黃顯榮

摘 要：新教材背景下，教師開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，不斷優(yōu)化教學(xué)模式和教學(xué)舉措。其中，教師不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)，不僅對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的成效影響顯著，同時(shí)也對(duì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展具有重大影響。因此，新教材背景下，本文深入探討了培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象思維的意義與困境，在此基礎(chǔ)上提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的策略，為更好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)提供思路和策略指引。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；抽象思維；培養(yǎng)策略

高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)相對(duì)較為枯燥，一定程度影響學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科知識(shí)的積極性。從以往教學(xué)實(shí)踐來看，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度相對(duì)其他學(xué)科來說明顯更高，學(xué)生實(shí)際投入的學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)精力也遠(yuǎn)多于其他學(xué)科，但是相當(dāng)比例的學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)成效不佳，數(shù)學(xué)素養(yǎng)未能從根本上得到提升。究其原因，高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)具有較強(qiáng)的抽象性，但是多數(shù)學(xué)生受抽象思維限制，無法較好掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，因而在實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)習(xí)思路不清以及對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握情況不佳等方面的問題，給學(xué)習(xí)效果帶來較大影響。新教材下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)理念等，與舊教材相比均應(yīng)發(fā)生一定的調(diào)整，以此更好地適應(yīng)新時(shí)期高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，為促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)。本文基于新教材背景下，探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的策略，為高效開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供思路借鑒。

一、高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的作用

（一）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)抽象思維體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，從數(shù)學(xué)產(chǎn)生開始直至實(shí)際應(yīng)用，均蘊(yùn)藏顯著的數(shù)學(xué)抽象思維。在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)，有助于學(xué)生更加深入全面掌握數(shù)學(xué)概念和學(xué)習(xí)方法，形成更加完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，進(jìn)而精準(zhǔn)理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，促使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加的簡單易懂，以助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不斷提高。與此同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中形成數(shù)學(xué)思維，有助于更好地把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，顯著增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維，使得學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)可以應(yīng)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，因而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升具有極大的幫助[1]。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)抽象思維鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，突破傳統(tǒng)思維方式的束縛，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。通過抽象思維，學(xué)生能夠更好地把握問題的本質(zhì)和規(guī)律，從而提出新的解決問題的方法。數(shù)學(xué)抽象思維是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造力，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

（三）提升學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)質(zhì)效

高中階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)方面投入的時(shí)間與精力占比最高。教師在運(yùn)用新教材開展數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，通過不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的效率與效果，將學(xué)生從繁重的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)中解脫出來，并在學(xué)習(xí)其他學(xué)科知識(shí)方面投入更多的時(shí)間精力，進(jìn)而提升學(xué)生整體學(xué)習(xí)質(zhì)效，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中形成的數(shù)學(xué)抽象思維，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)其他學(xué)科知識(shí)也具有非常大的幫助，極大提升了學(xué)生學(xué)習(xí)效率，改善了學(xué)習(xí)效果，切實(shí)提升高中階段整體學(xué)習(xí)質(zhì)效。

二、新教材背景下高中生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)策略

（一）運(yùn)用多樣化教學(xué)形式激發(fā)學(xué)生抽象思維

新教材下，教師針對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)各類教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)注重教學(xué)方式的多樣性，運(yùn)用更加多樣化的教學(xué)方式，改變以往教學(xué)形式單一導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果不佳的不利局面。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，一方面應(yīng)合理制定各階段，甚至每堂課的教學(xué)目標(biāo)，將抽象思維培養(yǎng)融入其中，另一方面需要合理設(shè)定實(shí)現(xiàn)各階段及各節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)形式，以此確保預(yù)期教學(xué)活動(dòng)高效開展。同時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，應(yīng)充分結(jié)合當(dāng)前時(shí)期不斷更新迭代的教育教學(xué)新技術(shù)，不僅可以豐富課堂教學(xué)的形式，而且更加符合時(shí)代發(fā)展趨勢(shì)，能夠更好地吸引學(xué)生學(xué)習(xí)注意力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)形式的創(chuàng)新，由此吸引學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)注，同時(shí)使得課堂學(xué)習(xí)氛圍更加活躍[2]。

比如：在開展直線與平面垂直教學(xué)時(shí)，上課時(shí)，教師立正，問學(xué)生：老師身體所在的直線和地面的位置關(guān)系是什么？然后讓學(xué)生說說身邊的實(shí)物有哪些也體現(xiàn)這種位置關(guān)系？充分利用身邊的實(shí)物讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直，從而積極構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。接著，教師利用多媒體展示隨著太陽的移動(dòng)，旗桿和其影子所在直線的關(guān)系，通過動(dòng)畫呈現(xiàn)給班級(jí)學(xué)生，從而引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納形成直線與平面垂直的概念。接下來通過問題情境讓學(xué)生思考：用定義能判定直線與平面垂直嗎？方便嗎？學(xué)生容易感知，用定義可以判斷直線與平面垂直，但很難驗(yàn)證一條直線與平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們需要尋找直線與平面垂直更好用、更簡便的方法。由此再通過師生互動(dòng)，借助直角三角板和翻開一本書立在桌面，提出猜想：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面。最后讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)：拿三張全等的硬三角形紙片，分別沿不同的折痕折紙，讓學(xué)生帶著問題動(dòng)手折紙，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，再進(jìn)行自由發(fā)言，得出結(jié)論：折痕不一定與桌面垂直，當(dāng)且僅當(dāng)沿著底邊的高線折起，才能使折痕與桌面垂直，從而歸納得到直線與平面垂直的判定定理。從實(shí)際操作中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅能夠形成數(shù)學(xué)思維，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的理解，夯實(shí)了后續(xù)相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用。

