摘 要：新高考強(qiáng)調(diào)思維創(chuàng)新、解題創(chuàng)新，高中教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)新能力是關(guān)鍵.在江蘇省新課改的關(guān)鍵期，《中國高考評價體系》指出，素質(zhì)教育的突出特征之一是創(chuàng)新性.新課標(biāo)對創(chuàng)新能力的要求體現(xiàn)在了題目新穎度.本文以高三數(shù)學(xué)模擬例題為背景，從不同角度進(jìn)行總結(jié)分析，歸納類比以及課堂反思三個方面論述，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的目的.

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新；歸納；類比

史寧中教授指出：“創(chuàng)新能力依賴于三個方面，即知識的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗的積累，三個方面同等重要.”［1］培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，高三學(xué)生有兩年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但有時對于一張試卷簡單的題目并沒有我們想象中那樣可以很好地拿到分?jǐn)?shù)，較難的題目也沒有我們想象中那樣拿分較低，這是身處教學(xué)一線老師經(jīng)常遇到且需要反思的.在大型模擬聯(lián)考中，數(shù)學(xué)題目幾乎都是全新的，學(xué)生都沒有被訓(xùn)練過，大家都在同一條起跑線上，在保證出題公平公正的情況下，才能真正體現(xiàn)出考試的評價，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).要想讓學(xué)生將新題做起來得心應(yīng)手，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.

1 歸納—總結(jié)，奠定創(chuàng)新思維基礎(chǔ)

例1 （2021年八省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷·17）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

（1）證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列.

（2）若a1=12，a2=32，求數(shù)列{an}的通項公式.

分析：這道題是我們熟悉的由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，學(xué)生一般很少會去訓(xùn)練三階遞推關(guān)系式.本題第二問對遞推結(jié)構(gòu)的要求更高，常規(guī)做法中由第一問的結(jié)論學(xué)生不易想到將an+an+1=2·3n-1轉(zhuǎn)化為an=-an+1+2·3n-1進(jìn)行構(gòu)造.通常思路會去整合an+an+1=2·3n-1，

an+1+an+2=2·3n. 兩式相減，得到an+2-an=4·3n-1.訓(xùn)練中學(xué)生做到過奇偶求和題型，但在此做起來反而把問題復(fù)雜化了.對于考試試卷的第一道解答題來說，采用奇偶求通項也是對考生能力的考驗.本題目的講解我們要立足于學(xué)生的思考，把形如an+1=pan+q與an+1=pan+qn的基本遞推關(guān)系式歸納到位，尤其是“p=-1”等的情況.歸納能力建立在實踐的基礎(chǔ)上的，更多地依賴于經(jīng)驗的積累.通過本題，①以小專題形式講解，全面做知識方法梳理，把形如an+1=pan+q；an+1=pan+qn；an+1=pa2n；an+1=panqan+r（其中p，q，r為常數(shù)）等的遞推關(guān)系求通項一一列舉講解，嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維，并豐富知識圖示.②深向歸納，使得知識升華，此題也可以引入特征方程an+2=2an+1+3an，轉(zhuǎn)變成方程x2=2x+3，解得x=-1或x=3.介紹特征方程通項an=A·（-1）n+B·3n，代入得A=0，B=16，所以an=3n-12. 當(dāng)然本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法（略），奇偶并項求和法，如an+an+1=2·3n-1，an+1+an+2=2·3n.兩式相減得an+2-an=4·3n-1.

例3 （2021年新高考Ⅰ·16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____；如果對折n次，那么nk=1Sk=____dm2.

對于折紙問題，不同的研究角度就會有不同的研究方向，為幫助學(xué)生對得到題干信息數(shù)字化處理，進(jìn)行了如圖2

的樹狀圖.幫助學(xué)生聯(lián)想出二項式中學(xué)到的楊輝三角形，其中有一個規(guī)律是第n行數(shù)字之和為2n-1.這樣就幫助我們很好地分析出每折疊一次的面積之和構(gòu)成等比數(shù)列，進(jìn)而可以推算出對折k次共有k+1種規(guī)格，且面積為2402k，故Sk=240（k+1）2k，所以nk=1Sk=2403-n+32n.

雖然是一道多選題，但對于本題的考查基本只是停留在二項式上，對于三項式接觸較多的是三項展開式中特定項的考查，一般從二項式展開兩次或者組合的形式進(jìn)行解題，但對于三項展開式的性質(zhì)卻知道甚少.本題以多項式為背景，但不常規(guī)的在于用之前的方法很少提出三項展開系數(shù)的性質(zhì).根本原因是二項展開式的知識梳理雖然熟練，但很少去類比講述三項式展開的性質(zhì)，三項式的性質(zhì)略偏，又難以理解.

3 反思—設(shè)計，凝造學(xué)生思維課堂

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，必須讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生，探究歸納規(guī)律，并學(xué)著類比遷移同類題目的過程. 教師在日常教學(xué)中可以嘗試與學(xué)生一起探索、思考，鼓勵多發(fā)表獨立見解. 所以，凝造課堂教學(xué)設(shè)計顯得尤為重要.

課堂給足學(xué)生“悟”的時間，學(xué)之道在于“悟”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本身就需要有悟的過程，這是一個自我思考、自我反思、自我總結(jié)的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時學(xué)會數(shù)學(xué)的思考［3］，在將所學(xué)知識嵌入已有知識結(jié)構(gòu)中并獨立思考后產(chǎn)生頓悟，進(jìn)而培養(yǎng)其思維能力，提升認(rèn)知力，概念教學(xué)、公式教學(xué)尤其如此. 解決問題不是目的，從解決問題過程中學(xué)會獨立思考，才是最重要的收獲.

培養(yǎng)學(xué)生的解題創(chuàng)新能力是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，高三學(xué)生已經(jīng)有兩年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，具備“四基”和“四能”，高三需要以數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，做到創(chuàng)新教育，尊重學(xué)生的主體地位，真正把課堂還給學(xué)生，構(gòu)建一片有利于學(xué)生的創(chuàng)新天地.

參考文獻(xiàn)

［1］殷玉波. 高三數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2021（1）：21-25.

［2］毛妍，谷峰. 三項展開式的性質(zhì)及應(yīng)用［J］. 杭州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2014，13（3）：262-267.

［3］竺寶林，杜明明. 數(shù)學(xué)課堂應(yīng)重視并突出數(shù)學(xué)研究的歷程——以“等差數(shù)列的前n項和（第1課時）”教學(xué)片段為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2021（1）：30-32.