劉淇

摘 要：在高中數(shù)學解答之前，數(shù)學分析有著極其重要的作用。數(shù)學分析包括分析提意、分析思路、分析方法、分析結(jié)果等。事實上，數(shù)學是一門用數(shù)學符號表示出來的找關(guān)系、尋規(guī)律的學科，而找關(guān)系、尋規(guī)律離不開數(shù)學分析的思想。高中數(shù)學不同于小學和初中，它要求學生可以主觀能動地學習，獨立地思考，自主地分析和解決問題。如何將數(shù)學分析思想應(yīng)用于高中數(shù)學解答中，是當前高中數(shù)學教學的重中之重。

關(guān)鍵詞：數(shù)學分析；數(shù)學解答；高中；數(shù)學教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1005-5312（2016）35-0266-02

一、高中數(shù)學分析思想的內(nèi)涵

（一）數(shù)學審題思想

審題是數(shù)學解答的第一步，對答題至關(guān)重要。認真審題能夠讓學生對題目中的已知條件和所求問題有一個全面的認知。學生通過審題了解題意，并對題中已知條件進行細致的研究和分析。通過對問題的分析，為問題的解答奠定基礎(chǔ)。在數(shù)學解答時，學生能否掌握題目的關(guān)鍵因素在于審題能力。審題能力強的學生可以充分理解題意，通過將復(fù)雜的已知條件進行系統(tǒng)地歸納整理，發(fā)現(xiàn)隱性條件，從而快速、準確地解決問題。

示例：sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgα*tgβ的值。

本題已知條件是兩個等式，表面看來與所求的tgα和tgβ之間沒有直接聯(lián)系。但是通過仔細審題與細致分析，綜合以前所學三角函數(shù)關(guān)系推演與轉(zhuǎn)換，可以很快地推演出已知條件與所求之解之間的聯(lián)系。即通過轉(zhuǎn)換tgα*tgβ的乘積形式為相除形式進行求解?？梢娡ㄟ^對本例的分析，可以發(fā)現(xiàn)審題能力的增強可以幫助學生對已知條件和所求之解進行深入地挖掘。

（二）合理應(yīng)用知識、方法解決問題的思想

高中數(shù)學可以分為3大類。第一類為數(shù)學基礎(chǔ)知識，包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；第二類為數(shù)學思想（數(shù)學分析思想），包括函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化和分類討論等；第三類為數(shù)學方法，包括待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、換元法、反證法、配方法等。要解決高中數(shù)學的一些基本問題，必須理解和掌握數(shù)學基本知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法。這些是高中數(shù)學分析思想的依據(jù)，是數(shù)學解答的重中之重。在數(shù)學解答時，必須對題意作出合理的分析，合理地選擇數(shù)學知識、思想和方法，迅速、順暢地解決問題。

數(shù)學分析中常用的方法包括舉一反三法、一題多解法和比較歸納法。先說舉一反三法，課本中的例題，往往是最具代表性的例題，突出教學的重點。我們在分析和解答了例題之后，應(yīng)該注重發(fā)揮例題以點帶面的功能，嘗試從條件不變問題變和問題不變條件變等方面來綜合分析問題，以達到舉一反三的目的，提高數(shù)學分析能力。再說一題多解法，即通過不同的思路，融合不同的思想來求解多方面考慮一個問題，不斷分析找出最佳解法。最后說比較歸納法，即在數(shù)學分析時，從不同角度比較相互關(guān)聯(lián)的概念，將同一類問題歸類分析，不同類問題比較分析，從而提高數(shù)學分析的高效性和準確性，準確地進行數(shù)學解答。

（三）注重整體思維

嚴格地說，整體思維不是一種思維，而是一種技巧，一種手段。作為一種技巧，整體思維決定著數(shù)學分析和問題解決的情況，作為一種手段，它可以提高數(shù)學解題速度。整體思維的核心是整體處理，整體處理就是在處理問題時，充分利用整體與部分的關(guān)系，通過整體運算，整體代入，整體消元，整體合并等方法，簡化問題解答。

示例：已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，橢圓斜率為且過右焦點的直線與橢圓相交于、兩點，且與共線。

求：（I）橢圓的離心率；

（II）設(shè)為橢圓上任意一點，求證：為定值。

本題考查的基本知識包括直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)了整體思維是數(shù)學分析思想的重要組成部分，是數(shù)學解答的關(guān)鍵。如果不能將直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質(zhì)綜合考慮分析，就能準確快速地對本題作出解答。

