摘 要：通過(guò)對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第20題立體幾何題的展開(kāi)與分析，從高考命題與破解策略等視角切入，結(jié)合空間位置關(guān)系證明的不同方向以及空間角求解的不同方法加以剖析，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：立體幾何；垂直；證明；二面角；正弦

近年高考對(duì)立體幾何部分知識(shí)在解答題中的考查相對(duì)比較穩(wěn)定，空間線面位置關(guān)系中的平行或垂直的證明，空間角的計(jì)算是熱點(diǎn)，題型主要有：①空間位置關(guān)系的證明；②求解空間角或其某一種三角函數(shù)值等.基于2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第20題的解題分類，通過(guò)證明視角的方向展示，求解視角的方法應(yīng)用，就立體幾何解答題的復(fù)習(xí)備考進(jìn)行剖析，拋磚引玉.

1 真題呈現(xiàn)

（2022新高考Ⅱ·20）如圖1，PO是三棱錐P－ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn).

（1）證明：OE//平面PAC；

（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C－AE－B的正弦值.

2 第（1）問(wèn)證明方向

思路1：幾何法1——線線平行的轉(zhuǎn)化

根據(jù)所要證明的結(jié)論——線面平行，抓住線面平行的判定定理，尋找平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行問(wèn)題，進(jìn)行“降維”處理.那么在平面PAC內(nèi)尋找與直線OE平行的直線就是證明問(wèn)題的突破口.

如圖2，連接OA，OB，依題意，OP⊥平面ABC.又OA平面ABC，OB平面ABC，則OP⊥OA，OP⊥OB，

則有∠POA=∠POB=90°.

又PA=PB，OP=OP，則△POA≌△POB，可得OA=OB.

延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D.又AB⊥AC，則在Rt△ABD中，O為BD中點(diǎn)，連接PD.

在△PBD中，O，E分別為BD，BP的中點(diǎn)，則OE∥PD.又OE平面PAC，PD平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC.

思路2：幾何法2——面面平行的轉(zhuǎn)化

根據(jù)所要證明的結(jié)論——線面平行，抓住面面平行的性質(zhì)定理，尋找所要證明直線所在的一個(gè)平面與所要證明的平面平行，將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行問(wèn)題，進(jìn)行“升維”處理.那么尋找過(guò)直線OE的平面與平面PAC平行就是證明問(wèn)題的突破口.

如圖3，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，EM，PM.

在△PAB中，E，M分別為PB，AB的中點(diǎn)，則EM∥PA.

又EM平面PAC，PA平面PAC，所以EM∥平面PAC.

因?yàn)镻A=PB，M為AB的中點(diǎn)，所以PM⊥AB.

又PO是三棱錐P－ABC的高，則有OP⊥AB.

結(jié)合PM∩OP=P，所以AB⊥平面POM，則有AB⊥OM.因?yàn)锳B⊥AC，所以O(shè)M∥AC.

又OM平面PAC，AC平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC.

結(jié)合EM∩OM=M，EM，OM平面EOM，所以平面EOM∥平面PAC.

又OE平面EOM，所以O(shè)E∥平面PAC.

方法剖析：無(wú)法直接利用線面平行的判定定理來(lái)證明線面平行，有時(shí)可以借助思維的“升維”處理，通過(guò)證明兩個(gè)平面的平行，從而利用面面平行的性質(zhì)定理，從更高層次來(lái)轉(zhuǎn)化得以確定線面平行.

思路3：向量法

利用向量法來(lái)證明空間中的線面位置關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等來(lái)轉(zhuǎn)化，結(jié)合向量的位置關(guān)系，從代數(shù)視角來(lái)分析證明相應(yīng)的空間線面位置關(guān)系.

易知二面角C－AE－B為銳角，則設(shè)銳二面角C－AE－B的平面角為θ，則cos θ=|cosm，n|=|n·m|nm=4313.

所以sin θ=1-cos2θ=1113，即二面角C－AE－B的正弦值為1113.

方法剖析：坐標(biāo)法處理二面角問(wèn)題時(shí)，思維直接簡(jiǎn)單，只要分別確定兩半平面的法向量，利用數(shù)量積公式確定兩法向量的夾角即可.具體操作時(shí)，要利用二面角的大小的特殊性，結(jié)合實(shí)際圖形特征，根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”等來(lái)分析處理.不同位置的坐標(biāo)系的構(gòu)建，對(duì)結(jié)果并沒(méi)有影響.

思路2：幾何法

幾何法處理空間中的二面角問(wèn)題，往往可以從二面角的定義入手，作出相應(yīng)的二面角的平面角，利用空間中的線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面幾何中的三角形問(wèn)題，借助解三角形法來(lái)處理；也可以通過(guò)射影法、等體積法等來(lái)轉(zhuǎn)化，不用直接作出相應(yīng)的二面角的平面角，通過(guò)合理的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化來(lái)分析與求解.

由于PO是三棱錐P－ABC的高，故PO⊥平面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為PO=3，而E為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ABC的距離為32.

設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為h，在△EAB中，設(shè)邊AE上的高為h1.

易知二面角C－AE－B為銳角，則設(shè)銳二面角C－AE－B的平面角為θ，則有sin θ=hh1.

由于PO=3，PA=5，由（1）知，OA=OB=4.

又∠ABO=∠CBO=30°，則AB=43，AC=

ABtan 60°=12.

在△PAB中，結(jié)合余弦定理可得AE=112，在△PCB中，結(jié)合余弦定理可得CE=6012，

那么在△EAC中，結(jié)合余弦定理可得cos∠CAE=211，則有sin ∠CAE=31311.

對(duì)于三棱錐B－ACE，由等體積法，得VB-ACE=VE-ABC，則有13·S△ACE·h=13·S△ABC·32，解得h=1239.

在△ABE中，結(jié)合余弦定理可得cos∠EAB=6311，則有sin ∠EAB=1311.

所以h1=ABsin ∠EAB=43911，則有sin θ=hh1 =1113，即二面角C－AE－B的正弦值為1113.

方法剖析：合理構(gòu)建出滿足條件的二面角的平面角，或設(shè)出相應(yīng)的二面角大小，通過(guò)空間幾何與平面幾何的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理在不同視角構(gòu)建平面幾何圖形加以分析，借助三角形的合理求解與分析來(lái)確定對(duì)應(yīng)邊、角的大小，進(jìn)而綜合相關(guān)的方法來(lái)分析與運(yùn)算.

參考文獻(xiàn)

［1］韓文美.六法巧突破，妙解線面角——談2018年浙江第19題解法［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2019（2）：32-33.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.