摘" 要：數(shù)學(xué)思維進(jìn)階已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重點目標(biāo)之一，不僅是提高學(xué)生素質(zhì)的重要抓手，也是落實新課標(biāo)任務(wù)的關(guān)鍵舉措.從實際情況來說，小學(xué)數(shù)學(xué)思維發(fā)展以符號認(rèn)知和數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)為出發(fā)點，以模型思維與知識的系統(tǒng)化應(yīng)用為落腳點，可基本構(gòu)建出小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階路徑及形態(tài).基于此，本文從明晰與默會、認(rèn)同與批判、再現(xiàn)與創(chuàng)造三階段對小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階路徑加以闡述，進(jìn)一步提出建模思維視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階形態(tài)，旨在為提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)效提供參考.

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；思維進(jìn)階；數(shù)學(xué)思維

小學(xué)階段作為學(xué)生學(xué)習(xí)的起步階段，對于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)與生活均有著很大程度的影響.具體到數(shù)學(xué)學(xué)科上，則體現(xiàn)為學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)美感的養(yǎng)成與促進(jìn).小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階可以從三個維度理解：一是小學(xué)數(shù)學(xué)知識本身具有進(jìn)階性特征，數(shù)學(xué)知識可按照理論與實踐、舊知識與新知識、顯性知識與隱性知識等多種類別進(jìn)行認(rèn)知上的遞進(jìn)；二是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身具有進(jìn)階性，小學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的應(yīng)用具有很強(qiáng)的持續(xù)性與階段性，是一種知識吸取、遷移、應(yīng)用以及創(chuàng)新的漸變過程；三是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有進(jìn)階性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)于小學(xué)生而言是一種碎片化知識向整體化知識過渡的過程，隨著知識增加的累積，小學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)由片面到全面的發(fā)展.

1" 小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階路徑

小學(xué)數(shù)學(xué)思維是一個較為抽象的教育概念，許多學(xué)者從不同角度對這一名詞進(jìn)行了闡釋與研究.本文認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)思維可綜合概括為小學(xué)數(shù)學(xué)階段教學(xué)的凝練，是對小學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)知識的一種抽象概括.具體在學(xué)生個人發(fā)展上，體現(xiàn)為小學(xué)數(shù)學(xué)思維的由淺入深、由低至高，是一種循序漸進(jìn)的進(jìn)階脈絡(luò).以數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)化創(chuàng)新運(yùn)用作為著手點，其進(jìn)階路徑大致可分為三個階段.［1］

1.1" 明晰與默會：抽象認(rèn)知與邏輯推演

從知識類型角度來說，小學(xué)數(shù)學(xué)知識大致可劃分為顯性知識，即基本數(shù)學(xué)概念與符號認(rèn)知等，以及隱性知識，即知識應(yīng)用與專業(yè)創(chuàng)新等.心理學(xué)家科爾伯格（Lawrence Kohlberg）的“三水平六階段”認(rèn)知發(fā)展理論，將人的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行了劃分，其中小學(xué)生正處于科爾伯格前習(xí)俗水平的第二個階段，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上基本遵循著“顯性認(rèn)知→內(nèi)化理解→外在應(yīng)用”的脈絡(luò).此階段學(xué)生的思維進(jìn)階，是一種從知識的表象認(rèn)識到內(nèi)在機(jī)理掌握的轉(zhuǎn)變，即明晰知識認(rèn)知到抽象邏輯推斷的轉(zhuǎn)變.一方面，知識的高度凝練與高度抽象決定了小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階具備著層次化特征，學(xué)生對數(shù)學(xué)表象知識的認(rèn)知是一種形象化的認(rèn)知，是對個別數(shù)學(xué)符號與概念屬性的一種直觀領(lǐng)會，體現(xiàn)為生動性的感官理解.此階段下，小學(xué)生在掌握了最基本的數(shù)學(xué)語言形式后，必然會自發(fā)地進(jìn)行形而上的邏輯思考，這種思考是超驗的，需要結(jié)合自身的思維特點與邏輯特征對各種各樣的形式豐富的數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)概念加以整合，最終形成系統(tǒng)化的抽象認(rèn)知.［2］另一方面，知識的層次化也決定了小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的階段性.小學(xué)階段年級跨度較大，數(shù)學(xué)知識的難易程度呈現(xiàn)出一種由易到難的趨勢性變化.因此，小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階必須要注重數(shù)學(xué)語言的傳授與解讀，幫助學(xué)生主動思考數(shù)學(xué)語言蘊(yùn)藏的內(nèi)在機(jī)理與邏輯形式.

