祝峰

摘要：基于把握本質(zhì)、設置情境、提出問題、思考交流的單元整體視角，嘗試以章起始課“生活中的變量關(guān)系”為例，開發(fā)符合學生認知，有助于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，可借鑒、能復制的課堂教學案例，使高中數(shù)學課堂教學更貼近新課程理念的應然狀態(tài).

關(guān)鍵詞：創(chuàng)設情境；問題引領(lǐng)；生活中的變量關(guān)系

基金項目：“安徽省電化教育館”2022年度安徽省教育信息技術(shù)研究課題——TPACK視角下提升高中學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的實踐研究（AH2022045）.

“把握數(shù)學本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學”是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）所倡導的課程基本理念之一.《標準》建議高中數(shù)學教學應該以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，引導學生把握數(shù)學本質(zhì).這一理念下的高中數(shù)學課堂教學，把握本質(zhì)是原則，情境、問題是載體，思考、交流是手段，素養(yǎng)發(fā)展是目的.從背景來看，情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境；從認知挑戰(zhàn)性來看，每種情境又包括熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境和綜合的情境.對于問題，最基本的應該是蘊含著數(shù)學概念、原理和思想方法的問題，它們的解決能夠促進數(shù)學概念的建立、數(shù)學原理的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學思想的形成；更多的則是需要運用數(shù)學概念、原理加以解決的數(shù)學問題或?qū)嶋H問題，在解決過程中能夠有效鞏固“四基”，提升“四能”.同時，還應該包括指向和服務于數(shù)學問題解決的元認知問題，以自我暗示的形式幫助學生加強對自我認知活動的自我調(diào)節(jié)和自我監(jiān)控.把握本質(zhì)、設置情境、提出問題、思考交流，是區(qū)別“素養(yǎng)為本”的數(shù)學教學和“知識為本”的數(shù)學教學的一個有效視角.

對于一線教師來說，充分理解《標準》和教材，設計合適的教學情境，提出恰當?shù)慕虒W問題是極具挑戰(zhàn)性的，當然這也為教師的實踐創(chuàng)新提供了一個廣闊的平臺.教師應該不斷學習、探索、研究、實踐，提升自己的數(shù)學素養(yǎng)，了解數(shù)學知識之間、數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，努力開發(fā)出符合學生認知規(guī)律，有助于提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，可借鑒、能復制的教學案例，使課堂教學更靠近新課程理念的應然狀態(tài).

下文呈現(xiàn)北師大版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“函數(shù)”，章起始課“生活中的變量關(guān)系”（第1課時）的教學設計，以期為素養(yǎng)導向下的高中數(shù)學課堂教學提供一個鮮活的教學案例.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本教學設計把“生活中的變量關(guān)系”“函數(shù)概念”“函數(shù)的表示法”三節(jié)劃分為本章的第一單元.內(nèi)容包括：“對應說”的函數(shù)概念；函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應關(guān)系）；函數(shù)的表示法（解析法、圖象法、表格法）；分段函數(shù)的概念及其表示.

本單元內(nèi)容需要3個課時進行教學，分別是生活中的變量關(guān)系、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法.這里只給出第1課時的教學設計.

2.內(nèi)容解析

函數(shù)概念產(chǎn)生的背景和生成過程.函數(shù)的形式化概念的產(chǎn)生背景有三：一是生活中變量間的依賴關(guān)系；二是初中階段已經(jīng)學習過的函數(shù)的描述性定義；三是預備知識中的集合語言.函數(shù)概念的生成大致經(jīng)歷了一系列的過程和階段：變量的依賴關(guān)系；“變量說”的函數(shù)概念；“變量說”概念的局限性；利用集合和對應關(guān)系語言刻畫具體函數(shù)；去除背景；獲得一般意義上函數(shù)的“對應說”概念；函數(shù)的三要素；函數(shù)的常用表示法；等等.

函數(shù)概念的構(gòu)建要經(jīng)歷歸納、抽象概括、符號表示、反思構(gòu)建等過程.從對應關(guān)系視角觀察、研究事物的運動和變化規(guī)律是重要的思想方法.三種表示法之間的轉(zhuǎn)化則滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分段函數(shù)則伴隨著分類討論思想.在完整的函數(shù)概念基礎上構(gòu)建函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)聯(lián)，則集中體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)部的整體性思想.

