［摘" 要］ 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，“數(shù)”與“形”能從不同的角度反映事物的屬性. 不論是“以形助數(shù)”還是“以數(shù)輔形”，都能為更簡便、精準(zhǔn)地理解數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題提供幫助. 文章用兩個教學(xué)實(shí)例分別從“避免‘唯形論’”“力求‘準(zhǔn)確論’”“注重論證過程”三個角度展開思考與分析.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合；教學(xué)應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想

作者簡介：陶小玉（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)方法，指將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或?qū)D形性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的一種研究方式，隨著數(shù)與形的互相融合與轉(zhuǎn)化，逐漸形成的一種解題思想方法. 在學(xué)生以直觀形象思維占主導(dǎo)地位的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開“形”的支持. 雖然直觀的“形”具備獨(dú)有的優(yōu)勢，但它也存在粗略、不變等劣勢.

將簡潔的數(shù)量關(guān)系與直觀的形象特征相結(jié)合不僅能充分展示數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力，還能活躍學(xué)生的思維，為深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 結(jié)合日常聽課與同行交流等反饋情況，筆者發(fā)現(xiàn)教師雖然能認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性，但對其研究的深度尚不足. 為此，筆者從兩個案例出發(fā)，對數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開剖析與思考.

案例展示

類比分析：應(yīng)用解法1的學(xué)生從函數(shù)著手，借助導(dǎo)數(shù)以及介值定理解決了問題. 筆者在巡視學(xué)生的解題情況時發(fā)現(xiàn)，他們在分類討論上做得很精準(zhǔn)，在判斷0lt;mlt;時函數(shù)的最大值大于0上也沒有問題，但在探尋函數(shù)值小于0的x值上出現(xiàn)了障礙. 一些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，探尋到x=1和x=后，用規(guī)范的格式呈現(xiàn)出來，順利解決了問題.

應(yīng)用解法2的學(xué)生比應(yīng)用解法1的學(xué)生多一些，這部分學(xué)生思維的障礙點(diǎn)在于作函數(shù)y=的圖象——圖2、圖3、圖4都是學(xué)生作出來的函數(shù)圖象. 逐個觀察，作出圖2的學(xué)生顯然已經(jīng)理解并掌握了函數(shù)的單調(diào)性，明確了該如何利用其性質(zhì)與極值點(diǎn)作圖，但并沒有掌握定義域邊界上的作圖要領(lǐng)，導(dǎo)致錯誤發(fā)生；作出圖3的學(xué)生雖然掌握了x→+∞時函數(shù)圖象的走勢，但沒有把握住曲線的凹凸情況，導(dǎo)致結(jié)論錯誤；作出圖4的學(xué)生，從整體上來說很不錯，但與實(shí)際圖象還存在一定的差異.

借助數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行解題的關(guān)鍵在于建立數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，只有把握好數(shù)與形的轉(zhuǎn)化功能，才能從真正意義上發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用價值，將復(fù)雜的問題簡約化、明朗化. 數(shù)與形的合理轉(zhuǎn)化建立在對知識深度理解與靈活應(yīng)用的基礎(chǔ)上，有些問題的表面雖然不能反映出數(shù)形轉(zhuǎn)化的可能性，但通過隱含條件的挖掘與解題思路的拓寬，也能另辟蹊徑.

由于筆者在借助幾何畫板展示圖象時，忽略了動態(tài)連貫的過程，因此僅有部分認(rèn)知水平較高的學(xué)生理解了其中的奧秘，還有部分學(xué)生沒能理解點(diǎn)A，B從拋物線對稱軸右側(cè)逐漸趨向并跨越對稱軸時函數(shù)最大值與最小值之差（高度差）在不斷縮小. 發(fā)現(xiàn)這個問題后，筆者便借助幾何畫板的動畫演示功能，將（t-1）向左拖動，讓學(xué)生直觀看到區(qū)間［t-1，t+1］內(nèi)最大值和最小值之差的變化，使學(xué)生更好地理解高度差最小的意義.

1. 避免“唯形論”

綜上兩個實(shí)例，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法在日常教學(xué)中的應(yīng)用價值，學(xué)生也存在較好的主動應(yīng)用意識，解題中能將方程、函數(shù)、圖象等進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，這是值得欣慰的地方. 同時發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生過于側(cè)重圖形的應(yīng)用，將大部分精力放在如何利用圖形優(yōu)化解題過程，而忽略了圖形的本質(zhì)，導(dǎo)致畫圖時出現(xiàn)精確度不夠、不規(guī)范、尺寸失調(diào)或缺乏數(shù)理論證等情況，因此產(chǎn)生誤判或爭議.

或許迫于升學(xué)壓力，不少教師在引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行解題時，常常存在功利的心態(tài)，側(cè)重圖形的應(yīng)用，而對圖形的生成視而不見，導(dǎo)致學(xué)生無法深刻理解數(shù)形結(jié)合中的“結(jié)合”二字的本質(zhì)含義. 所謂的數(shù)形結(jié)合是精準(zhǔn)的數(shù)與清晰的形相結(jié)合，數(shù)決定形，而形又能助數(shù). 切忌重形輕數(shù)，若遇到復(fù)雜的圖形時，則要回歸到數(shù)中加以剖析.