1.2" 認(rèn)同與批判：橫向比較與縱向探究

如果說明晰與默會階段的學(xué)生是在具體的、整體的知識框架下進(jìn)行某個問題或某個知識群落的思考，那么認(rèn)同與批判則是促進(jìn)學(xué)生從單純的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，到理智的數(shù)學(xué)思維認(rèn)同的轉(zhuǎn)變.此階段是小學(xué)中高年級段學(xué)生的思維進(jìn)階階段，相較于低年級段，此階段的思辨性特征更加凸顯，具體體現(xiàn)為學(xué)生更加關(guān)注數(shù)學(xué)概念的比較與探究.從橫向角度來說，學(xué)生思維進(jìn)階是一種關(guān)聯(lián)性知識的辯證思考，學(xué)生能夠?qū)ν惞脚c定理進(jìn)行邏輯上的梳理與概念推斷；從縱向角度來說，學(xué)生思維進(jìn)階是一種認(rèn)識水平的重新塑造，能夠?qū)ι钆c學(xué)習(xí)中獲取到的碎片化知識進(jìn)行重新整合.此階段著重體現(xiàn)為橫向素材的佐證對比以及縱向素材的傳承創(chuàng)新，以此來推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷進(jìn)階.［3］一方面，在科學(xué)的教學(xué)體系運(yùn)作下，數(shù)學(xué)語言的抽象性同歸邏輯這一形式被提煉、整合最終被學(xué)生吸收，從而形成獨特的數(shù)學(xué)意識.學(xué)生在這種對數(shù)學(xué)知識淺層次認(rèn)知向深層次結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化下，數(shù)學(xué)思維逐步轉(zhuǎn)向抽象化、邏輯化與規(guī)律化的深層次認(rèn)知，進(jìn)而打造出具有自身特性與抽象思維的個性數(shù)學(xué)認(rèn)知.另一方面，數(shù)學(xué)知識的表意學(xué)習(xí)能夠在具象化概念中，幫助學(xué)生科學(xué)地、合理地表達(dá)數(shù)學(xué)基本觀念，從而提出自身觀念或發(fā)展中存在的問題.借助于數(shù)學(xué)知識的高嚴(yán)謹(jǐn)性與高標(biāo)準(zhǔn)性，學(xué)生的思考過程與思維進(jìn)階得以不斷的糾偏與反思.

1.3" 再現(xiàn)與創(chuàng)造：思想具化與行為實踐

從教育實踐與教育經(jīng)驗來看，學(xué)生在初級學(xué)習(xí)階段下的思維模式主要以實踐思維為主導(dǎo)，思維作為行動的導(dǎo)向，其最終的培養(yǎng)重點與價值實踐也在于實踐.其中的區(qū)別在于學(xué)習(xí)者的實踐是一種“行為實踐”還是“實踐行為”.前者是一種由外而內(nèi)的行為遵循，后者則是一種考性的實踐理性行為.［4］由此可見，“行為實踐”可稱為是學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)基本邏輯結(jié)構(gòu)的重塑體現(xiàn)，“實踐行為”則是一種在具備充足數(shù)學(xué)素養(yǎng)下進(jìn)行的具有思考性與創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)實踐活動.這一階段的數(shù)學(xué)思維進(jìn)階不再局限于數(shù)學(xué)學(xué)科本身，而是兼具著跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的社會屬性，重點在于培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用與思維轉(zhuǎn)化能力.此階段的學(xué)生面對的數(shù)學(xué)問題更加多元與開放，對該問題的解答往往不能局限于單一的數(shù)學(xué)知識，需要結(jié)合其他領(lǐng)域的內(nèi)容進(jìn)行思考.因此，此階段需要將前兩個階段學(xué)生形成的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體化與實踐化的轉(zhuǎn)化，能夠在系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)模型以及綜合化的教學(xué)模式下構(gòu)建出解決問題的情境與培養(yǎng)解決問題的思維能力.

