譚康

【摘? 要】? 本文旨在揭示相似三角形、三角函數(shù)和解三角形之間的緊密關(guān)系.在解決與角、邊長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)找出兩個(gè)或多個(gè)三角形的相似關(guān)系，三角函數(shù)的邊角關(guān)系，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，從而求解未知數(shù).通過(guò)對(duì)具體題目實(shí)例的分析，展示了如何運(yùn)用這些基本定義和性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，為學(xué)生提供有效的解題思路和技巧.

【關(guān)鍵詞】? 相似三角形；三角函數(shù)；邊角關(guān)系

1? 引言

相似三角形和三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是各類(lèi)考試中常見(jiàn)的考點(diǎn).通過(guò)對(duì)近兩年來(lái)相似三角形和三角函數(shù)綜合應(yīng)用題的考查情況的研究，可以看出這類(lèi)題目在各類(lèi)考試中的重要性和難度逐漸增加.這類(lèi)題目通常涉及幾何圖形的變換、比例關(guān)系以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握好相似三角形和三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)對(duì)考試具有重要意義.

2? 利用三角函數(shù)與相似性解決三角形問(wèn)題

例1? 在中，，若的三邊都擴(kuò)大倍，則的值（）.

（A）放大倍 （B）縮小倍 （C）不變 （D）無(wú)法確定

解析? 在中，的三邊都擴(kuò)大倍，變化后的三角形與原三角形相似.因?yàn)橄嗨迫切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以的大小沒(méi)有發(fā)生變化，所以的值不變．故選：C．

例2? 如圖1，是平行四邊形的對(duì)角線，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若，且是等腰三角形，則的長(zhǎng)為（? ? ）

圖1

（A）或? （B）或 （C）或 （D）或

解析? 為平行四邊形，，是的中點(diǎn)，.

，是直角三角形，，所以，故，.

當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

圖2? ? ? ? ? ? ? 圖3

則．因?yàn)?，所以，，，，又因?yàn)?，所以，?/p>

當(dāng)時(shí)，如圖3.

則，；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不存在．

綜上所述，的長(zhǎng)為或．故選：A．

例3? 在四邊形中，，，，，，于點(diǎn)．在中，，，．將按如圖放置，頂點(diǎn)在上，且，然后將沿平移，如圖，至點(diǎn)與點(diǎn)重合，再改變的位置，如圖6，將頂點(diǎn)沿移動(dòng)至點(diǎn)，并使點(diǎn)始終在上．

圖4? ? ? ?圖5? ? ? ?圖6

（1）①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

②如圖5，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)頂點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）如圖6，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，交于點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)用表示的長(zhǎng)，并求出長(zhǎng)度的最小值．

解析? （1）①因?yàn)?，，，所以，?

因?yàn)?，所?

又因?yàn)椋?，所以?/p>

②當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，因?yàn)?，，所?

因?yàn)椋?，所以?

因?yàn)?，所以四邊形為矩形，?/p>

.

因?yàn)椋?，所以?

（2）因?yàn)?，，所?

又因?yàn)?，所以，?

如圖7，作于.

圖7

因?yàn)?，，所以，，，所?

，，.

當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為：．

3? 結(jié)語(yǔ)

相似三角形為三角函數(shù)提供了理論基礎(chǔ).通過(guò)研究相似三角形，我們可以更好地理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì).同時(shí)，三角函數(shù)也在解決相似三角形問(wèn)題中發(fā)揮了重要作用，可以方便地求解相似三角形中的未知邊長(zhǎng)或角度.為了有效地解決這類(lèi)題目，學(xué)生需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，包括相似三角形和三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則等.同時(shí)，學(xué)生還需要培養(yǎng)靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，進(jìn)行圖形理解和計(jì)算.通過(guò)研究利用三角函數(shù)與相似性解決三角形問(wèn)題的方法，可以為學(xué)生提供一些解題思路和技巧，幫助他們更好地應(yīng)對(duì)考試挑戰(zhàn).

參考文獻(xiàn)：

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