郭香

【摘 要】? 隨著初中數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)程，結(jié)合動點(diǎn)問題的二次函數(shù)已成為競賽、中考的核心內(nèi)容.這類問題強(qiáng)調(diào)了函數(shù)、動點(diǎn)與其他數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用，展示了初中數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值與其綜合性.由于動點(diǎn)問題的求解需要特定的數(shù)學(xué)技巧和深厚的基礎(chǔ)，對此有必要進(jìn)行系統(tǒng)的研究和探討.本文通過對二次函數(shù)題型的分析，對與動點(diǎn)相關(guān)的題型及其解題方法進(jìn)行了詳盡的研究，旨在提供全面的方法論參考，以增強(qiáng)學(xué)生的解題能力和優(yōu)化教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】? 二次函數(shù)；動點(diǎn)問題；題型特點(diǎn)；解題方法

動點(diǎn)與二次函數(shù)結(jié)合常涉及點(diǎn)的運(yùn)動路徑與其他幾何圖形或直線的關(guān)系，需要學(xué)生不僅掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，還要靈活運(yùn)用幾何和代數(shù)的知識.為此，本文深入探討幾種二次函數(shù)的題型，并提出相應(yīng)的解題策略.希望為教育工作者和學(xué)生提供清晰、系統(tǒng)的指導(dǎo).

1 動點(diǎn)與直線相結(jié)合

例1? 在平面直角坐標(biāo)系中，有梯形，其中，動點(diǎn)P從以每秒2個(gè)單位的速度向A移動，同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O行進(jìn).當(dāng)P到達(dá)A時(shí)，Q停止.設(shè)兩動點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒.

圖1 例題圖1

（1）求經(jīng)A、B、C的拋物線方程；

（2）若Q在CO上移動，找出面積S與時(shí)間t的關(guān)系；

（3）判斷以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并給出t值或原因；

（4）判斷經(jīng)A、B、C的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ是否交于一點(diǎn)，并給出t值（或范圍）或原因.

分析? 解題首先需要將動態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，也就是將動點(diǎn)在某一時(shí)間t的狀態(tài)“固定”下來，從而分析其軌跡，并確定其坐標(biāo)及變量的取值范圍.根據(jù)題目所要求的結(jié)論，可以運(yùn)用逆向思維的方法進(jìn)行探討.例如，要證明三條線是否交于一點(diǎn)，可以先確定其中兩條線的表達(dá)式，進(jìn)而求出它們的交點(diǎn).將這一交點(diǎn)代入第三條線的方程中，檢查其是否滿足方程的條件.如滿足，即可證明三線交于一點(diǎn)；反之，則證明三線不交于一點(diǎn).

對于第（4）問，拋物線的對稱軸可以由A、B、C三點(diǎn)求得.得到對稱軸后，可以求直線OB的方程.設(shè)這三條線交于點(diǎn)M.利用拋物線的對稱性和直線OB，確定M的坐標(biāo).由于P、Q都是動點(diǎn)，通過已知的M和動點(diǎn)P，列出PM的方程.最后，考慮Q的運(yùn)動情況，代入坐標(biāo)來驗(yàn)證題目的條件.

2? 動點(diǎn)與幾何圖形相結(jié)合

例2? 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線分別與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C.D是C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，P是x軸上的動點(diǎn)，坐標(biāo)為（m，0）.由P引垂線l與拋物線相交于點(diǎn)Q.

圖2 例題圖2

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求直線BD的解析式；

（3）當(dāng)P在OB上時(shí)，l與BD交于點(diǎn)M，探究m的值使CQMD成為平行四邊形；

分析? 從靜態(tài)出發(fā)，固定動態(tài)的某一狀態(tài)，明確動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）后，先解二次方程求出與x軸、y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，確定A、B、C三點(diǎn)的確切位置.接著，通過點(diǎn)C和x軸的關(guān)系，可以輕松確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，并據(jù)此得到直線BD的解析式.但解題的關(guān)鍵在于動態(tài)與靜態(tài)的結(jié)合[1].當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，需要確定直線l與直線BD的交點(diǎn)M.這里，學(xué)生需要用直線與拋物線的交點(diǎn)公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)來求解.確定m的取值范圍后，便是分析三角形的性質(zhì).利用勾股定理，將三邊表示為變量，從而判斷是否能構(gòu)成直角三角形，并據(jù)此確定Q點(diǎn)的坐標(biāo).

3? 動點(diǎn)與分類討論相結(jié)合

例3? 在四邊形OABC中，軸于C，A（1，-1），B（3，-1）.動點(diǎn)P從O出發(fā)，沿x軸正方向以2單位/秒速度行進(jìn)，引PQ⊥OA交于Q.若P點(diǎn)移動時(shí)間為t秒，與四邊形OABC重疊的面積記作S.

（1）求經(jīng)O、A、B的拋物線方程并確定頂點(diǎn)M；

（2）用t表示P、Q坐標(biāo)；

（3）將繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，探究是否存在某t使O或Q落在拋物線上，并給出t或理由；

（4）求S關(guān)于t的函數(shù).

分析? 此題實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生在動態(tài)與靜態(tài)、幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換能力，以及對各種幾何關(guān)系和性質(zhì)的掌握.基于動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，可以確定其在不同時(shí)間下的坐標(biāo)，再據(jù)此推導(dǎo)出與P相關(guān)的點(diǎn)Q的位置.然后，結(jié)合題目所給的幾何關(guān)系和性質(zhì)，分析點(diǎn)P和Q的變化如何影響整個(gè)四邊形OABC或其中的部分形狀[2].

對于第（3）問，根據(jù)動點(diǎn)P的位置和與之相關(guān)的點(diǎn)Q的旋轉(zhuǎn)，分析出O點(diǎn)和Q點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系.考慮的旋轉(zhuǎn)后的形狀和位置，以及與拋物線的交點(diǎn)情況，從而進(jìn)行分類討論.

第（4）問，要研究的是與四邊形OABC的重疊面積S與時(shí)間t的關(guān)系.分析動點(diǎn)P在不同位置時(shí)，與四邊形OABC的位置和形狀關(guān)系，以及重疊情況.根據(jù)不同的情況，推導(dǎo)出S與t的關(guān)系式.

3? 結(jié)語

綜上所述，二次函數(shù)的動點(diǎn)問題不僅考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更考驗(yàn)其解題技巧.通過對這一題型的深入研究，學(xué)生得以更為清晰地理解其特點(diǎn)與挑戰(zhàn)，從而找到有效的解題方法.本文的分析與探討為教育者和學(xué)生提供了有價(jià)值的參考，期望能夠推動初中數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)一步優(yōu)化.

參考文獻(xiàn)：

[1]涂晨.有關(guān)初中數(shù)學(xué)課后習(xí)題選配的幾點(diǎn)思考——以人教版“二次函數(shù)的概念”為例[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2022，35（02）：136-140.

[2]王茜，林磊.初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)案例研究——以“二次函數(shù)”章起始課教學(xué)為例[J].榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，32（02）：91-95.