2" 建模思維視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階形態(tài)

數(shù)學(xué)語言的一般定義指的是以數(shù)學(xué)概念、定理和規(guī)律為基本規(guī)則，以各類數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)概念為主要元素，按照特定的思維模式與規(guī)則構(gòu)建出的一種語言體系.傳統(tǒng)教學(xué)模式下尤其注重數(shù)學(xué)語言的講授，并以數(shù)學(xué)語言對話這一形式開展教學(xué)活動.在小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階形態(tài)中，數(shù)學(xué)語言對話是一種早期階段的形態(tài)模式，建模思維視角下學(xué)生的思維進(jìn)階必須要實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言對話向建模思維養(yǎng)成的進(jìn)階轉(zhuǎn)化.小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階形態(tài)具有三種特性，即螺旋性、無限性與延展性.對上述三種形態(tài)特征進(jìn)行綜合概括，思維進(jìn)階在整合不同層次的碎片化知識中，指向數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)規(guī)律從而延展到學(xué)生的解決實際問題能力以及創(chuàng)新能力等綜合素質(zhì)的培養(yǎng).［5］由此可見，如果試圖使用某種思維來概括小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的高層次形態(tài)，那么本文將其定義為，是一種能夠抽象現(xiàn)實知識、具象數(shù)學(xué)語言再到實踐應(yīng)用的循環(huán)思維能力，即數(shù)學(xué)建模思維的形成.

2.1" 從對話到建模：小學(xué)數(shù)學(xué)思維賦能的形態(tài)轉(zhuǎn)向

數(shù)學(xué)模型作為一種模型思想，在教學(xué)實踐中的應(yīng)用主要是為了能夠系統(tǒng)化地解決各種類型的教學(xué)問題，也是適應(yīng)當(dāng)前新經(jīng)濟(jì)形勢下各類社會問題需求的數(shù)學(xué)思想之一.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用主要體現(xiàn)為建模意識以及建模思維的養(yǎng)成與優(yōu)化，能夠引導(dǎo)學(xué)生，利用正確的、合適的數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)建模過程，并正確理解、認(rèn)知數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在機(jī)理與本質(zhì)含義.針對小學(xué)生的生理特點，數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)，也是一種從學(xué)習(xí)對話到思維建模的轉(zhuǎn)變過程.一方面，小學(xué)數(shù)學(xué)思維賦能的起始階段強(qiáng)調(diào)對個性問題的解決，形態(tài)轉(zhuǎn)向下則需要學(xué)生能夠向解決共性問題加以轉(zhuǎn)變.數(shù)學(xué)語言主題對話中的訓(xùn)練更多的是一種思維鍛煉形式，學(xué)生能夠?qū)ψ陨淼臄?shù)學(xué)語言表達(dá)、數(shù)學(xué)知識認(rèn)知以及數(shù)學(xué)問題思考進(jìn)行轉(zhuǎn)變.與之相對，數(shù)學(xué)建模則是一種模型設(shè)計方式，是學(xué)科內(nèi)部知識向外部實踐應(yīng)用的形態(tài)轉(zhuǎn)化，側(cè)重于對各種形態(tài)、規(guī)模的共性數(shù)學(xué)問題的分類措施制定.另一方面，對話到建模小學(xué)數(shù)學(xué)思維賦能的形態(tài)轉(zhuǎn)向，也可稱之為是顯性數(shù)學(xué)知識向隱性邏輯規(guī)律的探究轉(zhuǎn)化.［6］數(shù)學(xué)對話雖然在形式上與內(nèi)容上也會注重數(shù)學(xué)定理與相關(guān)邏輯規(guī)律的探究，但是這種探究是一種任務(wù)型的教學(xué)活動，強(qiáng)調(diào)知識的記憶與學(xué)習(xí)的規(guī)范.而數(shù)學(xué)建模則更加強(qiáng)調(diào)能夠在已有知識基礎(chǔ)上，對現(xiàn)有問題進(jìn)行重新解構(gòu)與理解認(rèn)知，整合當(dāng)前要素形成具有數(shù)學(xué)邏輯與個性思維的數(shù)學(xué)模型.

