摘" 要：“數(shù)與代數(shù)”是初中數(shù)學(xué)四大知識(shí)板塊之一，所占比重大，而推理能力也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的關(guān)鍵能力.盡早重視初中生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，能夠使學(xué)生從觀察中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從大膽猜想中掌握演繹證明的數(shù)學(xué)邏輯，從數(shù)形結(jié)合中體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美，從推理過程中促進(jìn)知識(shí)的學(xué)以致用，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；推理能力；培養(yǎng)策略

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）17-0041-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：袁詠雪（1997.11—），女，江蘇省南通人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出“抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)”等必備能力，將之作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素，其中，推理能力屬于數(shù)學(xué)認(rèn)知維度.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常將幾何推理作為重點(diǎn)，忽視代數(shù)推理能力.為此，筆者將重點(diǎn)圍繞“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個(gè)板塊，探討其代數(shù)推理的一般應(yīng)用，結(jié)合中考試題的求解思路，歸納代數(shù)推理能力的培養(yǎng)策略.

1" 問題的提出

數(shù)學(xué)推理是學(xué)科核心能力，推理也是數(shù)學(xué)最基本的思維方式.長期以來，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，多依賴于“圖形與幾何”部分內(nèi)容，而在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，忽視學(xué)生推理能力的發(fā)展.《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要加強(qiáng)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)W生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，這在一定程度上讓越來越多的教師開始關(guān)注代數(shù)推理能力.筆者對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行了認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)從七年級(jí)到九年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中，共計(jì)有29章內(nèi)容，而“數(shù)與代數(shù)”板塊所占比重更大，如表1所示.

總體來看，“數(shù)與代數(shù)”部分在各年級(jí)均有分布，合計(jì)有14章節(jié)，占比將近一半，且在編排特點(diǎn)上，呈現(xiàn)螺旋上升趨勢.在七年級(jí)教材中，“數(shù)與代數(shù)”章節(jié)偏多，這樣編排，更強(qiáng)調(diào)要從初一就開始重視學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).

2" 在“數(shù)與代數(shù)”板塊融入代數(shù)推理

2.1" 在“數(shù)與式”中融入代數(shù)推理

“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)重要知識(shí)板塊，有一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律、運(yùn)算性質(zhì)，教師可以通過實(shí)例教學(xué)，讓學(xué)生掌握其中的邏輯關(guān)系，體認(rèn)數(shù)學(xué)“法則”.

例1" 比較-821與-47的大小.

分析" 這兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)，取絕對(duì)值也無法直接判定大小關(guān)系.因分母不同，需要對(duì)之進(jìn)行通分，將-47轉(zhuǎn)化為-1221，由此可以看出，-1221的絕對(duì)值大于-821的絕對(duì)值，按照“絕對(duì)值大的反而小”結(jié)論，可以得出-821gt;-47.

通過以上判斷過程，也就是“說理論證過程”，讓學(xué)生體認(rèn)代數(shù)推理的教學(xué)價(jià)值.代數(shù)推理強(qiáng)調(diào)邏輯性，從判定兩數(shù)大小的過程中可以發(fā)現(xiàn)， 此問題看似“比大小”，實(shí)則是引領(lǐng)學(xué)生從“因?yàn)椤?，所以……”中感受“說理”過程，在數(shù)學(xué)語言表述中，滲透嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維.由此，讓學(xué)生在推理過程中達(dá)成“步步有據(jù)、步步有理”，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)精神.

2.2" 在“方程與不等式”中融入代數(shù)推理

在初中數(shù)學(xué)中，“方程與不等式”是重點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容.該模塊知識(shí)是訓(xùn)練學(xué)生代數(shù)推理能力的重要載體.

例2" 有一根鐵絲，長22 cm，問能否折成面積為32 cm2的矩形框？

分析" 在學(xué)習(xí)“一元二次方程”后，對(duì)于該題的求解思路，可以用方程思想來解答.在本例中，假設(shè)該矩形框的一邊長為x cm，則另一邊長為（11-x）cm.利用矩形的面積可以得到方程x（11-x）=32，對(duì)之進(jìn)行化簡得到x2-11x+32=0，求解該方程，利用根的判別式得出△=b2-4ac=-7lt;0，說明該方程沒有實(shí)數(shù)根.由此可推斷，長為22 cm的鐵絲無法折成面積為32 cm2的矩形框.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生能夠運(yùn)用“根的判別式”判定方程是否有實(shí)根，或者兩個(gè)根是否相等.通過對(duì)該題的解析，可以幫助學(xué)生體會(huì)“方程與現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系”，增進(jìn)學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)生活”的理解.

關(guān)于不等式的推理，多側(cè)重于判定取值范圍.

例3" 不等式組3x-51，2x-alt;8有且只有3個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍.

分析" 本題重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握一元一次不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解的個(gè)數(shù)，逆向推斷a的取值范圍.顯然，該題所滲透的推理思路具有“逆推性”，非常適宜發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力.

本題主要運(yùn)用了逆推法，這種方法能夠讓學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)分析與推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3" 在“函數(shù)”中融入代數(shù)推理

初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)板塊知識(shí)主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容，該板塊也是發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的關(guān)鍵.

例4" 如圖1所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OA=OC，對(duì)稱軸為直線x=1.下列四個(gè)結(jié)論：

①abclt;0；②a+12b+14cgt;0；③ac+b+1=0；④2+c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根.其中正確的是.