函數(shù)的本質(zhì)是兩個非空數(shù)集之間的特殊對應關(guān)系，即單射.學科方面，從初中階段的描述性定義到高中階段的形式化定義，特別是符號f（ ） x的引入，使得嚴格刻畫函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性等）具備了可能，擴大了函數(shù)研究的范圍，改變了函數(shù)的研究方法.育人方面，對于函數(shù)的形式化概念，無論是構(gòu)建還是應用過程都更有利于培養(yǎng)學生的抽象能力、數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力.

3.教學重點

在大量的問題情境中，結(jié)合變量間的依賴關(guān)系和函數(shù)“變量說”的概念，概括函數(shù)的本質(zhì)要素，用集合語言刻畫函數(shù)的“對應說”概念，并能用恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).

二、目標和目標解析

1.單元目標

（1）在初中階段用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

（2）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.

2.目標解析

達成上述目標的標志如下.

（1）能用集合語言與對應關(guān)系刻畫函數(shù)，能說出定義域、對應關(guān)系、值域的含義和作用，能求出簡單函數(shù)的定義域.

（2）能用例子（如圖象、表格、解析式等）說明抽象符號f的意義，能根據(jù)問題的特征選擇恰當?shù)姆绞奖硎揪唧w函數(shù)的對應關(guān)系；在具有明確函數(shù)關(guān)系的實際問題中，能選用適當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并能用于解釋實際意義.

（3）會用具體例子說明分段函數(shù)的含義，能用分段函數(shù)構(gòu)建數(shù)學模型，刻畫簡單實際問題中的變化規(guī)律.

三、教學問題診斷

1.問題診斷

在本單元的學習過程中，學生有可能會在下述節(jié)點出現(xiàn)學習困難.

（1）“變量說”函數(shù)概念基于變量的依賴關(guān)系，強調(diào)用函數(shù)描述一個變化過程，不強調(diào)變量的取值范圍，學生對函數(shù)定義域重要性的認識不足.在本單元教學中，從“生活中的變量關(guān)系”（第1課時）開始，就應該通過恰當?shù)睦幼寣W生感受到確定自變量范圍的重要性.

（3）在預備知識中曾經(jīng)強調(diào)，集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，可以幫助我們比較精確地、清晰地刻畫研究對象.用集合語言描述函數(shù)的“對應說”概念學生第一次遇到，這是函數(shù)概念學習的第三個難點.教學中可以采取“結(jié)合實例，教師示范，學生模仿并應用”的方式予以突破.

（6）在分段函數(shù)的學習中，學生會質(zhì)疑其到底是一個函數(shù)還是多個函數(shù)組合在一起.可以結(jié)合北師大版教材中的階梯電價、個人所得稅、出租車計費等具體問題幫助學生理解分段函數(shù)刻畫的是一個完整的變量關(guān)系和規(guī)律，只是在不同定義域上的對應關(guān)系不同.

2.教學難點

函數(shù)概念的抽象，符號“y=f（ ） x，x∈A”的理解，對應關(guān)系的表達形式與本質(zhì)的理解，選擇恰當?shù)谋硎痉坍嬀唧w情境中的函數(shù)關(guān)系，分段函數(shù).

四、課時教學設計

1.課時教學內(nèi)容

生活中變量間的依賴關(guān)系，“變量說”函數(shù)概念在具體情境中的應用，用集合和對應關(guān)系語言描述具體的函數(shù)，分段函數(shù).

2.課時教學目標

（1）了解本章的主要內(nèi)容和意義，知道本章內(nèi)容大致的研究思路.

（2）結(jié)合“變量說”函數(shù)概念，能從生活中具有依賴關(guān)系的變量中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系.

（3）結(jié)合實例，在具體情境中發(fā)現(xiàn)函數(shù)“變量說”概念的局限性，能通過模仿用集合語言和對應關(guān)系更清晰、準確地描述函數(shù).

（4）能用具體的實例說明分段函數(shù)是刻畫變量關(guān)系的一個完整函數(shù).

3.課時教學重點和難點

（1）教學重點.

從生活中變量間的依賴關(guān)系中抽象出函數(shù)關(guān)系，用集合語言和對應關(guān)系描述具體函數(shù).

（2）教學難點.

用集合與對應關(guān)系描述函數(shù)時，集合B的特點；分段函數(shù)的意義.

4.課時教學設計

環(huán)節(jié)1：大概念統(tǒng)領(lǐng)下的章結(jié)構(gòu)展望.