因此，通過運(yùn)用多樣化的教學(xué)形式，引導(dǎo)和幫助學(xué)生主動(dòng)利用身邊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，抽象理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更好形成數(shù)學(xué)抽象思維；引導(dǎo)和幫助學(xué)生看清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，從抽象到具體，再從具體到抽象，逐步提升數(shù)學(xué)抽象思維。

（二）運(yùn)用問題思維鏈建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系

新教材下，教師開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生抽象思維當(dāng)作重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)，不斷調(diào)動(dòng)學(xué)生鍛煉自身抽象思維的積極性，使之在解決抽象數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠更加積極主動(dòng)。所以，對(duì)于教師而言，要從學(xué)生學(xué)習(xí)角度出發(fā)，合理設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，鍛煉提升抽象思維[3]。

比如：在講解新教材新增加的內(nèi)容《總體百分位數(shù)的估計(jì)》這節(jié)課時(shí)，鑒于百分位數(shù)的概念比較抽象，直接得到百分位數(shù)的概念有一定的難度，故筆者結(jié)合學(xué)生已掌握中位數(shù)知識(shí)，合理設(shè)置問題思維鏈，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新知進(jìn)行抽象概括，形成新的知識(shí)體系?，F(xiàn)設(shè)置如下問題：

給出以下兩組數(shù)據(jù)，分別求出它們的中位數(shù)，并思考以下兩個(gè)問題：

第一組? ?1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? 9? 10

第二組? ?1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? 9

問題1：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，小于中位數(shù)的比例和大于中位數(shù)的比例一定各占50%嗎？

問題2：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，小于等于中位數(shù)的比例和大于等于中位數(shù)的比例一定各占50%嗎？

追問：課本問題2中要找的數(shù)，100個(gè)樣本數(shù)據(jù)小于等于的比例和大于等于的比例分別是多少？

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用問題1、2和追問，引導(dǎo)學(xué)生得到結(jié)論，一組數(shù)據(jù)中，至少有50%的數(shù)據(jù)小于等于中位數(shù)，且至少有50%的數(shù)據(jù)大于等于中位數(shù)。中位數(shù)又稱第50百分位數(shù)。課本問題2中要找的數(shù)，至少有80%的數(shù)據(jù)小于等于，至少有20%的數(shù)據(jù)大于等于。數(shù)稱為第80百分位數(shù)，或80%分位數(shù)。

問題3：類比中位數(shù)和數(shù)的特征，你能歸納第百分位數(shù)的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析兩個(gè)特例，概括它們的本質(zhì)特征，從而抽象出第百分位數(shù)的概念，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

運(yùn)用問題思維鏈，強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，更能讓學(xué)生感受到新概念的產(chǎn)生是自然的。這種引入方式可以引發(fā)學(xué)生更加深入地對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考，從而強(qiáng)化抽象思維的深刻性，為學(xué)生進(jìn)一步提升學(xué)科核心素養(yǎng)奠定良好基礎(chǔ)。

（三）運(yùn)用數(shù)學(xué)模型啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維

教師在運(yùn)用新教材開展數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的作用，利用學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解與認(rèn)知，幫助學(xué)生從抽象的活動(dòng)中，汲取數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，教師開展數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的作用，將其作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的重要途徑。例如：《指數(shù)函數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容，新教材增加“旅客人次增長規(guī)律和死亡生物體內(nèi)碳14含量衰減規(guī)律”這兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用背景，教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主體作用，抽象概括出指數(shù)增長或衰減的模型，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納它們的共性，從而構(gòu)建出指數(shù)函數(shù)模型，讓學(xué)生感受建模的過程。通過這種建模過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)思維更加發(fā)散，同時(shí)提升了學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用問題抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，最終較好實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)效果[4]。

