盛晗笑 余波

摘? 要：在新時(shí)代教育背景下，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，強(qiáng)調(diào)聚焦學(xué)生核心素養(yǎng).對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，首先接觸到的有關(guān)運(yùn)算的數(shù)學(xué)知識(shí)是有理數(shù)及其運(yùn)算，其中有理數(shù)的混合運(yùn)算難度大，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生后續(xù)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有鋪墊作用.而如何在核心素養(yǎng)下提高初中生有理數(shù)混合運(yùn)算能力，需要從教師教學(xué)及學(xué)生的計(jì)算過(guò)程等方面入手解決.根據(jù)不同的運(yùn)算法則，教師在教學(xué)過(guò)程中要層層遞進(jìn)，不斷優(yōu)化運(yùn)算法則，才能從根本上培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，而學(xué)生及時(shí)完善計(jì)算過(guò)程，則能使有理數(shù)混合運(yùn)算的正確率有所提高.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；有理數(shù)；混合運(yùn)算；運(yùn)算能力

中圖分類號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0024-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：盛晗笑（1997—），女，浙江省杭州人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)論研究;

余波（1979—），男，湖南省株洲人，博士，副教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)論、計(jì)算數(shù)學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：湖南省教育改革重點(diǎn)項(xiàng)目“基于中學(xué)創(chuàng)新型教師培養(yǎng)的數(shù)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范生課程體系改革研究”（HNJG-2021-012917C0466）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“雙一流建設(shè)背景下大數(shù)據(jù)計(jì)算創(chuàng)新型教師的產(chǎn)學(xué)實(shí)踐研究”（202102452011）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“基于新工科“三創(chuàng)一體”的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)模式改革研究”（202102468009）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng).運(yùn)算能力是初中生核心素養(yǎng)發(fā)展的具體表現(xiàn)之一，主要指的是根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.學(xué)生掌握運(yùn)算能力不僅指可以得到正確運(yùn)算結(jié)果，還應(yīng)包括對(duì)運(yùn)算問(wèn)題的理解、運(yùn)算過(guò)程中形成的運(yùn)算思維及一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度［1］.

有理數(shù)的運(yùn)算是學(xué)生在初中階段最先接觸到的運(yùn)算，并且在之后的數(shù)學(xué)知識(shí)中都會(huì)有不同程度的體現(xiàn).掌握了有理數(shù)的運(yùn)算，可以為學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下良好基礎(chǔ)，形成規(guī)范化的運(yùn)算思維.而在有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)中，因其將各種運(yùn)算法則和運(yùn)算律綜合在一起，對(duì)學(xué)生而言計(jì)算的難度較大，正確率也較低.

1 內(nèi)容分析

有理數(shù)的混合運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法及乘方的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行的內(nèi)容，該內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后續(xù)學(xué)生理解掌握方程、不等式及實(shí)數(shù)的運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)作鋪墊.因此，有理數(shù)的混合運(yùn)算具有承上啟下的作用.

有理數(shù)混合運(yùn)算這一節(jié)內(nèi)容屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課程標(biāo)準(zhǔn)》）中的數(shù)與代數(shù)部分，要求學(xué)生在這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中能夠掌握相關(guān)的運(yùn)算方法，合理解釋運(yùn)算結(jié)果，形成一定的運(yùn)算能力、推理能力和抽象能力.

在人教版教材中，有理數(shù)混合運(yùn)算處于七年級(jí)上冊(cè)第一章第五節(jié)，教材指出進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，可以得出有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律；掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，并運(yùn)用有理數(shù)混合運(yùn)算的順序進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算；在有理數(shù)的混合運(yùn)算中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

2 教學(xué)現(xiàn)狀

在學(xué)習(xí)有理數(shù)混合運(yùn)算前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法以及乘方的運(yùn)算法則和運(yùn)算律.但由于對(duì)各個(gè)運(yùn)算法則尚不熟練以及自身基礎(chǔ)的差異，學(xué)生在混合計(jì)算過(guò)程中容易出現(xiàn)符號(hào)遺漏、簡(jiǎn)單計(jì)算錯(cuò)誤及不會(huì)靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算律，導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程繁瑣，最終出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

由于混合運(yùn)算的復(fù)雜性，教師在教學(xué)中普遍存在一定困難，且大多數(shù)教師認(rèn)為學(xué)生對(duì)于這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)最重要的就是練習(xí)，沒(méi)有考慮到學(xué)生的運(yùn)算能力與運(yùn)算思維是有一定關(guān)聯(lián)的，只是想單純依靠熟能生巧解決學(xué)生的計(jì)算問(wèn)題.

