? 山東省平度市第九中學(xué) 邱 穎

1 題目及解析

2 變式探究

變式1已知an=(-1)n·n2,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：因?yàn)镾n=-12+22-32+42-……+(-1)nn2,于是有下列兩種情況.

評(píng)注：記an=(-1)n·n=(-1)n·bn,此題可以看成將其中的bn=n換成了bn=n2.此時(shí),依舊類比an=(-1)n·n求和的處理方法,通過(guò)并項(xiàng)法且相鄰兩項(xiàng)運(yùn)用平方差公式,構(gòu)造出一個(gè)新的等差數(shù)列求和問(wèn)題,需要注意對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論.

變式2已知an=n2·2n,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：因?yàn)?/p>

Sn=12·2+22·22+……+n2·2n,

①

所以

2Sn=12·22+22·23+……+n2·2n+1.

②

①-②,得-Sn=12·2+(22-12)·22+……+[n2-(n-1)2]·2n-n2·2n+1=1·2+3·22+……+(2n-1)·2n-n2·2n+1.

所以-2Sn=1·22+3·23+……+(2n-1)·2n+1-n2·2n+2.

評(píng)注：記an=n·2n=bn·2n,此題可以看成將其中的bn=n換成了bn=n2.因此,依舊類比an=n·2n求和的處理方法,看能否利用錯(cuò)位相減法求和.結(jié)果發(fā)現(xiàn)可以應(yīng)用兩次錯(cuò)位相減法求和解決,究其原因就是n2-(n-1)2=2n-1,這樣減一次就可以構(gòu)造出通項(xiàng)為等差數(shù)列乘等比數(shù)列的形式,再減第二次就可以用錯(cuò)位相減法求和了.

變式3已知an=n2[(-1)n+2n],求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：由題意,得an=(-1)n·n2+n2·2n,接下來(lái)用分組求和的方法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn即可.由變式1和變式2,可得

評(píng)注：此題融合了變式1和變式2,先對(duì)an=n2[(-1)n+2n]進(jìn)行適當(dāng)變形處理,再運(yùn)用分組求和法、并項(xiàng)求和法和兩次錯(cuò)位相減法求和.

解：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Sn=-1·2+22·2-32·23+42·23-……-(n-1)2·2n-1+n2·2n-1=(22-12)·2+(42-32)·23+……+[n2-(n-1)2]·2n-1=(2+1)(2-1)·2+(4+3)(4-3)·23+……+[n+(n-1)][n-(n-1)]·2n-1,即

Sn=3·2+7·23+11·25+……+(2n-1)2n-1.

而22Sn=3·23+7·25+11·27+……+(2n-1)2n+1,所以可得

評(píng)注：此題綜合性極強(qiáng),對(duì)于分段數(shù)列可以采用分組求和法對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和,但是這樣在求奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和時(shí)都需要運(yùn)用兩次錯(cuò)位相減法,非常繁瑣,并且一個(gè)題目考查同一個(gè)方法兩次似乎也沒(méi)有必要,所以可以考慮先并項(xiàng)求和,再用一次錯(cuò)位相減法即可.當(dāng)然,依舊不要忘記對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論.

3 教學(xué)思考

3.1 一題多變的整體性

一題多變主要是通過(guò)改變?cè)}目的條件或結(jié)論,達(dá)到讓學(xué)生更深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的目的.但一題多變不是大雜燴,不能隨便將一些毫無(wú)關(guān)系的題目進(jìn)行拼湊,而是要結(jié)合考查的知識(shí)進(jìn)行整體化的設(shè)計(jì).比如上述變式1到變式4,從這幾個(gè)題目中可以看到,與n2有關(guān)的求和問(wèn)題,既可以與裂項(xiàng)相消法及并項(xiàng)求和法相結(jié)合,也可以與錯(cuò)位相減法及分組求和法相結(jié)合,涵蓋了數(shù)列求和的主要方法,體現(xiàn)了設(shè)計(jì)的整體性.這樣有利于學(xué)生建立起新知與舊知的聯(lián)系,且學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法,以后做題時(shí)就不會(huì)手足無(wú)措.與n2有關(guān)的數(shù)列求和問(wèn)題,實(shí)際上最終還是轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列求和方法,經(jīng)常需要對(duì)n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論.

3.2 一題多變的層次性

一題多變應(yīng)能夠體現(xiàn)知識(shí)的一定規(guī)律和關(guān)聯(lián),便于學(xué)生思考問(wèn)題.用相同、相近、相似的一系列題目培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,了解數(shù)學(xué)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從一般到特殊的探索規(guī)律.從變式1到變式4,除涵蓋主要的求和方法外,每個(gè)變式的難度是逐步遞增的,設(shè)計(jì)的層次性明顯.如,原始題目是常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和,通過(guò)分析數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu),對(duì)常見(jiàn)的與等差數(shù)列有關(guān)的求和問(wèn)題進(jìn)行變式,從變式1的并項(xiàng)求和法,到變式2的兩次錯(cuò)位相減法求和,到變式3的分組求和法、并項(xiàng)求和法和兩次錯(cuò)位相減法求和的綜合使用,再到變式4對(duì)之前的求和方法進(jìn)行優(yōu)化選擇.這樣,從變式1到變式4,學(xué)生會(huì)感覺(jué)像打游戲闖關(guān)一樣,每一次的變式都比之前更有挑戰(zhàn)性,也更能激發(fā)進(jìn)一步解決問(wèn)題的斗志.這樣不斷地吊足學(xué)生的口味,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

4 結(jié)束語(yǔ)

總之,一題多變的方向有很多,變化的過(guò)程也很多,但不管怎么變,只要把握好學(xué)情,從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā),一定可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和核心素養(yǎng).