摘?要：本文以“數(shù)學(xué)分析”中的條件極值為例，在課堂教學(xué)設(shè)計過程中，引導(dǎo)學(xué)生以問題驅(qū)動的形式思考和分析問題，融入思政元素，將知識點與辯證思想聯(lián)系起來，踐行“三全育人”理念，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；三全育人；條件極值

A?Teaching?Case?of?Mathematical?Analysis?under

the?Concept?of?"Three?Wide?Education"

—Taking?the?Conditional?Extremum?as?an?Example

Lin?Wenxian

College?of?Mathematics?andStatistics，Hanshan?Normal?University?GuangdongChaozhou?521041

Abstract：Taking?the?condition?extremum?in?mathematical?analysis?as?an?example，in?the?process?of?classroom?teaching?design，this?paper?guides?students?to?think?and?analyze?problems?in?the?form?of?problemdriven，integrating?ideological?and?political?elements，to?link?knowledge?points?with?dialectic?thought，to?practice?the?idea?of?three?wide?education，to?improve?students'?ability?to?analyze?and?solve?problems，and?to?develop?students'?ability?to?combine?theory?with?practice.

Keywords：three?wide?education；mathematical?analysis；condition?extremum

為深入貫徹落實習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神，落實立德樹人根本任務(wù)，圍繞“培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人”的根本問題，充分發(fā)揮課堂教學(xué)主渠道育人作用，全面加強“課程思政”建設(shè)，全面提高課程育人質(zhì)量，全面提升立德樹人成效，踐行“三全育人”教育模式.

“數(shù)學(xué)分析”是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科；它是大學(xué)本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的最重要的基礎(chǔ)課程，“數(shù)學(xué)分析”以學(xué)習(xí)時間長（三個學(xué)期）、知識抽象、邏輯性強為主要特征，它對于學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.因而，在傳授知識的同時，如何將“課程思政”融入“數(shù)學(xué)分析”這一抽象理論課程的教學(xué)環(huán)節(jié)之中，是擺在我們面前的難題.本文將以反常積分概念為案例，在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計中進行一些探索，以期達到拋磚引玉的作用.

1?教學(xué)設(shè)計

1.1?教學(xué)背景

多元函數(shù)極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，是一元函數(shù)極值的推廣.上一章已學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極值問題，其極值點的搜索范圍是目標(biāo)函數(shù)的定義域，這類問題稱為無條件極值，而在許多極值問題，其極值點的搜索范圍還受到各種不同附加條件的限制，這類問題稱為條件極值問題.條件極值在實際問題中應(yīng)用非常廣泛，并且還能用來證明或建立不等式.

1.2?教學(xué)目標(biāo)

1.2.1?知識目標(biāo)

理解條件極值概念，掌握Lagrange乘數(shù)法的思想.

1.2.2?能力目標(biāo)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生要進一步認(rèn)識無條件極值與條件極值的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的化歸、類比和分析等數(shù)學(xué)思想，提高分析與解決實際問題的能力.

1.2.3?思政目標(biāo)

將“思政元素”融入專業(yè)課堂，將多元函數(shù)極值問題比喻成人生的起伏，引導(dǎo)學(xué)生思考.一個國家、一個單位、一個部門以及一個人的一生，本質(zhì)上都是在追求極大值和最大值.同學(xué)們在高中是優(yōu)秀的，是所在班級的極大值或者最大值，但是當(dāng)來到大學(xué)之后，是否還是極大值或者最大值呢？要想達到極大值或者最大值，就需要同學(xué)們付出辛勤的汗水，努力拼搏.同時，以后進入社會，也要明白天外有天，人外有人的道理.不要驕傲自滿，使學(xué)生建立良好的人生觀、價值觀、世界觀.

1.3?教學(xué)重點

掌握Lagrange乘數(shù)法，應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法計算條件極值.

1.4?教學(xué)難點

理解Lagrange乘數(shù)法的數(shù)學(xué)思想.

