? 山東省膠州市第三中學(xué) 胡曉潔

1 題目:2023年上海卷第21題

已知f(x)=lnx,取點(diǎn)(a1,f(a1))過其作曲線y=f(x)的切線交y軸于點(diǎn)(0,a2),取點(diǎn)(a2,f(a2))過其作曲線y=f(x)的切線交y軸于點(diǎn)(0,a3),若an≤0則停止,以此類推,得到數(shù)列{an}.

(1)若正整數(shù)m≥2,證明:am=lnam-1-1;

(2)若正整數(shù)m≥2,試比較am與am-1-2的大小;

(3)若正整數(shù)k≥3,是否存在k使得a1,a2,……,ak依次成等差數(shù)列?若存在,求出k的所有取值;若不存在,試說明理由.

2 分析與思維導(dǎo)圖

2.1 思維分析

本題從導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用出發(fā),考查學(xué)生求切線方程、構(gòu)造函數(shù)證明不等式、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用以及方程有解問題的解決能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本題的題干是由函數(shù)圖象的切線與y軸相交,交點(diǎn)的縱坐標(biāo)經(jīng)過遞推得到一個(gè)數(shù)列.遞推的過程和利用牛頓法求方程的解類似.數(shù)列在題目中更多是起到背景和提示作用,本質(zhì)上還是解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題.本題作為上海卷的壓軸題,有較大的思維量,突出考查了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

第(1)問證明數(shù)列的遞推關(guān)系,本質(zhì)上考查求函數(shù)的切線方程,要求學(xué)生理解題目中的遞推關(guān)系.本題對(duì)學(xué)生在給定情境下分析數(shù)學(xué)問題的能力有較高的要求.

第(2)問比較大小,常用辦法是將要比較的對(duì)象化成同一變量后作差.結(jié)合第(1)問的結(jié)論,可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是考查常用不等式lnx≤x-1(ex≥x+1)的證明.本題要求學(xué)生能夠結(jié)合已知結(jié)論解決問題,熟練掌握構(gòu)造法證明不等式.

第(3)問分析k的取值是難點(diǎn),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),可以將分析k的取值轉(zhuǎn)化為方程有解的問題.不同的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化出不同的方程,此問主要利用公差和等差中項(xiàng)來(lái)解決.本題要求學(xué)生能深刻地理解方程有解和函數(shù)有零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系.

2.2 思維導(dǎo)圖

第(3)問的思維導(dǎo)圖如圖1所示.

圖1

2.3 解答

(Ⅰ)第(1)問的解答:

(Ⅱ)第(2)問的解答:

解：當(dāng)m≥2時(shí),am=lnam-1-1,am-1>0.

所以,當(dāng)00,G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),G′(x)<0,G(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以,G(x)≤g(1)=0,即am-(am-1-2)≤0.

故am≤am-1-2.

(Ⅲ)第(3)問的解答:

解法1：列舉式解題.

假設(shè)存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數(shù)列,設(shè)公差為d.

當(dāng)k≥4時(shí),因?yàn)閍m≤am-1-2,所以d=am-am-1≤-2.

所以{ak}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列,即{ak}為常數(shù)列,顯然與am≤am-1-2矛盾.

當(dāng)k=3時(shí),a1,a2,a3為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,所以d=a3-a2=a2-a1≤-2.

所以lna2-a2-1=lna1-a1-1=d.記g(x)=lnx-x-1,則g(a2)=g(a1)=d.

顯然,當(dāng)d=-2時(shí),因?yàn)?2=a2-a1=lna1-a1-1,所以a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

下面只需證明:函數(shù)h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對(duì)任意d<-2都存在兩個(gè)零點(diǎn).

易知:g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則且h(x)≤h(1)=-2-d.

所以h(1)=-2-d>0,h(ed)=-1-ed<0.

所以φ(t)<φ(4)=ln 4-3<0,則h(-2d)<0.

所以,h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對(duì)任意d<-2都存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).故k=3.

解法2：漸進(jìn)分析式解題.

假設(shè)存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數(shù)列,設(shè)公差為d.

當(dāng)k=3時(shí),a1,a2,a3為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,所以d=a3-a2=a2-a1≤-2.

所以lna2-a2-1=lna1-a1-1=d,即g(a2)=g(a1)=d.

顯然,當(dāng)d=-2時(shí),因?yàn)?2=a2-a1=lna1-a1-1,可知a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

易知,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則h(x)≤h(1)=-2-d.

所以h(1)=-2-d>0,h(ed)=-1-ed<0.

所以φ(t)<φ(4)=ln 4-3<0,則h(-2d)<0.

所以,h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對(duì)任意d<-2都存在兩個(gè)零點(diǎn)a1,a2,且a2∈(0,1),a1∈(1,+∞).

因此a3<0,停止遞推.所以k的取值只能為3.

解法3：整體分析式解題.

假設(shè)存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數(shù)列,設(shè)公差為d.

顯然,當(dāng)d=-2時(shí),因?yàn)?2=a2-a1=lna1-a1-1,可知a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

因?yàn)閐=ak-ak-1=lnak-1-ak-1-1,則a1,a2,……,ak-1為方程lnx-x-1-d=0解.

所以函數(shù)h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d有k-1個(gè)零點(diǎn).

下同法1.

解法4：消元,構(gòu)造函數(shù)零點(diǎn).

假設(shè)存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數(shù)列,所以ak+ak-2=2ak-1.

因?yàn)閍k=lnak-1-1,ak-1=lnak-2-1,所以eak-1+1+lnak-1-1=2ak-1.

因此ak-1為方程ex+1+lnx-1=2x的解,也即函數(shù)F(x)=ex+1+lnx-1-2x的零點(diǎn).

所以a2=t時(shí),a1,a2,a3依次成等差數(shù)列;但a3<0,遞推停止.故k=3.

3 溯源與高考鏈接

2023年上海卷第21題是導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問題,命題背景來(lái)自人教A版教材選擇性必修第82頁(yè)的“牛頓法”.由函數(shù)的切線通過遞推得到數(shù)列,要求解的是數(shù)列問題.但通過分析題意,尋找解題的切入點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)本題三問實(shí)際考查的都是導(dǎo)數(shù)問題.下面兩道高考試題供大家欣賞:

分析：由題意寫出切線方程,找到ak和ak+1的關(guān)系.

(2015年江蘇卷第20題)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列.

(1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比數(shù)列;

4 練習(xí)

①當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的“曲率”;

②若函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),求a的取值范圍;

③設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

(掃碼看練習(xí)參考答案.)