分析" 本題主要考查拋物線的開口方向、對(duì)稱軸及一元二次方程根的情況.由圖1易發(fā)現(xiàn)，拋物線的開口向下，可以推斷出alt;0.再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則得到-b2a=1，由此可推導(dǎo)出bgt;0.觀察拋物線與y軸相交于點(diǎn)C位于正半軸，可推導(dǎo)出cgt;0，據(jù)此可以判定abclt;0.對(duì)于結(jié)論②，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x=1，所以b=-2a，從而a+12b+14c=14cgt;0，故結(jié)論②也成立.對(duì)于結(jié)論③，因?yàn)镺A=OC=c，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為-c，0，將其代入拋物線的表達(dá)式，可得ac2+b（-c）+c=0，整理得ac-b+1=0，從而可知ac+b+1=ac-b+1+2b=2bgt;0.由此可知結(jié)論③不成立.對(duì)于結(jié)論④，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸，可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2+c，0），也就是2+c為方程ax2+bx+c的一個(gè)根，即結(jié)論④也成立.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，展開代數(shù)推理分析，能夠有效促使學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力［1］.

3" 指向代數(shù)推理能力的培養(yǎng)路徑

3.1" 強(qiáng)調(diào)觀察，注重代數(shù)推理思維的啟發(fā)

代數(shù)推理能力需要具備較強(qiáng)的觀察力.觀察是認(rèn)識(shí)世界的有效途徑之一，在觀察中，要講究目的性、計(jì)劃性、持久性.觀察能力體現(xiàn)了“思維的知覺”，教師在平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，要給予學(xué)生預(yù)置觀察時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)題目內(nèi)容進(jìn)行透徹觀察［2］.

例5" 有一矩形人行道，中間鋪正方形灰色地磚，兩邊鋪白色等腰直角三角形地磚，如圖2所示.

當(dāng)正方形地磚為1塊時(shí)，需要6塊等腰直角三角形地磚.當(dāng)正方形地磚為2塊時(shí)，需要8塊等腰直角三角形地磚.（1）每增加1塊正方形地磚，需要增加幾塊等腰直角三角形地磚？（2）若有n塊正方形地磚，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示等腰直角三角形地磚的塊數(shù).

根據(jù)圖形特征，對(duì)于問題（1），學(xué)生可以動(dòng)手畫圖，很快得到2塊等腰直角三角形地磚；對(duì)于問題（2），則需要通過多次推理來獲得答案.學(xué)生在對(duì)鋪磚方式的認(rèn)真觀察后，推斷出每增加一塊正方形地磚，需要增加2塊三角形地磚，加上前面的4塊三角形地磚，得出三角形地磚數(shù)為（2n+4）塊.

3.2" 突出猜想，注重推理演繹與證明

在培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，從猜想中找準(zhǔn)解題思路.猜測和檢查是代數(shù)推理的基本形式，由猜想到證明，體現(xiàn)了由特殊到一般的演繹過程.

例6" 觀察等式：

（2×1+1）2=（2×2+1）2-（2×2）2，

（2×2+1）2=（3×4+1）2-（3×4）2，

（2×3+1）2=（4×6+1）2-（4×6）2，

（2×4+1）2=（5×8+1）2-（5×8）2，

…………

（1）按如上規(guī)律，請(qǐng)寫出第5個(gè)等式.

（2）對(duì)于第n個(gè)等式，應(yīng)該如何表示？

分析" 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特征，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)等式可以表示為：（2×5+1）2=（6×10+1）2-（6×10）2.顯然，對(duì)該題的解析，著重考查學(xué)生對(duì)等式規(guī)律的探索.在觀察、歸納、分析基礎(chǔ)上，可以寫出第n個(gè)等式表示為：（2n+1）2=［（n+1）·2n+1］2-［（n+1）·2n］2.在對(duì)該題的推理探索過程中，學(xué)生可從中深刻體認(rèn)數(shù)學(xué)解題過程，并對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，從而發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.3" 傳授方法，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

在發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力過程中，數(shù)學(xué)思想的滲透是必不可少的.面對(duì)數(shù)學(xué)問題，要指導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，尤其是在代數(shù)運(yùn)算中，更要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的融入.代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為幾何問題，在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美.

例7" 拋物線y=ax2-2x+1（a≠0），對(duì)稱軸為x=1.

（1）求a的值；

（2）假設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）位于拋物線上，且滿足-1lt;x1lt;0，1lt;x2lt;2，請(qǐng)比較y1、y2的大小，并說明理由.

分析" 在求解過程中，單純從代數(shù)視角來解題，學(xué)生會(huì)感到抽象，不易找準(zhǔn)解題突破口.教師可引導(dǎo)學(xué)生借助平面坐標(biāo)系，利用二次函數(shù)的圖象解決問題，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”相結(jié)合，使代數(shù)問題豁然開朗.

4" 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視學(xué)生代數(shù)推理能力的養(yǎng)成，結(jié)合題型探究，滲透推理、演繹、驗(yàn)證方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：［1］ 樓倩.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)代數(shù)推理能力培養(yǎng)探析［J］.數(shù)學(xué)之友，2023（6）：39-42.

［2］ 錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：2-4.

［責(zé)任編輯：李" 璟］