（四）數(shù)學建模的思想

數(shù)學建模是根據(jù)題目的表述建立數(shù)學模型，并用反證法或數(shù)學歸納法等方法證明模型的準確性，最后根據(jù)建立的數(shù)學模型對求出數(shù)學問題的最優(yōu)解。學生分析和解決問題的能力決定著數(shù)學建模的能力。高中學生，特別是高三學生面臨高考的壓力，所以在培養(yǎng)學習能力時，不僅要完善學生的數(shù)學能力，更重要的是對數(shù)學能力的實際應(yīng)用，這對于高考來說是至關(guān)重要的。數(shù)學建模思想可以為學生提供核心有效的數(shù)學解答的思想。因此，在培養(yǎng)高中學生數(shù)學分析能力時，必須重視其數(shù)學建模能力。

示例：冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出。輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

本題首先考察學生的文字轉(zhuǎn)化能力。讀懂題意之后，學生的數(shù)學建模能力是正確解答本題的關(guān)鍵。只有正確建立冷軋機工作模型，才能更好地理解題意，正確地分析問題，準確地求解問題。因此，數(shù)學建模能力不僅是分析和解決實

際應(yīng)用問題的重要途徑和核心， 而且是數(shù)學分析和數(shù)學解答過程中不可或缺部分。

二、數(shù)學分析思想與高中數(shù)學解答的聯(lián)系

數(shù)學分析是根據(jù)中學數(shù)學基礎(chǔ)形成的一些概念。當前數(shù)學分析中的一些重點，如導(dǎo)數(shù)、積分、無窮級數(shù)的收斂等都是根據(jù)中學數(shù)學的一些基礎(chǔ)知識演變而來。一些中學代數(shù)和幾何無法解決的問題可以運用數(shù)學分析有效地解決出來。從這一點看來，數(shù)學分析是為了解決中學數(shù)學不能解決的問題而逐漸發(fā)展起來的一門學科。由此可見，數(shù)學分析思想早已根深蒂固地融入高中數(shù)學教學。因此，在進行數(shù)學解答時，提前的數(shù)學分析是至關(guān)重要的。

數(shù)學分析對函數(shù)性質(zhì)的研究是在實數(shù)范圍內(nèi)進行的。通常情況下，實數(shù)一般分為有理數(shù)和無理數(shù)兩種。但是中學數(shù)學無法回答，或者說中學學生無法理解無理數(shù)的一些問題。在中學數(shù)學解答過程中，函數(shù)是比較重要的內(nèi)容，高中數(shù)學主要研究函數(shù)的一些簡單性質(zhì)和概念圖像，討論的內(nèi)容也僅僅局限于函數(shù)的定義域、值域、交點和極值等。在數(shù)學分析中，利用微積分去研究函數(shù)的解答是一個簡單易行的方法。事實上，數(shù)學分析源于高中數(shù)學解答。對于高中生而言，在數(shù)學解答過程中，會出現(xiàn)諸如函數(shù)、無理數(shù)等一些無法簡單理解的問題，這就需要數(shù)學分析來進行論證，并推演出通用的、合情合理的解決方案。

三、如何將數(shù)學分析思想應(yīng)用于數(shù)學解答

（一）重視基礎(chǔ)知識， 重視領(lǐng)悟、概括和提煉常見的數(shù)學分析思想和方法

扎實的基礎(chǔ)知識是數(shù)學分析和數(shù)學解答的關(guān)鍵，是提高思維水平和數(shù)學能力的關(guān)鍵。在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中，離不開數(shù)學分析思想的支持中。事實上，數(shù)學分析思想是一種數(shù)學意識，用來認識、處理和解決數(shù)學問題。在數(shù)學解答過程中，數(shù)學解答的方法主要體現(xiàn)于數(shù)學分析思想，它可以決定解題的手段，具有模式化和易操作的特性。高中學生在數(shù)學解答時，需要綜合運用所學知識，認真領(lǐng)悟、概括并提煉某一數(shù)學思想，通過分析得出最有解決方法，這就是數(shù)學分析思想在數(shù)學解答中的應(yīng)用。對于高中學生而言，只有掌握扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識，靈活的數(shù)學基本技能，弄清知識系統(tǒng)內(nèi)在的聯(lián)系，才能具備優(yōu)秀的數(shù)學分析思想和數(shù)學分析能力。只有在數(shù)學分析時將各知識體系之間的交叉、滲透綜合起來，才能在數(shù)學解答時靈活自如地運用數(shù)學分析思想，準確地概括和提煉題意，得心應(yīng)手地解答問題。

