黃柱鳳　陳兆堅

［摘 要］基于高考評價體系和數(shù)學學科特點，高考數(shù)學命題越來越加強對關(guān)鍵能力的考查，由考知識向考能力轉(zhuǎn)變。解三角形中的最值與范圍問題是高考數(shù)學的考查熱點，是考查學生關(guān)鍵能力的重要載體。結(jié)合學生的學情，通過微專題復(fù)習，可讓學生不僅掌握利用基本不等式和三角函數(shù)求解三角形中的最值與范圍的方法，而且能夠讓學生通過比較和思考，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律和策略。文章以高三復(fù)習課“解三角形中的最值與范圍問題”為例對基于關(guān)鍵能力考查的微專題復(fù)習課教學進行探討。

［關(guān)鍵詞］關(guān)鍵能力；解三角形；最值；范圍

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0033-03

縱觀近幾年的高考數(shù)學試卷，解三角形中的最值與范圍問題考查頻率不低，一般處于解答題第二小問的位置，分值大多為5～6分。對于解三角形中的最值與范圍問題，筆者結(jié)合本校學生的實際情況，采用微專題的形式引導學生復(fù)習。而選擇入口小、針對性強的微專題，能讓學生在完成相關(guān)知識內(nèi)容復(fù)習的同時，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

本文以高三復(fù)習課“解三角形中的最值與范圍問題”為例，對基于關(guān)鍵能力考查的微專題復(fù)習課教學進行探討。

一、教學過程

（一）憶一憶

【例1】［廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試數(shù)學（理科）第17題］在[△ABC]中，角[A、B、C]的對邊分別為[a、b、c]，已知[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）? ]。

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]為銳角三角形，[b=3]，求[a2+c2]的取值范圍。

解：（1）由[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）]，根據(jù)正弦定理可得[（b-c）（b+c）=a（a-c）]，

所以[a2+c2-b2=ac]，由余弦定理可得[cosB=a2+c2-b22ac=12]，∵[B∈（0，π）]，∴[B=π3]。

（2）由余弦定理得[b2=a2+c2-2accosB]，所以[3=a2+c2-ac]，即[a2+c2=3+ac]，

由余弦定理得[asinA=csinC=bsinB=332=2]，即[a=2sinA]，[c=2sinC]，又[C=2π3-A]，所以[ac=4sinAsinC=4sinAsin2π3-A=23sinAcosA+2sin2A][ =3sin2A-cos2A+1=2sin2A-π6+1]，由[△ABC]為銳角三角形，得[0

對于第（2）小問，學生利用基本不等式求出了最大值，但取值范圍的左端點求不出。可見，學生對基本題型的解題策略不熟悉。

設(shè)計意圖：通過回顧廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試數(shù)學（理科）第17題，讓學生知道在解決三角形中的取值與范圍問題時，可以先把邊轉(zhuǎn)化成角，再利用三角函數(shù)求解，為本節(jié)復(fù)習課的教學做好鋪墊。

變式1：若[b=3]，求[a2+c2]的最大值。

設(shè)計意圖：第（2）小問條件不變，問題改變，把求取值范圍變成求最大值，可由此喚醒學生利用基本不等式求最值的經(jīng)驗，同時為引出例題做好鋪墊。

（二）講一講

【例2】（2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數(shù)學第17題）[△ABC]中，[sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC]。

（1）求[A]；

（2）若[BC=3]，求[△ABC]周長的最大值。

解：（1）設(shè)[△ABC]三個內(nèi)角[A]、[B]、[C]的對邊分別為[a]、[b]、[c]，由正弦定理[asinA=bsinB=csinC=2R]得[a2-b2-c2=bc]，由余弦定理得[cosA=b2+c2-a22bc=-12]，∵[A∈（0，π）]，∴[A=2π3]。

（2）解法一：（利用基本不等式）

由（1）以及余弦定理得[a2=b2+c2-2bccosA]，代入數(shù)據(jù)化簡得[a2=b2+c2+bc]， 即[（b+c）2=a2+bc=9+bc]，故[bc=（b+c）2-9]，由均值不等式得[bc≤b+c22]，將其代入上式得[（b+c）2-9≤（b+c）24]，