3 有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)措施

王紅權(quán)老師認(rèn)為，當(dāng)前學(xué)生普遍存在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不高的問(wèn)題，與有理數(shù)混合運(yùn)算技能不高有直接關(guān)系.為此，他提出了對(duì)應(yīng)的教學(xué)措施，其中包括混合運(yùn)算教學(xué)四原則、把好混合運(yùn)算教學(xué)入門(mén)關(guān)、改進(jìn)去括號(hào)法則教學(xué)以及運(yùn)算單元先行的主線，這為教師進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算教學(xué)提供了新的思路［2］.在開(kāi)展有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)活動(dòng)前，教師應(yīng)當(dāng)研究新課程標(biāo)準(zhǔn)，分析學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，在充分了解學(xué)生學(xué)情后，有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)；在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，教師不僅需要傳授概念性的知識(shí)，同時(shí)也需要在課堂中不斷示例，通過(guò)系統(tǒng)且具有邏輯性的解題步驟讓學(xué)生更深刻地理解“運(yùn)算順序”“同級(jí)運(yùn)算”的知識(shí)內(nèi)容；在教學(xué)活動(dòng)后，教師要及時(shí)跟進(jìn)學(xué)生的解題情況，幫助學(xué)生在計(jì)算書(shū)寫(xiě)過(guò)程中養(yǎng)成良好的習(xí)慣和一絲不茍的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 明確運(yùn)算級(jí)別，掌握運(yùn)算順序

在學(xué)習(xí)有理數(shù)混合運(yùn)算之前，教師就要在單獨(dú)的有理數(shù)運(yùn)算中讓學(xué)生感受到不同運(yùn)算級(jí)別的差異以及同一運(yùn)算級(jí)別的共性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解，發(fā)展其核心素養(yǎng).

首先，學(xué)生接觸到的是有理數(shù)的加法和減法，其中，有理數(shù)減法的法則是：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).因此，減法可以看作是加法的逆運(yùn)算，減法和加法可以看作是同一運(yùn)算級(jí)別，在教學(xué)中，教師需要通過(guò)具體的加減法練習(xí)使學(xué)生深刻理解該知識(shí)點(diǎn).

之后，學(xué)生在加減法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法和除法.在有理數(shù)的乘法中，由于乘法可以看作幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，如3×5可以看作3個(gè)5相加得到的結(jié)果，因此乘法是由多個(gè)加法組成的，是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，即乘法的運(yùn)算級(jí)別也就高于加法.而在有理數(shù)的除法中，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，在此基礎(chǔ)上，教師通過(guò)有理數(shù)的乘除練習(xí)，可以使學(xué)生對(duì)乘除互逆有更直觀的記憶.

在有理數(shù)的乘方學(xué)習(xí)中，由于乘方運(yùn)算可以看作幾個(gè)相同因數(shù)的積，如34可以看作4個(gè)3相乘得到的結(jié)果，因此，乘方是由多個(gè)乘法組成的、乘法的特殊形式，特殊之處在于因數(shù)都相同，而當(dāng)多個(gè)相同因數(shù)相乘時(shí)，乘方的表示可以令書(shū)寫(xiě)更為簡(jiǎn)潔，即乘方的運(yùn)算級(jí)別高于乘法.在教學(xué)時(shí)，教師可以通過(guò)幾個(gè)不同的乘方運(yùn)算讓學(xué)生口述如何轉(zhuǎn)化為乘法，感受乘方的優(yōu)先級(jí)高于乘法.

運(yùn)算級(jí)別是根據(jù)其運(yùn)算的難易程度劃分的，而通過(guò)各運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)明確有理數(shù)運(yùn)算中的各個(gè)級(jí)別.這就方便了教師在有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)中明確運(yùn)算順序由高級(jí)到低級(jí)依次進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)于同級(jí)運(yùn)算，則從左到右依次進(jìn)行運(yùn)算.

3.2 優(yōu)化去括號(hào)法則，減少對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤

核心素養(yǎng)要求初中生具備運(yùn)算能力，能夠理解算理，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題.在有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)中，除了要明確運(yùn)算順序由高級(jí)到低級(jí)外，還要明確有括號(hào)的情況下該如何計(jì)算.而不同的情況下是否要選擇不同的運(yùn)算策略，是教師需要考慮的問(wèn)題.人教版教材指出，如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行；浙教版教材關(guān)于有理數(shù)混合運(yùn)算中含括號(hào)的運(yùn)算也指出，如有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.而當(dāng)括號(hào)前系數(shù)不為1時(shí)，學(xué)生容易用乘法對(duì)加法的分配律解決問(wèn)題，從而導(dǎo)致一些計(jì)算錯(cuò)誤.例如，-4×5-1/16=-4×5-4×1/16是由于符號(hào)的錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果的錯(cuò)誤.針對(duì)符號(hào)錯(cuò)誤，教師在進(jìn)行乘法對(duì)加法的分配律教學(xué)時(shí)，需要明確分配律的具體內(nèi)容為一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，因此，括號(hào)內(nèi)應(yīng)當(dāng)看成5與－1/16的和，而不是5與1/16的差，也就是說(shuō)，在進(jìn)行分配律的乘法運(yùn)算時(shí)，先判斷括號(hào)內(nèi)是哪兩個(gè)數(shù)的和是關(guān)鍵，帶上括號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的符號(hào)，再進(jìn)行分配律的運(yùn)算，能夠大大減少錯(cuò)誤率，因此，正確的解題步驟應(yīng)為-4×5-1/16=-4×5+-4×-1/16=-20+1/4.而通過(guò)對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子的觀察，可以發(fā)現(xiàn)5-1/16=80/16

