摘 要：涉及多元代數(shù)式（往往以雙變?cè)?、三變?cè)獮橹鳎┑淖钪担ɑ蛉≈捣秶﹩?wèn)題，一直是高考、競(jìng)賽、自主招生等數(shù)學(xué)命題中比較常見(jiàn)的一類基本熱點(diǎn)類型.借助一道競(jìng)賽題，通過(guò)三變?cè)鷶?shù)式最值的求解，從不同思維視角切入，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：最值；競(jìng)賽；數(shù)學(xué)思維；基本不等式

多元函數(shù)的最值問(wèn)題就是在多個(gè)約束條件下，確定某一個(gè)代數(shù)式的最值（或取值范圍）

問(wèn)題.［1］此類問(wèn)題借助題設(shè)中所列的代數(shù)式以及限制條件，相應(yīng)的代數(shù)式之中往往有多個(gè)未知數(shù)，這就導(dǎo)致求解多元函數(shù)的最值問(wèn)題技巧性強(qiáng)、難度大、方法多、靈活多變，同時(shí)多元函數(shù)的最值問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，成為高考、競(jìng)賽、自主招生等命題中非常常見(jiàn)的一類基本題型備受關(guān)注.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

（2023年12月浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題·11）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，xy+yz=1，則5x+y+z+1x+z+1y的最小值是____.

此題以三變?cè)獮閱?wèn)題場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，利用三變?cè)某朔e與和式為常數(shù)為背景，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)三變?cè)姆质街偷拇鷶?shù)式的最小值問(wèn)題.問(wèn)題看似復(fù)雜沒(méi)有頭緒，但深入其中，可以通過(guò)運(yùn)算思維、消元思維以及換元思維等來(lái)合理轉(zhuǎn)化，借助基本不等式來(lái)放縮處理，進(jìn)而得以確定代數(shù)式的最值.

2 問(wèn)題破解

2.1 運(yùn)算思維

解后反思：根據(jù)多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，換元思維也是解決此類問(wèn)題中最為常用的一種技巧方法，或單變量換元、或雙變量換元、或三角換元等，根據(jù)題設(shè)條件中的代數(shù)式與所求結(jié)論中的代數(shù)式兩者之間的結(jié)構(gòu)特征與聯(lián)系加以合理選取.換元思維處理時(shí)，依托換元轉(zhuǎn)化，往往可以使得多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征更加突出，方便利用不等式或函數(shù)等思維來(lái)進(jìn)一步分析與求解.

多元函數(shù)的最值（或取值范圍）問(wèn)題常與基本不等式、均值不等式、柯西不等式等不等式考點(diǎn)相結(jié)合，其形式優(yōu)美精致、表現(xiàn)抽象、信息提取難，尤其是變量較多、思維干擾大，讓學(xué)生有時(shí)不知所措，但其解題方法靈活多樣，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，是很多函數(shù)、幾何問(wèn)題最后的“落腳點(diǎn)”，故而是高考、競(jìng)賽命題的一大熱點(diǎn).［2］而實(shí)際解決多元函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的解題技巧與辦法有導(dǎo)數(shù)法、消元法、基本不等式法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、向量法等.

參考文獻(xiàn)

［1］ 王小國(guó)，李敏.淺談多元最值問(wèn)題中“元”的處理［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（5）：9-11.

［2］ 王健.一道雙變?cè)鷶?shù)式最值的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（28）：89-91.