張文亭

摘 要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點問題是函數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的難點所在，借助可視化視角，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)圖象的變化，快速獲得解決問題的突破口.以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點問題的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)案例分析為例，進(jìn)一步闡明可視化視角下數(shù)學(xué)解題教學(xué)要不斷引導(dǎo)學(xué)生逐步樹立借助可視化的場景更好地分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的意識；在課堂教學(xué)中要不斷鼓勵學(xué)生自主嘗試借助可視化方法處理數(shù)學(xué)問題，以不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；可視化；導(dǎo)數(shù)；零點問題

所謂數(shù)學(xué)可視化，是指數(shù)學(xué)教學(xué)中師生思維的可視化，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過某種方式，將內(nèi)隱在師生頭腦中的思維過程外顯出來，使得抽象的知識圖象化、知識建構(gòu)直觀化、隱性知識顯性化、解題規(guī)律模型化、零散知識系統(tǒng)化、核心知識發(fā)散化.與此同時，高中數(shù)學(xué)主要考查學(xué)生對問題的分析、解決能力.學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和理論需要通過解題、解決數(shù)學(xué)問題來加以實踐，教師也可以通過學(xué)生的問題解決來檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握情況.鑒于以上認(rèn)識，若能在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中最大程度地將思維過程外顯，對學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題的解決都有很大幫助.函數(shù)部分一直是高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點所在，甚至成為很多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程中一道始終過不去的坎.函數(shù)的難度主要體現(xiàn)在圖形的變化與參數(shù)的處理上，在教學(xué)中，可以借助可視化的思路去處理函數(shù)的單調(diào)性、零點等問題，有助于幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)圖象的變化，快速獲得問題解決的突破口.

筆者一直在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中努力踐行“數(shù)學(xué)可視化”的方式，也取得了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)以高中數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點問題”為例談?wù)勛约旱淖龇?

1 可視化教學(xué)視角下函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點問題的教學(xué)目標(biāo)

教師打造可視化的教學(xué)視角引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思維去思考、解決函數(shù)單調(diào)性問題、分析判斷零點個數(shù)的問題等，以便于學(xué)生在面對導(dǎo)數(shù)的函數(shù)零點問題的時候能夠快速整理出解題的關(guān)鍵點和思路，梳理出解題脈絡(luò).

在高中數(shù)學(xué)知識體系中，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)問題是比較常見的問題，這類題目的特點是題型變化多、考察的知識面廣、對學(xué)生的知識綜合分析應(yīng)用的能力要求高.與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的函數(shù)問題在題目設(shè)計時經(jīng)常會和函數(shù)問題、不等式問題、方程等相關(guān)知識點相融合，可以全方位地考量學(xué)生對知識的掌握情況.面對復(fù)雜多變的函數(shù)問題，使用導(dǎo)數(shù)這一解題思路是非常有效的工具，借助導(dǎo)數(shù)解題思路，學(xué)生能夠快速地掌握函數(shù)單調(diào)性并判斷出零點的存在性和零點的個數(shù)，但是學(xué)生容易在導(dǎo)數(shù)分析判斷的過程中出錯，此時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過可視化的方式、利用數(shù)形結(jié)合的思維方式獲得相關(guān)的解題方法，將導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點以及函數(shù)圖形巧妙地結(jié)合在一起，調(diào)整解題思路，優(yōu)化解題方法，總結(jié)出有效的解題模式和分析思路.

2 可視化視角下函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點問題的教學(xué)案例

基于可視化的視角，教師在課堂講解函數(shù)系統(tǒng)的時候，可以以經(jīng)典例題作為案例，引導(dǎo)學(xué)生梳理解題的思路，構(gòu)建簡單的思維導(dǎo)圖，逐步培養(yǎng)學(xué)生的可視化思維，讓學(xué)生能夠在課堂中高效吸收正確的解題思路.以下通過三個例子進(jìn)一步闡明如何應(yīng)用可視化視角幫助學(xué)生解決函數(shù)零點的問題.

案例1：教師講解例題：“若關(guān)于x的方程ln x=mx在（1，+∞）上有兩根，求m的取值范圍.”學(xué)生在解決這一問題時，對含參的方程問題比較難以入手，這時教師就可簡單地幫學(xué)生回憶函數(shù)的方程問題可以轉(zhuǎn)化成圖像的交點問題，并一步步引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化，繪制出思維導(dǎo)圖，見圖1：

思維導(dǎo)圖能將學(xué)生零碎的、不完整的想法具體化，知識更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.并且此時復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化成熟悉的零點問題.因此，運用思維導(dǎo)圖解決導(dǎo)數(shù)的零點問題是一種符合高中學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)知方式.與此同時，在接下來的問題處理中，讓學(xué)生繪制了具體函數(shù)的圖像，讓學(xué)生在圖像上找答案.通過可視化的場景，教師讓學(xué)生更為直觀地觀察函數(shù)的變化趨勢，通過“放縮”的方式讓本題的解答更加順利.學(xué)生在可視化的圖像中能夠順利地將困難的不等式轉(zhuǎn)化為簡單、易解的不等式，進(jìn)而建立整體分析布局的思路，這一解答的過程有助于鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，使得學(xué)生在面對抽象的函數(shù)零點問題時有了新一步的方向與思路.