2.2" 從片段到連貫：小學(xué)數(shù)學(xué)建模思維的形態(tài)框架

小學(xué)數(shù)學(xué)建模思維作為小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的最終形態(tài)，并不要求其能夠在現(xiàn)實生活中進(jìn)行實際應(yīng)用，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化、滲透與綜合運(yùn)用.具體到小學(xué)數(shù)學(xué)教育層面，則體現(xiàn)為教師對學(xué)生數(shù)學(xué)模型的感知能力培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)問題鏈的構(gòu)建.由此可見，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思維是生成于實踐問題，最終在數(shù)學(xué)知識以及學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)上，進(jìn)一步制定出最終的解決方案.從這一角度來說，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思維的形態(tài)進(jìn)階，強(qiáng)調(diào)知識的片段獲取以及知識的連貫性設(shè)計.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一階段層面是一種連貫學(xué)習(xí)向片段學(xué)習(xí)過渡的過程，即按照不同主題與不同問題類型，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的橫縱向?qū)Ρ扰c挖掘.此過程是一種知識資源的整合過程，也是幫助學(xué)生擺脫教師教學(xué)依賴，能夠圍繞一個核心主題獨立思考問題的過程.在此過程中，學(xué)生能夠通過搭建數(shù)學(xué)模型找尋問題的最優(yōu)解，并實現(xiàn)對模型的不斷優(yōu)化與完善.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第二階段層面，是一種知識應(yīng)用上的片段到連貫.現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是一種階段性的目標(biāo)式教學(xué)，即按照教師預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)任務(wù)進(jìn)行逐層推進(jìn).［7］學(xué)生建模思維的培養(yǎng)，必須要實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系串聯(lián)以及思想深化的由淺入深，并為學(xué)生提供具有選擇性的解題工具與解題路徑.在這個過程中，逐步引導(dǎo)、促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識體系與數(shù)學(xué)知識架構(gòu)，并能夠借助于思維導(dǎo)圖這一形式加以呈現(xiàn)，并要求學(xué)生能夠?qū)Ω鱾€關(guān)鍵概念與數(shù)學(xué)定理進(jìn)行全面掌握.

2.3" 從學(xué)思到踐悟：小學(xué)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形態(tài)標(biāo)尺

數(shù)學(xué)建模思維之所以是小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的首選，其根本原因在于建模思維在以數(shù)學(xué)學(xué)科為生成點的基礎(chǔ)上又超越了單一的數(shù)學(xué)學(xué)科知識內(nèi)容，并產(chǎn)生了具有跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的社會屬性特征.目前來說，因為現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)知識的組織架構(gòu)以及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的提高，教學(xué)重點已經(jīng)從原本的學(xué)科專業(yè)知識學(xué)習(xí)不斷向社會屬性的實踐性學(xué)習(xí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，更加注重小學(xué)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的實踐領(lǐng)悟考量.與此同時，數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)語言以及數(shù)學(xué)知識持續(xù)性的動態(tài)科學(xué)認(rèn)知.在這種要求促進(jìn)學(xué)生能力素養(yǎng)發(fā)展的時代背景下，小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階本身就包含著滿足學(xué)生素養(yǎng)提升的基本要求，需要引導(dǎo)學(xué)生能夠利用科學(xué)思維對知識框架內(nèi)的實際問題進(jìn)行解決與思考.此過程需要明確，數(shù)學(xué)實踐應(yīng)用是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一種具象化體現(xiàn)，也是淬煉、培養(yǎng)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要舉措.而達(dá)成這一目的的前提，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型不斷優(yōu)化，并推動數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的集中體現(xiàn).此外，數(shù)學(xué)語言向數(shù)學(xué)建模的進(jìn)階并非是彼此孤立存在，而是二者互為表里、共同發(fā)展的螺旋式上升姿態(tài).［8］因此，教師必須要統(tǒng)籌二者關(guān)系并進(jìn)一步發(fā)揮二者的協(xié)同效應(yīng)，切實推動小學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高.

3" 結(jié)語

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階是一項綜合性、系統(tǒng)性的教學(xué)工程，自有其內(nèi)在的統(tǒng)一的基本規(guī)律與運(yùn)行脈絡(luò).如果將學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的認(rèn)知與運(yùn)用看做是數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的起始點，那么對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用與脈絡(luò)開發(fā)，則是小學(xué)數(shù)學(xué)思維更高層次的實踐利用.前者是對數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知，后者則是對數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)規(guī)律的運(yùn)用，二者的交叉融合推動著小學(xué)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的螺旋上升.

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［11］羅柳萍.教、學(xué)、評一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”單元整體教學(xué)實踐研究——以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（12）：30-34.

［12］鄭復(fù)祥.小學(xué)數(shù)學(xué)生活化教學(xué)路徑分析［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（13）：18-21.

［13］黃偉東.“雙減”背景下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂核心問題設(shè)計的現(xiàn)狀及干預(yù)策略研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（13）：24-27+31.