在案例1中，類似函數(shù)y=的圖象，對于學(xué)生而言確實(shí)比較復(fù)雜. 學(xué)生雖然可以判斷出曲線的大致走向，但要畫出精準(zhǔn)的函數(shù)圖象存在一定的困難，這涉及函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)以及曲線凹凸相關(guān)知識，超出了本節(jié)課的教學(xué)范圍，因此筆者倡導(dǎo)應(yīng)用解法1解題. 當(dāng)然，對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以補(bǔ)充這方面的內(nèi)容，體現(xiàn)出新課標(biāo)所倡導(dǎo)的因材施教與差異化教學(xué)的理念.

2. 力求“準(zhǔn)確論”

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，不論是數(shù)據(jù)還是圖形都講究精準(zhǔn)化，教學(xué)中遇到徒手作圖的情況，需從準(zhǔn)確、美觀、規(guī)范著手. 教材上所呈現(xiàn)的圖形均具有精準(zhǔn)美觀的特點(diǎn)，學(xué)生可作為范本使用. 對于基本功扎實(shí)的學(xué)生，面對簡單的函數(shù)圖象時，徒手作圖并沒有多大問題，但面對復(fù)雜的函數(shù)圖象時，則要慎重考慮，徒手作圖往往難以達(dá)到較好的效果.

若想將復(fù)雜的圖象準(zhǔn)確地畫出來，需要借助現(xiàn)代化的信息技術(shù)，如圖形計算器、幾何畫板等，學(xué)生能從這些直觀、精準(zhǔn)的圖中獲得直接、清晰的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，避免錯誤發(fā)生（例如圖2、圖3所示的錯誤，圖4雖然也不夠精確，但基本呈現(xiàn)了圖形的大趨勢）.

眾所周知，教師是課堂的引導(dǎo)者，教師在課堂中的作圖習(xí)慣，直接影響學(xué)生的作圖態(tài)度. 清晰、準(zhǔn)確的作圖習(xí)慣是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，因此教師示范作圖應(yīng)做到規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，借助圓規(guī)、直尺等工具規(guī)范作圖，讓圖形的形狀、比例盡可能精準(zhǔn)，切忌為了縮短作圖時間而大致畫圖.

在日常練習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生喜歡“裸畫”圖形，出現(xiàn)不完整的坐標(biāo)系、無數(shù)據(jù)的圖形、無解釋的符號等. 由于作出來的圖形充斥著大量問題，導(dǎo)致各種錯誤發(fā)生. 出現(xiàn)這些問題的主要原因在于教師引導(dǎo)學(xué)生作圖時沒有力求將“準(zhǔn)確論”貫徹落實(shí)到位，殊不知，精準(zhǔn)的圖形是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的前提與保障.

3. 注重論證過程

從案例2中不難發(fā)現(xiàn)，生甲準(zhǔn)確地掌握了數(shù)形結(jié)合思想方法，他將函數(shù)f（x）=mx2+20x+14（mgt;0）的圖象與y=mx2（mgt;0）的圖象實(shí)施類比分析，進(jìn)而解決了問題. 這種方法反映他對基本圖象性質(zhì)已經(jīng)有了較好的理解，而美中不足的是缺乏當(dāng)（t+1）與（t-1）關(guān)于原點(diǎn)對稱時，對圖象性質(zhì)進(jìn)行周密論證的過程.

不少教師對圖象性質(zhì)的論證，一般采用的是直觀觀察、口頭解釋等方法，少有教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)論證和驗(yàn)算. 若從應(yīng)試的角度出發(fā)，用數(shù)形結(jié)合思想方法解答填空題或選擇題，基礎(chǔ)扎實(shí)的學(xué)生基本能順利完成，但遇到一些有較復(fù)雜的函數(shù)圖象的問題時，難免會因?yàn)閷D象性質(zhì)缺乏深刻理解而漏洞百出.

實(shí)踐證明，教師應(yīng)注重對圖象性質(zhì)進(jìn)行精準(zhǔn)論證的過程，為學(xué)生用數(shù)學(xué)方法和準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)作圖奠定基礎(chǔ). 若數(shù)與形的辯證關(guān)系出現(xiàn)差錯，必然帶來錯誤的判斷，這也是一再強(qiáng)調(diào)“以數(shù)輔形”的價值與意義. 一旦擁有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過程作為解題的基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合就能達(dá)到完美的境界.

總之，形的直觀性特征能將數(shù)的抽象性特征生動、直觀地展現(xiàn)出來，將復(fù)雜的抽象思維轉(zhuǎn)化成直觀形象思維，有利于學(xué)生掌握知識的本質(zhì)，同時數(shù)的精確性又能彌補(bǔ)形的不足. 在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地將兩者結(jié)合在一起，帶領(lǐng)學(xué)生從不同角度全面、準(zhǔn)確地考量問題，為提升學(xué)生的解題能力、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識奠定基礎(chǔ).