另外，在實(shí)際教學(xué)中，教師只構(gòu)建課本中提及的模型，難以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的目的，而且會(huì)導(dǎo)致諸多問題。如模型比較簡單，對(duì)學(xué)生而言構(gòu)建意義不大；模型過于復(fù)雜，會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生無法理解，影響教學(xué)的進(jìn)度。因此，教師要根據(jù)實(shí)際的教學(xué)需要及學(xué)生的認(rèn)知水平，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生建模能力及數(shù)學(xué)抽象思維的目的。比如：教師在教學(xué)“多面體的外接球”相關(guān)知識(shí)時(shí)，課后習(xí)題是以求正方體的外接球半徑為例，教師可在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新的模型：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的外接球的球心在哪兒，直徑如何求解，并運(yùn)用多媒體將這些幾何體外接球的數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)出來。相比多面體的外接球問題，這些旋轉(zhuǎn)體的外接球的球心、半徑會(huì)更容易找到，因此選它們作為模型讓學(xué)生更容易理解。接下來通過相關(guān)實(shí)例，讓學(xué)生應(yīng)用上述模型解決常見多面體的外接球問題，結(jié)合已經(jīng)掌握的幾何知識(shí)，很快能夠得到。通過這一過程，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到將數(shù)學(xué)理論知識(shí)與模型相結(jié)合，在解決實(shí)際問題中具有的應(yīng)用價(jià)值，有效增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象意識(shí)，形成了抽象思維，進(jìn)而較好培育了數(shù)學(xué)抽象能力。

（四）優(yōu)化解題過程，注重解題思路和方法

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)之一，優(yōu)化解題過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維的重要手段之一。在解題過程中，教師需要注重解題思路和方法的引導(dǎo)和優(yōu)化。例如：講完平面向量這章知識(shí)，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)看到平面向量數(shù)量積運(yùn)算問題不知該用哪個(gè)公式，思路混亂，教師在講解時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，看題目的條件屬于有坐標(biāo)類型還是沒坐標(biāo)類型，有坐標(biāo)類型的題目，先算坐標(biāo)，然后采用平面向量坐標(biāo)表示的相關(guān)公式來解決；而沒坐標(biāo)類型的題目則采用沒坐標(biāo)的公式進(jìn)行求解。講完兩種類型的題目再進(jìn)行比較，區(qū)別在哪兒，如何分辨是哪種類型，舉一反三，對(duì)于有特殊圖形的平面向量問題也可以引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為有坐標(biāo)類型問題求解。因此，通過分析條件和問題之間的關(guān)系，選擇合適的解題策略，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而優(yōu)化解題過程，提升數(shù)學(xué)抽象思維。

此外教師還可以通過一題多解、一題多變等形式的訓(xùn)練幫助學(xué)生拓展解題思路，提煉解題方法，讓學(xué)生在解題的過程中提高數(shù)學(xué)抽象思維能力。

例如：在中，已知，，求面積的最大值。

此題有三種解法：解法一可運(yùn)用余弦定理和基本不等式來求解三角形面積的最大值；解法二運(yùn)用正弦定理化邊為角，把三角形的面積表示為三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)知識(shí)求面積的最大值；解法三可運(yùn)用幾何法，由題意知邊長度定，角定，根據(jù)初中所學(xué)圓的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用尺規(guī)作圖，可以得到點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，由此，求面積的最大值轉(zhuǎn)化為求圓弧上點(diǎn)到直線距離的最大值。講完三種解法，引導(dǎo)學(xué)生比較不同方法間的優(yōu)劣， 從而更好地選擇解題方法。

另外，此題還可以進(jìn)行變式：

變式1：在中，已知，，求周長的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：做此題之前可以先問學(xué)生三角形面積的取值范圍如何求，再求三角形周長取值范圍，求完三角形周長取值范圍，進(jìn)一步問學(xué)生將題目條件增加一個(gè)條件銳角三角形，又如何求解？通過變式，體會(huì)三種解法的優(yōu)缺點(diǎn)，尋找解決此類問題的通法。

變式2：在中，已知，，求的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：通過求平面向量數(shù)量積的取值范圍，巧妙地把這章前面學(xué)的平面向量知識(shí)與解三角形知識(shí)聯(lián)系起來，進(jìn)一步學(xué)會(huì)解決解三角形中遇到的取值范圍問題。通過一題多變的方式，讓學(xué)生進(jìn)一步思考和探索，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。

因此，通過一題多解、一題多變的方式，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解題思路和方法，幫助他們抽象出解決數(shù)學(xué)問題的方法，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力。

結(jié)束語

新教材下，教師開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的模式、理念等相對(duì)以往發(fā)生了顯著改變，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的重視程度明顯更高?？傮w來看，數(shù)學(xué)抽象思維是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)極為關(guān)鍵的部分，也是提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要內(nèi)容。教師通過不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)，有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，降低其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，切實(shí)提升學(xué)生整體學(xué)習(xí)效率。因此，對(duì)于教師而言，要將培養(yǎng)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力作為一個(gè)重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)，推動(dòng)教學(xué)形式更加豐富，深入挖掘?qū)W生抽象思維能力及意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在此過程中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，改善思維能力，實(shí)現(xiàn)抽象思維的進(jìn)一步發(fā)展，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，為學(xué)生實(shí)現(xiàn)更加全面的發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)。

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