摘 要：雙曲線的離心率問題，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，場(chǎng)景立意新穎，形式變化多端.結(jié)合一道模擬題中雙曲線離心率的求值應(yīng)用問題，從不同思維視角切入，結(jié)合不同的技巧與方法來分析與解決，合理歸納總結(jié)一般性結(jié)論，巧妙變式與拓展，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：雙曲線；離心率；定義；勾股定理；余弦定理

雙曲線中的離心率的求值、最值以及取值范圍

問題，一直是高考、競(jìng)賽與自主招生考試中數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一，此類問題非常契合高考數(shù)學(xué)試卷“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的指導(dǎo)思想，經(jīng)常能巧妙交匯并融合平面幾何與平面向量、函數(shù)與方程、不等式以及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，更加全面考查數(shù)學(xué)思維方式與應(yīng)用，是數(shù)學(xué)命題與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要場(chǎng)景，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

（2024屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷·8）如圖1，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點(diǎn)，以F2為圓心的圓與雙曲線C的左、右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，且F2Q=3F1P，則雙曲線C的離心率為（ ）.

該題以雙曲線為問題場(chǎng)景，基于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，巧妙帶入圓、平面向量等相關(guān)知識(shí)，綜合考查相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法等.

而涉及雙曲線的離心率的求解問題，可以從幾何視角切入，利用平面幾何圖形加以直觀分析；也可以從代數(shù)思維切入，通過代數(shù)屬性加以數(shù)學(xué)運(yùn)算；或幾何與代數(shù)綜合應(yīng)用等.解決此類問題時(shí)，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)變量之間的關(guān)系，找到包含變量a，b，c三者的方程是解決問題的關(guān)鍵.

2 問題破解

這些結(jié)論可以很好優(yōu)化解題效益，提升解題速度.本題通過雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式來優(yōu)化：已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C上的一點(diǎn)P滿足∠F1PF2=θ，則△F1PF2的面積為b2tan θ2.

3 結(jié)論歸納

依托原問題的應(yīng)用場(chǎng)景，通過兩平面向量的線性關(guān)系的應(yīng)用，由具體問題拓展到更廣泛的情況，加以歸納與總結(jié)，從而得到有關(guān)該問題的一個(gè)一般性的結(jié)論.

4 變式拓展

依托原問題的創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，通過改變題目中相關(guān)條件的給出方式，在保留原問題考查的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，加以合理變形與轉(zhuǎn)化，從而得到條件性的變式問題.

5 解題思維總結(jié)，技巧方法歸納

在解決圓錐曲線的綜合問題時(shí)，常用的解題思維與技巧方法，總結(jié)歸納如下.

（1）平面幾何思維，直觀分析處理.依托平面解析幾何中的圖形本質(zhì)，通過平面幾何的性質(zhì)與應(yīng)用來直觀形象地分析與處理.

（2）函數(shù)與方程思維，數(shù)學(xué)運(yùn)算處理.利用點(diǎn)、直線與圓錐曲線等方程之間的關(guān)系，或聯(lián)立方程組，或消參構(gòu)建方程，通過弦長(zhǎng)、距離公式等加以合理數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)問題的代數(shù)法分析與應(yīng)用；

（3）基本性質(zhì)思維，“巧技妙解”處理.借助圓錐曲線中一些相應(yīng)的“二級(jí)結(jié)論”，涉及焦點(diǎn)弦、焦半徑、焦點(diǎn)三角形等，可以直接鏈接條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，更加快捷有效地分析問題與解決問題.

其實(shí)，在實(shí)際求解平面解析幾何問題，或與之相關(guān)的幾何（平面幾何、解三角形、平面向量等）問題時(shí)，一定要有幾何大視野，或巧妙直觀想象，或合理數(shù)學(xué)運(yùn)算，或妙用“二級(jí)結(jié)論”等.特別是，高中幾何問題適當(dāng)?shù)厥褂贸踔袔缀畏椒ǎòㄌ砑虞o助線等）來處理，也是一種非常不錯(cuò)的選擇.無論是高中幾何視角中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，還是初中幾何視角中的直觀想象，都能很好提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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