簡(jiǎn)單迅速地建立幾何模型，并通過(guò)投影、旋轉(zhuǎn)等操作，直觀準(zhǔn)確地向?qū)W生展示三維幾何體中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，從而提升學(xué)生的空間想象能力。GeoGebra為數(shù)學(xué)課堂提供了一個(gè)高效平臺(tái)，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況自主調(diào)整教學(xué)課件、制作動(dòng)態(tài)課件，有效地拓展了數(shù)學(xué)課堂的新思路。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)運(yùn)用GeoGebra軟件的策略

（一）綜合運(yùn)用多種教學(xué)媒體

利用GeoGebra軟件輔助數(shù)學(xué)教學(xué)能夠使現(xiàn)代化的教學(xué)模式與傳統(tǒng)教學(xué)模式相結(jié)合，有效優(yōu)化教師的教學(xué)方式，從而彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式下枯燥、生硬、刻板的缺點(diǎn)。教師綜合運(yùn)用多種教學(xué)媒體，結(jié)合多種教學(xué)媒體的優(yōu)勢(shì)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效果的最大化。例如，教師可以先通過(guò)GeoGebra軟件制作好課件的動(dòng)態(tài)圖，再將動(dòng)態(tài)圖嵌入PPT中進(jìn)行展示，也可以通過(guò)電子白板或希沃白板展示GeoGebra軟件的動(dòng)畫(huà)課件，并在白板上書(shū)寫(xiě)重要筆記予以強(qiáng)調(diào)，實(shí)時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)概念和知識(shí)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生的深入理解。

（二）創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)化的教學(xué)情境

在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的呈現(xiàn)主要以靜態(tài)的形式為主，如黑板上的呈現(xiàn)，PPT的呈現(xiàn)等。這些靜態(tài)呈現(xiàn)不能很好地豐富數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)以及啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，尤其涉及幾何教學(xué)時(shí)，雖然教師有時(shí)也會(huì)使用一些簡(jiǎn)單的教學(xué)模具進(jìn)行展示，但無(wú)法實(shí)現(xiàn)靈活的動(dòng)態(tài)演示，致使基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生難以理解抽象的幾何概念。因此，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)化的教學(xué)情境顯得尤為必要。GeoGebra作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，動(dòng)態(tài)化正是它的核心特點(diǎn)。它能夠根據(jù)教學(xué)需求靈活設(shè)計(jì)，在課堂上展示幾何圖形的動(dòng)態(tài)切割或展開(kāi)等內(nèi)容，例如畫(huà)圓為方、繪制三角函數(shù)等。通過(guò)GeoGebra軟件，創(chuàng)設(shè)出動(dòng)態(tài)化的教學(xué)情境，從而實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)課堂所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，更好地實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和直觀想象素養(yǎng)。

（三）合理有效地運(yùn)用信息技術(shù)

教師掌握信息技術(shù)并不意味著能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理有效地運(yùn)用，教師要注重信息技術(shù)下的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)，注重信息技術(shù)、數(shù)學(xué)課程、教學(xué)方法三者之間的融合，避免“唯技術(shù)論”的傾向。教師在使用信息技術(shù)軟件GeoGebra設(shè)計(jì)課件時(shí)，不能一味地追求呈現(xiàn)一個(gè)好看的結(jié)果，要考慮教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，要更多地在數(shù)學(xué)課堂上與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)。多設(shè)計(jì)一些探究性的問(wèn)題，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考。通過(guò)GeoGebra軟件的動(dòng)畫(huà)演示、交互式動(dòng)畫(huà)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，深刻體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

（四）操作方便且功能強(qiáng)大

GeoGebra軟件交互直觀，在軟件編輯中所看到結(jié)果與最終輸出的結(jié)果具有相同的樣式，操作界面清晰、簡(jiǎn)易。軟件還內(nèi)置了豐富的繪圖與編輯工具，只需要簡(jiǎn)單的指令即可快速繪制函數(shù)、幾何圖形。GeoGebra也可以用于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，如幾何變換、函數(shù)變換等。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理。使用GeoGebra軟件，能夠精準(zhǔn)地找到各類無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)點(diǎn)，解決了傳統(tǒng)課程中各類圖象繪制難的問(wèn)題。同時(shí)，GeoGebra軟件還能夠滿足教學(xué)中的差異化需求，教師能夠根據(jù)課堂上的實(shí)際情況靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與策略。此外，軟件還擁有海量的社區(qū)資源可供使用，部分高考真題還有著詳細(xì)的過(guò)程解析，不僅能夠給教師提供交流的平臺(tái)，也方便學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)使用。

三、教學(xué)案例分析———以正弦函數(shù)的圖象為例

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

三角函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一類新的基本初等函數(shù)。在此之前教師已經(jīng)帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義。按照函數(shù)研究的方法，接下來(lái)就應(yīng)該研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。正弦函數(shù)是三角函數(shù)中第一個(gè)重要的函數(shù)，理解和掌握正弦函數(shù)的圖象是研究其他三角函數(shù)的重要基礎(chǔ)[1]。

（二）案例設(shè)計(jì)過(guò)程

任意三角函數(shù)的正弦函數(shù)圖象如何得到？按照前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的范式需要列表、描點(diǎn)、連線。為了解決描點(diǎn)時(shí)無(wú)理數(shù)如何進(jìn)行描述的問(wèn)題，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，我們利用單位圓來(lái)輔助繪制。GeoGebra就可以完美地解決這個(gè)棘手的沖突。在GeoGebra軟件的平面繪圖區(qū)中先繪制圓心坐標(biāo)為A（-1，0）的單位圓，在單位圓上取一動(dòng)點(diǎn)P，其初始位置為原點(diǎn)（0，0），使點(diǎn)P作逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)。