（二）加強對知識的綜合分析與應(yīng)用，提高數(shù)學解題時運用知識模式化的能力

高中數(shù)學解答是充滿模式的。只有合理地運用知識和模式，才能合理地提高高中學生分析問題和解決問題的能力。事實上，情境的創(chuàng)設(shè)有利于學生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學定義、公式、定理和性質(zhì)等，對加固學生的數(shù)學基礎(chǔ)有著至關(guān)重要的作用。在學生對數(shù)學定義、公式和性質(zhì)有了一定了解之后，再引入適當?shù)鼐C合提型來鞏固和強化學生的基礎(chǔ)知識，提高其數(shù)學分析能力，提高其數(shù)學解答的準確性，加快其數(shù)學解答速度。在數(shù)學解答過程中，通過利用數(shù)學分析的方法，學生能夠自主地總結(jié)、歸納各種題型的解題模式。只有這樣，學生才有能力在數(shù)學解答過程中有的放矢，合理運用所學的數(shù)學思想和方法去解決各種數(shù)學問題。

（三）進行開放題和新型題的訓練， 開拓學生知識面

在數(shù)學解答之前，只有分析清楚所要解答的問題屬于哪一種類型，才能快速準確地作出解答。但是，實際中往往會出現(xiàn)一些讓學生根本摸不著邊的題型。出現(xiàn)這個問題的根本原因在于學生缺乏創(chuàng)新能力。事實上，學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)離不開新穎、靈活的問題模式，離不開多角度、多方位地思考問題。只有這樣，才能分析出合理解決問題的方法。換句話說，創(chuàng)新能力決定著學生分析問題和解決問題的能力。為了提高高中學生的創(chuàng)新能力，老師可以在教學過程中選擇適量的開放題和新型題進行訓練，這對于避免學生避免學生在數(shù)學解答時按照已學的某種固定模式去套、去思考或者按照形成的某種特定思維去分析，甚至束手無策，拓展學生知識面，牢固數(shù)學基礎(chǔ)，增強學生分析問題和解決問題地能力有著至關(guān)重要的作用。

（四）重視對問題的回顧，增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)造意識

數(shù)學解答過程包括審題、分析題意、分析思路。在分析解決方案時，我們需要運用所學知識建立數(shù)學模型，合理推理并得出結(jié)論，最后再回顧和反思前面環(huán)節(jié)是否出現(xiàn)差錯。各個環(huán)節(jié)之間相互鏈接，環(huán)環(huán)相扣。數(shù)學解答的最終目的不單純是對于結(jié)果的追求，更重要的是提高學生分析和解決問題的能力，增強學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造意識，這些恰恰需要通過回顧和反思問題來實現(xiàn)。因此，在數(shù)學解答過程中，重視分析回顧所求問題，對增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)造意識至關(guān)重要。

新課改下，高中數(shù)學體系更注重對學生思考和探索能力的培養(yǎng)。不斷思考可以加深學生更好地理解所學知識，勤于探索則可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力。一個學生思考和探索能力的提高，在某種意義上可以提高其歸納和分析問題的能力。對于常見例題，如果學生可以在老師講解之前發(fā)表自己的想法和解題技巧，那么這個學生就具備了寶貴的思考和探索能力，在數(shù)學解答時，可以憑借這項能力很快地進行數(shù)學分析，得出最優(yōu)的結(jié)果。事實上，高中數(shù)學解答離不開數(shù)學分析，而思考與探索正是數(shù)學分析的重要組成部分。

重視培養(yǎng)學生概括、歸納數(shù)學解題方法的能力

數(shù)學分析思想在數(shù)學學習和數(shù)學解答過程中起著至關(guān)重要的作用。毫不夸張的說，數(shù)學分析思想在數(shù)學解答過程中比數(shù)學基礎(chǔ)知識占有更重要的比重，它代表著學生解答問題的思路和意識，貫穿于數(shù)學學習，數(shù)學解答的整個過程。培養(yǎng)學生數(shù)學分析思想的關(guān)鍵之一在于培養(yǎng)學生概括，歸納數(shù)學解題方法的能力，只有具備這種能力，學生才能更好地認識、分析和解答問題?？傊?，學會概括和歸納自己所學的數(shù)學解答之法，才能在數(shù)學分析時對各種數(shù)學方法運用自如，不僅對于數(shù)學解答有著巨大幫助，也會讓學生在以后的學習中受益匪淺。

參考文獻：

[1]何金紅.新課標下高中數(shù)學教材分析研究[D].武漢：華中師范大學，2012.

[2]陸祥麗.高中數(shù)學思想方法的課程分析與教學實踐[D].成都：四川師范大學，2014.