摘? 要：分類討論是一種常用的數(shù)學(xué)解題思想與方法，在初中數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用，它在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠起到“化整為零、各個(gè)擊破”的作用，從而有利于降低解題難度.要在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用好分類討論思想，需要全面理解掌握分類討論數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵與應(yīng)用原則、解題的一般步驟以及常見(jiàn)的解題類型.通過(guò)對(duì)分類討論思想的實(shí)踐應(yīng)用，可以幫助初中學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)并提高解題能力.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0021-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：馬春秀（1976.10—），女，甘肅省康樂(lè)人，本科，中小學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往需要從多個(gè)方面進(jìn)行分類討論，才能形成全面的解題結(jié)果.掌握分類討論思想，有利于學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)全面思考，也有利于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行求解，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，有效降低解題難度.要提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與效率，需要讓學(xué)生掌握分類討論思想的應(yīng)用原則、一般步驟及不同類型的解題策略，才能為解題提供幫助.

1 分類討論思想的內(nèi)涵與應(yīng)用原則

在解題過(guò)程中，分類討論思想是指當(dāng)所給的數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)對(duì)象不能用統(tǒng)一的方法或標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究時(shí)，就需要把該問(wèn)題或?qū)ο蟀凑漳硞€(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類或分情況，然后逐個(gè)類型或情況進(jìn)行研究，最后歸納不同情況的結(jié)果，就能得到完整結(jié)果的一種數(shù)學(xué)思想方法［1］.

要有效應(yīng)用分類討論思想解題，需要掌握其解題應(yīng)用原則：一是統(tǒng)一性原則.在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題或?qū)ο笠凑战y(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類或分情況.二是全面性原則.在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)ο蠓诸悤r(shí)，要充分考慮各種情況，分類要做到全面、完整，不遺漏每種情況.三是互斥性原則.進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題分類時(shí)，所分類型或情況不能兼容，必須相互排斥、互不包含，即各種分類情況不能有交集.四是層次性原則.如果一次分類后，某個(gè)子項(xiàng)仍然需要再分類時(shí)，必須嚴(yán)格按照分類層次進(jìn)行逐級(jí)再分類［2］.

2 分類討論思想解題的一般步驟

利用分類討論思想進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，一般應(yīng)按照以下步驟進(jìn)行解題：一是首先需要確定分類討論的對(duì)象及其取值或應(yīng)用范圍；二是對(duì)確定的對(duì)象按照某個(gè)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理的分類；三是逐級(jí)、逐類對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行討論，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到全面解決；四是對(duì)每種分類情況的討論結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，形成全面系統(tǒng)的解題結(jié)果.

在解題過(guò)程中，對(duì)分類討論每種情況得出的結(jié)論或結(jié)果需要進(jìn)行歸納總結(jié)，以形成全面完整的解題結(jié)果，其歸納形式有三種：一是并列形式.其形式為：“當(dāng)……時(shí)，……；當(dāng)……時(shí)，……”.二是“或”形式.其形式為：“……或……”.三是“且”形式.其形式為：“……且……”［3］.

3 分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 由數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)等引起的分類討論

由于一些數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)等本身就具有分類性質(zhì)，如絕對(duì)值、分段函數(shù)、反比例函數(shù)等數(shù)學(xué)概念.當(dāng)數(shù)學(xué)題目中包含這些內(nèi)容時(shí)，或基于這些內(nèi)容設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題時(shí)就需要分類討論.

例1? 解不等式|4x+7|>|6x-9|.

解析? 該不等式含有絕對(duì)值，需要分類討論：

當(dāng)4x+7≥0且6x-9≥0時(shí)，原不等式變成4x+7＞6x-9，得x＜8；當(dāng)4x+7≥0且6x-9<0時(shí)，原不等式變成4x+7＞-（6x-9），得x＞-16/13；當(dāng)4x+7＜0且6x-9≥0時(shí)，原不等式變成-（4x+7）＞6x-9，得x＜-2/5；當(dāng)4x+7＜0且6x-9＜0時(shí)，原不等式變成-4x+7＞-（6x-9），得x＞

8/13；綜合以上結(jié)果，可得出不等式的解集是x＜-2/5或-

16/13＜x＜8/13.