當且僅當[b=c]時等號成立，解得[b+c≤23]，所以[△ABC]的周長[a+b+c]的最大值為[3+23]。

解法二：（利用三角函數(shù)）

由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=23] ，即[b=23sinB]，[c=23sinC]。

記[△ABC]的周長為[C△ABC]，則[C△ABC=3+23（sinB+sinC）]，

[∵A+B+C=π]， [∴C=π3-B]且[B∈0，π3]，[C△ABC=3+23sinB+sinπ3-B=3+23sinB+π3]，

[∵B+π3∈π3，2π3] 所以當[B+π3=π2]時，[sinB+π3]有最大值1，所以[△ABC]的周長的最大值為[3+23] 。

設(shè)計意圖：本題的重點在于第（2）小問，它可以采用兩種解法進行解答，進而復(fù)習鞏固用基本不等式和把邊轉(zhuǎn)化成角利用三角函數(shù)求最值的方法。而該題運用基本不等式求最值更便捷。該小問的難點是方法的選取和三角函數(shù)的化簡。課堂上，教師首先投影學生做題情況并讓學生講解思路，然后對學生的答題規(guī)范情況和思路進行點評，最后給出規(guī)范的解答過程。

變式2：（2）求[△ABC]周長的取值范圍。

設(shè)計意圖：利用基本不等式，只能求出取值范圍的最大值，取值范圍的左端點只能依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊；利用三角函數(shù)，取值范圍的左右端點依然可以結(jié)合角的范圍得到，此題并沒有體現(xiàn)三角函數(shù)求取值范圍的通法的優(yōu)越性。

變式3：（2）在銳角[△ABC]中，若[A=π3]，[BC=3]，求[△ABC]周長的取值范圍。

設(shè)計意圖：增加“在銳角三角形中”這一條件，如果利用基本不等式求解，用不到銳角三角形這個條件；但如果把邊轉(zhuǎn)化成角再利用三角函數(shù)求取值范圍，可以直接利用銳角三角形角的范圍求解。該變式體現(xiàn)了三角函數(shù)解法的優(yōu)越性和通用性，讓學生感受到這兩種解法的區(qū)別，從而總結(jié)兩種解法及其適用條件。

（三）測一測

在[△ABC]中，角[A、B、C]所對的邊分別為[a、b、c]，已知[3b=2asinB]。

（1）求角[A]的大?。?/p>

（2）若[a=6]，求[b+c]的取值范圍。

解：（1）由[3b=2asinB]及正弦定理化簡得[3sinB=2sinAsinB]，

∵[sinB≠0] ， ∴[sinA=32]， 由銳角三角形知[A=60°]。

（2）由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=43]，故[b=43sinB]，[c=43sinC]，[∵A+B+C=π]，[A=60°]，∴ [C=120°-B]，

[∴b+c=43sinB+sin（120°-B）=4332sinB+32cosB=12sin（B+30°）]，

由銳角三角形得[0°

由三角函數(shù)圖象知[sin（B+30°）∈32，1]， ∴[b+c=12sin（B+30°）∈63，12]。

設(shè)計意圖：本題的重點在于第（2）小問，讓學生對在例題和變式中總結(jié)的解法進行演練，學會快速地選擇求取值范圍的方法，熟練地把邊轉(zhuǎn)化成角再利用三角函數(shù)求解。

（四）拓一拓

（1）（2014年全國高考新課標Ⅰ卷理科數(shù)學第16題）已知[a、b、c]分別為[△ABC]三個內(nèi)角[A、B、C]的對邊，[a=2]，且[（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC]，則[△ABC]面積的最大值為? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）（2011年全國高考新課標理科數(shù)學第16題）在[△ABC]中，[B=60°]，[AC=3]，則[AB+2BC]的最大值為? ? ? ? ? ? ? 。

（3）（2019年全國高考新課標Ⅲ卷理科數(shù)學第18題）[△ABC]的內(nèi)角[A、B、C]的對邊分別為[a、b、c]，已知[asinA+C2=bsinA]。