1.5?教學(xué)方法

問題驅(qū)動教學(xué)法，講授法.

1.6?教學(xué)過程

1.6.1?復(fù)習(xí)舊知

通過下面的曲面圖復(fù)習(xí)多元函數(shù)極值概念，并產(chǎn)生人生啟示：人生何嘗不像一張曲面，極大值在高峰處取得，極小值在低谷處取得.人生總會有起有落，現(xiàn)實生活中的“低谷”和“高峰”都是暫時的，在遭遇挫折處于“低谷”的時候不能悲觀絕望，因為“低谷”往往意味著一段低潮的結(jié)束和一個新生活的開始；而在獲得成功處于“高峰”的時候也不應(yīng)驕傲自滿，要警惕“高峰”之后隨之而來的低潮.所以，要有不怕挫折勇往直前的意志和戒驕戒躁、謙虛進取的精神.

1.6.2?問題引入

要設(shè)計一個容積為V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高，使水箱的表面積最小.

設(shè)水箱的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy

水箱容積V=xyz.

這實際上是求函數(shù)S（x，y，z）在V=xyz限制下的最小值問題.我們將這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題.我們可以給條件極值一個具有實際意義的解釋：一個旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標(biāo)函數(shù)），該指定路線未必通過山的最高點，問怎樣求出該旅行者所能達到的最高點.

例1：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：消元法：從條件式解出顯函數(shù)z=V/xy，代入目標(biāo)函數(shù)后，轉(zhuǎn)而求解S=2vxy（1x+1y）+xy的普通極值問題.即：

F（x，y）=S（x，y，Vxy）=2vxy（1x+1y）+xy

然后由（Fx，F(xiàn)y）=（0，0），求出穩(wěn)定點x=y=32V，并有z=1232V.

最后判定在此穩(wěn)定點上取得最小面積S=334V.

注：消元法啟示：將條件式作顯化處理代入目標(biāo)函數(shù)后，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件方程濃縮到一個函數(shù)式，條件極值就成為無條件極值（把有約束條件變成無約束條件），用以前求普通極值的方法即可.

問題：如果無法將條件式作顯化處理時，例1的消元法就無法進行了.

我們要解決的問題：尋找一種不直接依賴消元而求解條件極值的方法.這就是拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法.

1.6.3?Lagrange乘數(shù)法探源

如果無法將條件式作顯化處理時，此法就無法進行了.必須研究不直接依賴消元而求解條件極值的方法.

問題：在約束條件φ（x，y）=0之下，欲求函數(shù)z=f（x，y）的極值.

首先，給條件極值一個具有實際意義的解釋：一個旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標(biāo)函數(shù)），該指定路線未必通過山的最高點，問怎樣求出該旅行者所能達到的最高點.（如圖）

接著，設(shè)由若由條件φ（x，y）=0確定了隱函數(shù)y=g（x），使得目標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù)z=f（x，g（x））.如果y0=g（x0）且x0是z=f（x，g（x））的穩(wěn)定點，則P0=（x0，y0）就是所要求的條件穩(wěn)定點.

利用隱函數(shù)定理有dzdx=fx+fy·dydx=fx-fy·φxφy=0，從而，該問題的條件穩(wěn)定點P0（x0，y0）滿足（fxφy-fyφx）|P0=0，這表明f的等高線z0=f（x，y）與曲線φ（x，y）=0在點P0（x0，y0）有公共切線.由此推知，存在比例常數(shù)λ0，滿足：

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

進而得到Lagrange函數(shù)為L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.由此產(chǎn)生了一個重要思想：通過引入輔助函數(shù)L（x，y，λ），把條件極值轉(zhuǎn)化為關(guān)于這個輔助函數(shù)的普通極值問題，這就是Lagrange乘數(shù)法.

1.6.4?應(yīng)用舉例

利用Lagrange乘數(shù)法求解例1.