作一點(diǎn)H，使點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為點(diǎn)P繞圓心A旋轉(zhuǎn)的弧度，縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，同時(shí)追蹤點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡。那么，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡即為正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

通過(guò)GeoGebra軟件的度量功能，分別將點(diǎn)H的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的數(shù)值以動(dòng)態(tài)文本的形式顯示在繪圖區(qū)中。

（三）案例應(yīng)用

在實(shí)際教學(xué)中，教師先讓學(xué)生觀察圖形，再通過(guò)提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律。比如，教師可以設(shè)置這些問(wèn)題：1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的函數(shù)圖象嗎？選擇哪一個(gè)區(qū)間即可？2.已知點(diǎn)P在單位圓上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示什么？點(diǎn)H的縱坐標(biāo)和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？3.通過(guò)觀察圖形，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)表示什么？點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？通過(guò)這些問(wèn)題，學(xué)生就可以深入了解正弦函數(shù)圖象。

我們可以設(shè)置如下的課堂情景：首先打開(kāi)GeoGebra軟件，并在代數(shù)區(qū)輸入正弦函數(shù)，例如y =：sin（x）。GeoGebra會(huì)自動(dòng)在圖形區(qū)繪制出正弦函數(shù)的圖象。教師可以在課堂上通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條或者點(diǎn)擊輸入框來(lái)改變x的值，觀察正弦函數(shù)值的變化。

為了更深入地理解正弦函數(shù)的周期性，可以在代數(shù)區(qū)輸入y=sin（x +2π），然后觀察圖形區(qū)的變化。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)的圖象并沒(méi)有改變，這是因?yàn)檎液瘮?shù)具有周期性，周期為2π。

在探究過(guò)程中，還可以利用GeoGebra的測(cè)量工具來(lái)測(cè)量角度、長(zhǎng)度等，以便更準(zhǔn)確地理解正弦函數(shù)的性質(zhì)。

借助GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)鼠標(biāo)操作從而觀察點(diǎn)H的坐標(biāo)與點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)性。例如，當(dāng)點(diǎn)P繞圓心A旋轉(zhuǎn)的弧度為1.11時(shí)，點(diǎn)H的位置如圖 1所示，即sin1.11=0.89。當(dāng)點(diǎn)P繞圓心A旋轉(zhuǎn)的弧度為1.89時(shí)，點(diǎn)H的位置如圖2所示，即sin1.89=0.95。通過(guò)選擇連續(xù)坐標(biāo)點(diǎn)，學(xué)生可以直觀地感受到函數(shù)繪制的動(dòng)態(tài)過(guò)程，從而深刻地理解正弦曲線，加深對(duì)正弦曲線函數(shù)圖象的印象。

此外，在后續(xù)的研究中還可以通過(guò)改變正弦函數(shù)中的系數(shù)來(lái)探究其振幅和相位的變化?？梢韵韧ㄟ^(guò)GeoGebra軟件制作好課件的動(dòng)態(tài)圖函數(shù)y=Asin（ωX+φ），再將動(dòng)態(tài)圖嵌入PPT中進(jìn)行展示，也可以通過(guò)電子白板或希沃白板展示GeoGebra軟件的動(dòng)畫(huà)課件，實(shí)時(shí)結(jié)合振幅、周期和相位對(duì)函數(shù)y=Asin（ωX+φ）的影響，在白板上書(shū)寫(xiě)重要筆記予以強(qiáng)調(diào)，促進(jìn)學(xué)生的深入理解。

（四）案例小結(jié)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)一大特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般性和抽象性。許多學(xué)生在理解三角函數(shù)概念和想象其函數(shù)圖象時(shí)常覺(jué)得較困難。在上面的案例中，筆者應(yīng)用GeoGebra軟件的度量工具實(shí)時(shí)顯示函數(shù)自變量和因變量的變化關(guān)系，并通過(guò)GeoGebra軟件的平面繪圖功能將三角函數(shù)圖象的生成過(guò)程予以準(zhǔn)確地繪制出來(lái)[2]。應(yīng)用此案例，學(xué)生可以直觀認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖象，進(jìn)而加深對(duì)三角函數(shù)的理解。由此可見(jiàn)，在輔助函數(shù)的教學(xué)中，GeoGebra軟件具有提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力的優(yōu)勢(shì)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用GeoGebra軟件是一種有效的教學(xué)策略。通過(guò)動(dòng)態(tài)展示幾何圖形、探索幾何規(guī)律和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力等方法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維能力[3]。GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)在于其動(dòng)態(tài)性、交互性、跨平臺(tái)性和開(kāi)放性；而其創(chuàng)新用法則包括制作微課件、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、創(chuàng)建交互式應(yīng)用程序和在線協(xié)作學(xué)習(xí)等。這些優(yōu)勢(shì)和創(chuàng)新用法使得GeoGebra在數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)中具有廣泛的應(yīng)用前景。在實(shí)踐過(guò)程中，教師運(yùn)用多媒體教學(xué)、創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)化教學(xué)情境、合理有效地運(yùn)用信息技術(shù)等進(jìn)行研究。只有這樣，才能充分發(fā)揮GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅建宇.從融合到創(chuàng)新：基于GeoGebra的數(shù)學(xué)深度教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（2）.

[2] 岳峻.指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的可視化教學(xué)：基于GeoGebra 的數(shù)學(xué)可視化實(shí)驗(yàn)[J].中小學(xué)數(shù)字化教學(xué)，2021（8）.

[3] 左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過(guò)程優(yōu)化研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020（1）.

編輯/趙卓然