例2? 在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)正比函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x兩者的圖象沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，以下結(jié)論正確的是（? ）

A.m+n＜0? B.m+n＞0

C.mn＜0? D.mn＞0

解析? 根據(jù)反比例函數(shù)y=k/x的性質(zhì)可知，當(dāng)k>0時(shí)圖象在一、三象限，隨x增大而y減??；當(dāng)k<0時(shí)圖象在二、四象限，隨x增大而y增大.在本題給出的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)，可分以下兩種情況進(jìn)行分類討論：

當(dāng)m＞0且n＜0時(shí)，符合題意要求，可知此時(shí)mn＜0，但不能確定m+n的正負(fù)；當(dāng)m＜0且n＞0時(shí)，符合題意要求，可知此時(shí)mn＜0，但不能確定m+n的正負(fù)；綜上所述，只有C選項(xiàng)符合題意.

3.2 由圖形位置關(guān)系引起的分類討論

由于不同圖形的位置關(guān)系存在不確定性，當(dāng)兩條直線、兩個(gè)圓、直線與圓、不同平面幾何圖形之間、平面幾何圖形與函數(shù)圖像位置關(guān)系可能發(fā)生變化時(shí)，需要對(duì)這些不同情況進(jìn)行分類討論.

例3? 有一個(gè)直角三角形紙片ABC，∠C是直角， AB=10，AC=6，點(diǎn)M是BC邊上的任意一點(diǎn)，將三角形紙片沿著過(guò)M點(diǎn)的直線MN進(jìn)行折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的P點(diǎn).如果△BMP為直角三角形，求CM的長(zhǎng).

解析? 在本題中只說(shuō)明△BMP為直角三角形，并沒(méi)有規(guī)定哪個(gè)角是直角，因此需以△BMP的直角為對(duì)象進(jìn)行分類討論.

在Rt△BMP中，當(dāng)∠BMP=90°時(shí)，圖形對(duì)應(yīng)的情形如圖1所示.由勾股定理可求得BC=102-62=8，根據(jù)題意可知四邊形CMPN為正方形，設(shè)CM=x，則BM=8-x，AN=6-x，容易證明△ANP∽△PMB，根據(jù)三角形相似性質(zhì)可得出，AN/PM=PN/BM，即6-x/x=x/8-x，可求出x=24/7，則CM=24/7.

當(dāng)∠BPM=90°時(shí)，圖形對(duì)應(yīng)的情形如圖2所示.連接AM，容易證明△APM≌△ACM，從而可知CM=PM，AC=AP=6，BP=10-6=4，BM=8-x，在Rt△BMP中，由勾股定理可得x2+42=（8-x）2，解方程可得出x=3.

綜合以上兩種情況可得出CM的長(zhǎng)是3或24/7.

3.3 由參數(shù)變化引起的分類討論

對(duì)于包含參數(shù)的方程問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題等，由于參數(shù)取值范圍的存在不確定性，在解題時(shí)，需要對(duì)題目中的參數(shù)進(jìn)行分類討論.

例4?? 已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+x+1（a是常數(shù)）的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

解析? 在解決此題時(shí)，許多學(xué)生會(huì)把函數(shù)y=ax2+x+1（a是常數(shù)）默認(rèn)為二次函數(shù)，然后再利用二次函數(shù)根的判別式△=0，就可以求出a=1/4，這樣解題就容易漏掉a=0的情況.出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，看似是學(xué)生粗心造成的，實(shí)際上是學(xué)生沒(méi)有牢固樹(shù)立分類討論思想.正確的解題步驟應(yīng)該是：

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+1是一次函數(shù)y=x+1，它與x軸存在一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+1是二次函數(shù)，令△=0，即1-4a=0，可求出a=1/4，因此當(dāng)a=0或a=1/4時(shí)，函數(shù)y=ax2+x+1（a是常數(shù)）的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn).

例5? 已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x，y兩個(gè)坐標(biāo)軸交于M，N兩點(diǎn)，并且△MON的面積是S△MON=16，OM∶ON=1∶2，求該函數(shù)的表達(dá)式.

