李成 蔡慶有

【摘? 要】? 問題表征是解決問題的一種有力工具，而數(shù)學表征能力是學生數(shù)學核心能力之一的體現(xiàn).中學數(shù)學的主要研究對象就是以數(shù)量關系與空間形式所表征出現(xiàn)的問題，“數(shù)”與“形”的各自表征體現(xiàn)出嚴謹?shù)倪壿嬎季S和直覺的感知思維，研究“數(shù)”與“形”的結合方法在一定程度上也拓寬了這兩種思維的培養(yǎng)路徑.

【關鍵詞】? 高中數(shù)學；表征；數(shù)形結合

1? 概念綜述

1.1? 數(shù)學表征

在心理學中表征一詞概念為“信息在大腦中的呈現(xiàn)就稱為表征”.徐斌艷對于數(shù)學表征站在變換能力的角度定義為：“用某種形式，例如書面符號、圖形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達要學習或處理的數(shù)學概念或關系，以便最終解決問題”[1].從數(shù)學表現(xiàn)形式上將數(shù)學概念或問題劃分為符號（文字）表征和圖示表征.例如集合的表示法中的描述法就是用符號語言來下定義集合概念的，而圖示法（維恩圖法）就是用幾何圖形重疊的區(qū)域表示集合的一種方法，兩種方法都是對集合概念的描述方法.符號表征具有歷時性，是對數(shù)學概念的信息的抽象化數(shù)字表征.圖示表征具有共時性，是對數(shù)學知識的內涵的直觀化的形象表征.問題解決表征呈現(xiàn)形式不同，采取的解決路徑也是大相徑庭.

1.2? 數(shù)形結合

數(shù)與形是數(shù)學學習的兩大主題.從畢達哥拉斯的“萬物皆數(shù)”到笛卡爾解析幾何的建立都是“數(shù)形結合”在歷史長河中的痕跡[2].將一個代數(shù)問題轉化為一種特定形式的幾何問題，便可直觀化地分析出問題中要素關系以及其解法；將一個幾何問題代數(shù)化后，便可抽象化精準化地測量出幾何要素的位置關系[3].數(shù)形結合的實質就是通過對數(shù)與形在符號形式與空間形式上的對應轉換，使得數(shù)量關系與空間形式在某種機制下相得益彰、水乳交融[4].

2? 表征視角下的數(shù)形結合思想方法引導探究

數(shù)形結合的思想方法在高考中的考查屬于重點和難點，考查學生的代數(shù)運算能力和圖形空間想象能力.作為一種解題技巧，無非就是兩種情況（形化為數(shù)和數(shù)化為形），但是從高中數(shù)學知識的表征形態(tài)來看，以知識層面對數(shù)形結合思想的運用分類為三種表征對象：①方程、不等式、代數(shù)式最值；②平面幾何和立體幾何；③代數(shù)和幾何的橋梁者（函數(shù)和向量）.這些都是獨立的知識體系，數(shù)形結合的考查要點就是對這幾種知識體系的轉換.根據(jù)不同知識點的不同表征形態(tài)劃分轉化，使得數(shù)形結合解題思路清晰有章可循.已有的成固定思維的數(shù)形結合本文不再探究，例如方程的根與函數(shù)圖象零點問題、用建系法解決平面或立體幾何中位置關系等問題.高級段的數(shù)形結合應是跨度大但有深層聯(lián)系的不同知識板塊的數(shù)形結合，這也是近年來高考的難點和學生思維的障礙點.

2.1? 平面幾何表征解決方程問題

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思路? 方程組中后兩式與余弦定理可聯(lián)系，余弦定理與三角形有密切聯(lián)系，此題的方程表征就轉換到三角形幾何表征了.

評價? 本題的突破點在于方程能否轉化為余弦定理公式，其次根據(jù)余弦定理與幾何圖形（三角形）的聯(lián)系性，運用等積法解決.

2.2? 立體幾何表征解決不等式問題

觀察變化后不等式，發(fā)現(xiàn)左邊類似于勾股定理，那么我們就能進一步聯(lián)想為在長方體中各邊構造關系來解決問題.

評價? 本題的突破點在于利用勾股定理把問題引入到幾何表征中，值得強調的是，勾股定理多在平面幾何中出現(xiàn)，能聯(lián)想到立體幾何空間中去構造長方體是此題突破點.

2.3? 函數(shù)表征解決代數(shù)式最值問題

評價? 采用整體視角去發(fā)現(xiàn)代數(shù)式中兩點間距離公式是本題的解答關鍵所在，之后的構建函數(shù)利用圖象來找最值就迎刃而解了.

2.4? 等式表征解決平面幾何“長度”問題

思路? 從題的表征形式上看，這是一道幾何求線段長的問題，那么其中的各條幾何線段必存在某種數(shù)量的聯(lián)系，這就會讓學生聯(lián)想到用以三角形為工具展開的“勾股定理”或“三角函數(shù)”來解決此問題了.

評價? 此題的轉化角度在于要明察到線段長度背后的代數(shù)關系，這里的表征突破點在于幾何圖形里的直角三角形勾股定理的運用，因為從代數(shù)的角度看，勾股定理就是平面幾何中線段長度的關系橋梁，當然了，還有三角函數(shù).

2.5? 向量表征解決平面幾何“角度”問題

思路? 角度與長度都屬于“數(shù)”的表征，所以這題的解法肯定要用到代數(shù)關系來解決，我們就容易想到“向量”.求∠MPN可以轉化到求兩向量夾角.

評價? 幾何題中求解角度的問題從實質性上講就是代數(shù)問題，但是需要在無序的圖形中搭建適宜的坐標系以及找準對應的向量關系，這樣后續(xù)的代數(shù)運算才能事半功倍.

3? 結語

數(shù)形結合思想方法作為高中數(shù)學的必備解題思想策略之一，也滲透了轉化、類比、分類等重要數(shù)學思想，值得強調的是數(shù)形結合的運用要具體情況具體分析，切記不可生搬硬套.學生要深入研究高中知識板塊，明了哪些板塊之間可以運用“數(shù)形結合”思想搭建起溝通橋梁，以便解題思路的清晰和過程的簡便.

參考文獻：

[1]徐斌艷.數(shù)學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013，42（06）：67-74+95.

[2]魏芳.數(shù)形結合，讓數(shù)學學習更有意義[J].教學與管理，2012（32）：33-34.

[3]李巧文. 數(shù)形結合的心理機制[D].西安：陜西師范大學，2008.

[4]劉星紅.例談“數(shù)形結合”應用的四個誤區(qū)[J].數(shù)學通報，2007（11）：48-49.