例2：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：令Lagrange函數(shù)L=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V），并求解以下方程組：

Lx=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0Lz=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz-V=0

為消去λ，將前三式分別乘以x，y，z，則得：

2xz+xy=-λxyz2yz+xy=-λxyz2（x+y）z=-λxyz

兩兩相減后立即得出x=y=2z，再代入第四式，得x=y=32V，z=1232V，從而最小面積為S=334V.

例3：拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一個橢圓，求該橢圓到原點的最長和最短距離.

例4：求f（x，y，z）=xyz在條件1x+1y+1z=1r（x>0，y>0，z>0，r>0）下的極小值，并證明不等式：

31a+1b+1c-13abc，

其中a，b，c為任意正實數(shù).

1.7?知識小結(jié)

（1）根據(jù)問題意義確定目標(biāo)函數(shù)與條件組.

（2）作拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.

（3）求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，這些穩(wěn)定點就是可能的極值點.

（4）對每一個可能的條件極值點，據(jù)理說明它是否確實為條件極值點.如果已知某實際問題或根據(jù)條件確有極值，而該問題的拉格朗日函數(shù)又只有一個穩(wěn)定點，且在定義域的邊界上（或逼近邊界時）不取得極值，則這個穩(wěn)定點就是所求的條件極值點.否則，還需要采用無條件極值的充分條件來判定.

2?教學(xué)反思

2.1?思政元素

通過講解曲面圖像的人生啟示，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、上進、拼搏的精神.同學(xué)們考入大學(xué)，容易松懈，以為自己可以自由地玩耍，有些同學(xué)消極對待學(xué)習(xí).所以教師要經(jīng)常鼓勵提醒這些同學(xué)，不要荒廢寶貴的大學(xué)時光，要努力學(xué)習(xí)，認(rèn)真上進，不斷拓寬自己的知識結(jié)構(gòu)，提高自己的能力，這樣進入社會才會有競爭力.同時，作為一名教師，教學(xué)多年，也很容易有倦怠感，所以也要提醒自己，學(xué)習(xí)如逆水行舟，不進則退，也要不斷提高自己的教學(xué)水平，緊跟時代潮流，這樣才能更好地完成教學(xué)任務(wù).

2.2?教學(xué)思考

利用創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，引入新課內(nèi)容，以避免學(xué)生對內(nèi)容的突兀感.

在Lagrange乘數(shù)法探究過程中，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的“形成過程”，有利于學(xué)生進一步理解一個數(shù)學(xué)問題是怎樣提出來的，一個數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的，一個數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣獲得和進行應(yīng)用的，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)就來自我們身邊的現(xiàn)實世界，是認(rèn)識和理解我們生活和工作中所遇到問題的有力武器，同時也使學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)探究的切身體驗和能力.

注意運用幾何圖像的直觀性，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，特別是注意文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)換.

結(jié)語

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作是教育的根本任務(wù)，更新觀念，深入挖掘，以數(shù)學(xué)學(xué)科知識為載體，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特殊作用，促進學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀.在專業(yè)基礎(chǔ)課中，教師如何滲透課程思政？如何發(fā)現(xiàn)每個知識點的思政元素？如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識的積極性？這是高校教師面臨的一個課題，任重而道遠(yuǎn)，是一個值得深入思考和研究的終身課題.

參考文獻：

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［2］林文賢.反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用［J］.高師理科學(xué)刊，2008，28（4）：9395.

［3］鐘煜妮，林文賢.分部積分法在重積分的應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)刊，2015，35（1）：11.

［4］林文賢.高師數(shù)學(xué)分析課程對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)［J］.韓山師范學(xué)院學(xué)報，2005（3）：9295.

基金項目：廣東省一流課程《數(shù)學(xué)分析》建設(shè)項目（Z21011）；2021年度韓山師范學(xué)院教育教學(xué)改革項目（52?1104）；2022年度韓山師范學(xué)院質(zhì)量工程建設(shè)項目（E22033）

作者簡介：林文賢（1966—?），男，漢族，廣東潮州人，本科，教授，從事數(shù)學(xué)分析的教學(xué)與研究。