廖金姐

【摘? 要】? 本文旨在深入研究有關(guān)二次函數(shù)面積最值問題的解題思路.以一道中考題為例，通過不同的方法來解答此類問題，以幫助讀者應(yīng)對各種二次函數(shù)中的面積最值問題.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；最值問題

例題? 如圖1，拋物線交軸于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式.

（2）設(shè)（1）中拋物線交軸于點(diǎn)，問：對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

（3）如圖2，在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)和最大面積；若沒有，說明理由.

解? （1）由拋物線過，

得，

解得

所以拋物線的解析式為.

（2）由已知得兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

所以直線與直線的交點(diǎn)為，此時的周長最小，

令，可得.

故，又，

所以.

故直線，

求得.

（3）方法1? 補(bǔ)形、割形法

分析? 把所求圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或者割，轉(zhuǎn)化成可求面積的圖形，進(jìn)而求出其面積.

解法1? 如圖3，

設(shè)點(diǎn)，

因為

，

又因為

，

當(dāng)時，

所以

所以.

解法2? 如圖4，

設(shè)點(diǎn)，

，

當(dāng)時，

所以.

方法2? 鉛錘定理：“鉛垂高，水平寬”面積法.

分析? 如圖5，面積=鉛錘高度×水平寬度÷2.

解? 如圖6，設(shè)點(diǎn)，

.

當(dāng)時，

所以.

方法3? 切線法

解? 如圖7，直線：，

過作，設(shè)，

聯(lián)立：，

所以.

即.

因為，

得.

此時的高最大，

.

所以

總之，上述三種方法可幫助解決各種二次函數(shù)面積最值問題及其相關(guān)問題.這將有助于讀者更好地理解和應(yīng)對二次函數(shù)中的面積最值問題，提高他們的數(shù)學(xué)問題解決能力.

【課題項目：南寧市教育科學(xué)研究所，南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“初中數(shù)學(xué)學(xué)科課程思政的研究與實(shí)踐”，課題編號：2022C460】

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭振興.從競賽角度解二次函數(shù)圖象中三角形面積的最值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中版），2019（10）：30-31.

[2]岑達(dá)康，汪志波.最佳平方逼近的多元二次函數(shù)最值問題[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，38（06）：15-17.

[3]區(qū)慧英.芻議自主學(xué)習(xí)模式下初中數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)施——以《二次函數(shù)中三角形面積最值的問題》為例[J].中國多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報（下旬版），2019（07）：244-245.

[4]姜艷.二次函數(shù)圖像中最值問題的突破——以一道中考模擬壓軸題的演變?yōu)槔齕J].數(shù)學(xué)之友，2020（04）：80-81.