案例2：在課堂講解例題：“若a^x=x²在（1，+∞）上有兩個解分別是m和n，求a的取值范圍.”在分析這一題目的時候，解題的關(guān)鍵條件比較少，學(xué)生難以第一時間整理出解題的思路，此時教師在引導(dǎo)學(xué)生思考的時候可以利用軟件在多媒體設(shè)備上展示函數(shù)圖像，模擬隨著a的取值范圍變化時函數(shù)圖像的變化情況，如圖2所示：

在函數(shù)圖像中，教師利用信息技術(shù)模擬了隨著參數(shù)a的增大，函數(shù)y=a^x的圖像變化情況，函數(shù)圖像圍繞著點（0，1）作逆時針旋轉(zhuǎn)的動態(tài)規(guī)律，學(xué)生可以直觀地觀察函數(shù)圖像變化的情況，通過觀察總結(jié)函數(shù)圖像動態(tài)變化的規(guī)律，并觀察a^x=x²在（1，+∞）上的交點個數(shù).基于動態(tài)地演示，學(xué)生不難觀察到當(dāng)a的數(shù)值趨向于1的時候，函數(shù)y=a^x，y=x²的函數(shù)圖像相交，隨著a的數(shù)值增大，兩函數(shù)從相交的狀態(tài)逐漸切換成了相切的狀態(tài)，再隨著數(shù)值a的繼續(xù)增大，兩個函數(shù)的圖像完全沒有交集，呈現(xiàn)出相離的狀態(tài).基于這一可視化的動態(tài)過程，教師引導(dǎo)學(xué)生了解函數(shù)圖像的變化和本題的解題方向，列出本題的解題方向，當(dāng)數(shù)值a處于（1，t）的范圍時，y=a^x，y=x²的函數(shù)圖像相交，t為兩個函數(shù)圖像的相切的位置，由此可以整理出本題的解題步驟：

這一解題方案的計算過程更少，繪制出的可視化模型和圖像更為簡單，缺少動態(tài)的函數(shù)圖像演變以及演示的過程，對于函數(shù)的零點定理的應(yīng)用更為徹底.對于高中生來說，在面對類似的數(shù)學(xué)問題時，即便沒有信息技術(shù)的輔助，學(xué)生也能夠很好地整理出解題思路，快速、正確地得出結(jié)果.

“放縮”是函數(shù)零點問題中的一大難點，在實際畫圖的過程中學(xué)生可能需要多次的嘗試才可以找到理想的位置.為此，教師在為學(xué)生梳理零點問題的時候，需要引導(dǎo)學(xué)生理解“放縮”的關(guān)鍵.

3 可視化視角下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教學(xué)思考

面對抽象的函數(shù)問題，數(shù)學(xué)問題中列出的已知條件較少，學(xué)生通過讀題、分析題干的方式往往難以找到解決問題的突破口，此時采用構(gòu)建可視化的場景，利用數(shù)形結(jié)合的思維能夠幫助學(xué)生更好地分析解題思路，輔助學(xué)生提高數(shù)學(xué)問題解題效率和正確率，有助于高中生建立分析處理函數(shù)零點問題的信心.借助可視化視角進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅可以幫助學(xué)生獲得問題更為感性的認(rèn)識，如對圖像的觀察、圖像動態(tài)的變化規(guī)律，同時也利于學(xué)生在可視化場景中獲得解題的方向與靈感.因此，利用可視化的方法開展高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)能在一定程度上提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性.筆者認(rèn)為，在借助可視化視角開展高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)還應(yīng)聚焦以下兩個方面：

第一，引導(dǎo)學(xué)生逐步樹立借助可視化的場景更好地分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的意識.教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)不斷強化可視化的方法在解題中的應(yīng)用與價值.只有通過不斷地強化，學(xué)生才能逐步地梳理利用可視化方法開展解決問題的意識，才能使方法的應(yīng)用成為可能.

第二，在課堂教學(xué)中要不斷鼓勵學(xué)生自主嘗試借助可視化方法處理數(shù)學(xué)問題，以不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.在利用可視化的模型來分析和解決數(shù)學(xué)問題時，教師要把課堂還給學(xué)生，鼓勵學(xué)生減少復(fù)雜的計算，而要多思、多想，不斷積累數(shù)學(xué)解題的基本活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要載體，良好的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得必定對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)解題活動奠定良好的基礎(chǔ).

4 結(jié)束語

新高考命題下的解題教學(xué)要以學(xué)生的思維活動為核心，以學(xué)生主動探究為目標(biāo)，以學(xué)生的自主訓(xùn)練為主導(dǎo)，這樣的課堂才能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題水平，激發(fā)學(xué)生解題興趣，幫助學(xué)生不畏懼困難的問題，以更好地突破考試難點.可視化的教學(xué)方式是這種課堂模式的良好載體和重要服務(wù)工具.教師要不斷地研究探索，不斷創(chuàng)新自己的思維，將數(shù)學(xué)問題加以分解，以直觀形象的圖像、思維導(dǎo)圖來促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展.

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