-1/16=79/16，直接對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行計(jì)算也并不困難.學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)其積極思考.所以，學(xué)生在解題時(shí)，完全可以根據(jù)括號(hào)內(nèi)數(shù)字的復(fù)雜程度，以及自身是否易犯符號(hào)錯(cuò)誤，對(duì)解題方法進(jìn)行選擇，教師無(wú)需強(qiáng)制規(guī)定學(xué)生用分配律進(jìn)行計(jì)算.

3.3 規(guī)范草稿書(shū)寫(xiě)，強(qiáng)調(diào)結(jié)果檢驗(yàn)

對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于其形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，從而有助于核心素養(yǎng)的培養(yǎng).通過(guò)對(duì)某公辦初中兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生有理數(shù)混合運(yùn)算的草稿進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)存在以下幾點(diǎn)問(wèn)題：一是不寫(xiě)草稿，直接在試題下呈現(xiàn)解題過(guò)程，導(dǎo)致出現(xiàn)較多的低級(jí)錯(cuò)誤；二是草稿較為隨意，不按照步驟順序書(shū)寫(xiě)，導(dǎo)致計(jì)算失誤；三是草稿書(shū)寫(xiě)凌亂，導(dǎo)致檢驗(yàn)時(shí)無(wú)從下手，直接跳過(guò)檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤不易發(fā)現(xiàn).

在進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的教學(xué)過(guò)程中，例題的講解尤為重要，而教師在講解有關(guān)有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算題時(shí)，是否做好例題解題的步驟示范，這很大程度上也影響了學(xué)生課后的做題情況.如果教師在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算教學(xué)時(shí)，從不重視解題步驟，學(xué)生潛意識(shí)也會(huì)認(rèn)為解題步驟可有可無(wú)，只要求出答案即可，從而導(dǎo)致運(yùn)算的正確率大大降低.教師在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算教學(xué)中，對(duì)于例題的運(yùn)算板演，要起到示范的作用，書(shū)寫(xiě)出詳細(xì)的步驟，說(shuō)出每一步驟所運(yùn)用的運(yùn)算法則，幫助學(xué)生理解算法和算理之間的關(guān)系，從而對(duì)學(xué)生課后獨(dú)自解題起到潛移默化的效果，提升學(xué)生的計(jì)算能力.

對(duì)于草稿書(shū)寫(xiě)隨意或書(shū)寫(xiě)凌亂而導(dǎo)致無(wú)從檢查的學(xué)生，教師可以在課堂上表?yè)P(yáng)寫(xiě)草稿優(yōu)秀的學(xué)生，給其余學(xué)生一個(gè)有效的示范.在課后，教師也可以對(duì)運(yùn)算不過(guò)關(guān)的學(xué)生進(jìn)行草稿抽查，圈畫(huà)草稿中存在的問(wèn)題，幫助學(xué)生及時(shí)改正問(wèn)題.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)有理數(shù)的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，是初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)前期需要思考的問(wèn)題.有效培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，理解算法與算理之間的關(guān)系，需要教師在教學(xué)過(guò)程中明確有理數(shù)運(yùn)算級(jí)別的差異和共性，幫助學(xué)生理解不同運(yùn)算級(jí)別之間的聯(lián)系，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的順序；有效培養(yǎng)學(xué)生合理選擇策略進(jìn)行運(yùn)算，需要教師對(duì)去括號(hào)法則進(jìn)行優(yōu)化，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)自身基礎(chǔ)及運(yùn)算習(xí)慣選擇合適的運(yùn)算方法；有效培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，需要教師抓好學(xué)生課堂練習(xí)及課后作業(yè)的草稿情況，課上展示優(yōu)秀作品，課外指導(dǎo)存在的問(wèn)題.有理數(shù)混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，需要教師通過(guò)課前揣摩、課上教學(xué)、課后指導(dǎo)等途徑幫助學(xué)生形成運(yùn)算思維，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，從而提升其核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 王紅權(quán).用“運(yùn)算單元”優(yōu)化混合運(yùn)算發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào).2022（4）：22-25.

［責(zé)任編輯：李? 璟］