（Ⅰ）求[B]；

（Ⅱ）若[△ABC]為銳角三角形，且[c=1]，求[△ABC]面積的取值范圍。

設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)的訓練題選自高考真題，一方面讓學生了解此類題型在高考中出現(xiàn)的頻率不低，另一方面讓學生進一步加深和鞏固對該題型的理解，學會靈活應(yīng)用，進而提升學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維。

二、教學反思

（一）精選習題

本節(jié)課的習題選用模擬題、高考真題及相應(yīng)變式，具有代表性和典型性。以廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試數(shù)學（理科）第17題作為例題，對近十年全國高考數(shù)學試卷中的解三角形中的最值與范圍問題進行分析。該類題型以中等難度題和基礎(chǔ)題為主，通常利用基本不等式和三角函數(shù)來求解。為了更好地讓學生復(fù)習鞏固舊知、獲取新知，提高學生分析問題、解決問題的能力，教師精選習題。本節(jié)課教師選取2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數(shù)學第17題作為例題，引導學生運用基本不等式和三角函數(shù)兩種方法解題，并對高考真題的問題進行變式，把求最值變成求取值范圍，再變式添加銳角三角形這一條件。如此，讓學生學會根據(jù)題目所給的條件和問題內(nèi)容選擇解題方法，以及留意每種解題方法在使用過程中需要注意什么?！皽y一測”中的習題主要讓學生熟悉題型、解題方法和書寫步驟。

（二）一題多變

本節(jié)課的設(shè)計讓學生經(jīng)歷由求最值到求取值范圍，一題多變，由淺入深，層層推進。以2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數(shù)學第17題作為例題，對例題進行三次變式，以加深學生對該類題型的理解和認識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

（三）規(guī)范書寫

本節(jié)課的習題以解答題的形式呈現(xiàn)，而解答題需要學生書寫規(guī)范的解答過程。為了讓學生規(guī)范書寫，教師在每道習題后面都參考高考答題卡的形式設(shè)計了相應(yīng)的答題框，旨在讓學生養(yǎng)成在規(guī)定地方答題的習慣。同時，通過多媒體投影對學生的答題情況進行點評，并給出規(guī)范的答題過程。讓學生規(guī)范書寫答題過程，這不僅是高考的要求，還是對學生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求。

（四）預(yù)留時間

本節(jié)課在解答例題和講解環(huán)節(jié)都給學生留足思考的時間，并讓學生說明自己是怎么想的；在“測一測”環(huán)節(jié)中更是模擬考試場景讓學生動筆作答，展現(xiàn)解題過程，調(diào)動學生的主觀能動性，讓課堂活起來。課堂上給學生思考表達的時間，有助于學生理解吸收知識，同時便于教師了解學生的思考方式，更好地實現(xiàn)教學目標。而這也有利于培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，提升學生的思維品質(zhì)，提高學生的語言表達能力和邏輯推理能力。

綜上所述，在高三第二輪復(fù)習教學中，教師要深入研究學情、考情，發(fā)現(xiàn)學生的問題，根據(jù)學生的實際情況采用針對性的復(fù)習策略，幫助學生解決困惑，有效復(fù)習。通過本節(jié)課的微專題復(fù)習，學生掌握了解決三角形中的最值與范圍問題的基本思想方法，構(gòu)建了完整的知識網(wǎng)絡(luò)，更重要的是關(guān)鍵能力得到了提升。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 韓雪.發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì) 提升解題能力：以“一類含二次形式的多元變量最值問題”為例談高三二輪微專題的教學［J］.中學數(shù)學教學參考，2020（34）：52-54.

［2］? 李瑞杰.一節(jié)高三復(fù)習課的設(shè)計與反思［J］.中學數(shù)學教學參考，2020（31）：44-45，51.

［3］? 姚發(fā)權(quán).基于關(guān)鍵能力考查的“等差數(shù)列與等比數(shù)列”復(fù)習課設(shè)計示例［J］.中學數(shù)學教學參考，2023（1）：54-56.

（責任編輯 羅 艷）