解析? 由于該函數(shù)是一次函數(shù)，則a≠0.因?yàn)镾△MON=16，即OM/2·ON=16，所以O(shè)M·ON=32.設(shè)OM=x，因?yàn)镺M∶ON=1∶2，所以O(shè)N=2x，從而可知OM·ON=x·2x=32，可求出x=±4（x=-4不合題意，舍去），所以x=4，即OM=4，ON=8.由于該函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)不確定，因此需要對(duì)a，b兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

當(dāng)a>0，b>0時(shí)，該一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)M（-4，0），N（0，8）兩點(diǎn)，容易求出其函數(shù)表達(dá)式為y=2x+8；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，用同樣的方法可求出函數(shù)表達(dá)式為y=2x-8；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，同理可求出函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+8；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，同理可求出函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-8.

綜上所述，該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x±8或y=-2x±8.

3.4 由實(shí)際問(wèn)題引起的分類討論

在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可能出現(xiàn)的不同情況或不同對(duì)象進(jìn)行分類討論，這樣才能使解題結(jié)果具有全面性與合理性.

例6? 某公司計(jì)劃暑期組織員工去集體旅游，估計(jì)人數(shù)在10～30之間，準(zhǔn)備由A、B旅行社承辦，其服務(wù)質(zhì)量與基本收費(fèi)價(jià)格相同，都是每人400 元.但是A旅行社將會(huì)給每人打七五折優(yōu)惠，B旅行社在免除一位游客費(fèi)用的同時(shí)打八折.如果你是公司旅游組織者，你會(huì)如何選擇哪個(gè)旅行社？

解析? 在該實(shí)際問(wèn)題中，由于準(zhǔn)備旅游的員工人數(shù)還不能確定，也就不能準(zhǔn)確計(jì)算每個(gè)旅行社的費(fèi)用.如果假設(shè)參加旅游的員工人數(shù)為x，A旅行社的費(fèi)用是400×0.75x，B旅行社的費(fèi)用是400×

0.8（x-1）.這樣就把選擇旅行社的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成數(shù)值大小比較的問(wèn)題了，即員工人數(shù)在10～30人之間時(shí)，比較400×0.75x與400×0.8（x-1）兩個(gè)式子的數(shù)值大小.

要比較兩個(gè)式子的大小，需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)把員工人數(shù)x作為分類討論對(duì)象時(shí)，顯然無(wú)法確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，此分類方法不可取.如果把旅行費(fèi)用作為分類討論對(duì)象，則可以按照兩個(gè)旅行社的費(fèi)用大小分三種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)400×0.75x>400×0.8（x-1）時(shí)，可得x＜16；當(dāng)400×0.75x=400×0.8（x-1）時(shí)，可得x=16；當(dāng)400×0.75x＜400×0.8（x-1）時(shí)，可得x＞16.

由此可知，當(dāng)參與旅游的員工人數(shù)少于16人時(shí)，選擇B旅行社，公司付出的旅行費(fèi)較少；當(dāng)員工人數(shù)等于16人時(shí)，選擇A和B旅行社，公司付出的旅行費(fèi)相同；當(dāng)員工人數(shù)多于16人時(shí)，則選擇A旅行社，公司付出的旅行費(fèi)較少.

4 結(jié)束語(yǔ)

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，它是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法.通過(guò)把復(fù)雜的大問(wèn)題分解成若干個(gè)不同情況的小問(wèn)題進(jìn)行討論并求解，既能降低解題難度，又能使問(wèn)題得到全面解決，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與推理能力.因此，教師要加強(qiáng)分類討論思想在解題中的應(yīng)用教學(xué)，讓學(xué)生真正理解分類討論思想的內(nèi)涵與應(yīng)用原則，學(xué)會(huì)合理分類、解題步驟和結(jié)論歸納形式，掌握其不同類型的解題應(yīng)用策略，提高學(xué)生解題能力.

參考文獻(xiàn)：［1］ 孫倩.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中外交流，2021，28（2）：198-199.

［2］ 楊蕾.試談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.新課程（教研版），2021（45）：94.

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［責(zé)任編輯：李? 璟］