引導語：同學們對“函數(shù)”并不陌生，初中階段我們學習過函數(shù)的概念，并研究了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).德國著名數(shù)學家克萊因（Christian Fe？ lix Klein，1849—1925）有這樣一句名言：函數(shù)的概念應該成為數(shù)學思維的心臟和靈魂，滲透到數(shù)學課程的每一個部分.函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念之一，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線之一.今天我們將開始第二章“函數(shù)”內(nèi)容的學習，進一步探索函數(shù)的奧妙及威力.

問題1：現(xiàn)實世界中充滿著變量，一些變量之間存在著依賴關(guān)系.例如，北京時間2022年5月10日01時56分，搭載天舟四號貨運飛船的長征七號遙五運載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點火發(fā)射.在發(fā)射過程中，天舟四號貨運飛船與發(fā)射點間的距離與時間之間存在著依賴關(guān)系；2008年以來，我國高鐵運營里程與年份存在著依賴關(guān)系.閱讀本章的章引言，想象章頭圖中展示的現(xiàn)實情境，回答下列問題.

（1）函數(shù)是揭示什么的概念？在現(xiàn)代數(shù)學中，函數(shù)處于怎樣的地位？

（2）函數(shù)在高中數(shù)學中有著怎樣的地位？

（3）本章內(nèi)容的學習是在什么基礎上展開的？要以何種觀點進行研究？

（4）本章主要學習哪些內(nèi)容？有何意義？

師生活動：學生仔細閱讀章引言，觀察章頭圖，形成對上述問題的初步認識后，與同伴交流對上述問題的理解.

教師引導學生認識到：（1）函數(shù)是揭示變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學概念，是現(xiàn)代數(shù)學中最基本的概念，在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用；（2）函數(shù)是高中數(shù)學課程的主線之一，貫穿高中數(shù)學學習的始終；（3）本章將在初中階段函數(shù)概念的基礎上，以集合、對應的觀點研究函數(shù)；（4）在新的觀點下，本章將加深對函數(shù)概念的理解，形成完整的認識，并通過具體實例，討論一般函數(shù)的表示法和基本性質(zhì)，為整個高中數(shù)學的學習打下基礎.

【設計意圖】本節(jié)課是章起始課，問題1本著系統(tǒng)思維和整體觀念，提綱挈領(lǐng)地引導學生對本章內(nèi)容有一個“預覽”.在“函數(shù)”這一大概念的統(tǒng)領(lǐng)下，通過問題引領(lǐng)，借助章引言及章頭圖，遵循統(tǒng)領(lǐng)性、整體性、邏輯性、發(fā)展性、溫故性、激趣性原則，讓學生對函數(shù)的本質(zhì)、函數(shù)在高中數(shù)學學習中的地位，以及學習基礎、學習方法和學習內(nèi)容有一個梗概性的了解.

環(huán)節(jié)2：在現(xiàn)實情境中感受變量間的依賴關(guān)系.

情境1：圖1是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲油罐儲存汽油等燃料.假設儲油罐的長度為d、截面半徑為r、油面的高度為h、油面的寬度為ω、儲油量為V .

問題2：（1）上述五個量中，哪些是常量？哪些是變量？

（2）變量之間有關(guān)系嗎？

師生活動：學生感受現(xiàn)實情境后，自主發(fā)現(xiàn)d，r是常量，h，ω，V是變量，同時發(fā)現(xiàn)V隨著h和ω的變化而變化.教師明確數(shù)學中稱V與h之間存在依賴關(guān)系，V與ω之間也存在依賴關(guān)系.

追問：（1）h與ω之間存在依賴關(guān)系嗎？

（2）每取一個h的值，有幾個V的值與之對應？每取一個ω的值，又有幾個V的值與之對應？

師生活動：在問題的引領(lǐng)下，學生發(fā)現(xiàn)對于每一個h都有唯一確定的V與之對應.對于每一個ω有時有兩個確定的V與之對應，有時有唯一確定的V與之對應.

【設計意圖】創(chuàng)設學生熟悉的生活情境，讓學生體會變量之間的依賴關(guān)系.這里只讓學生體會到這些變量之間存在依賴關(guān)系即可，不必建立變量之間的關(guān)系式，進一步讓學生感受這些依賴關(guān)系是“一對一”的還是“一對多”的.

情境2：自京津城際列車開通運營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展，和諧號、復興號等已經(jīng)成為一張亮麗的中國名片.截至2017年年底，中國高鐵運營里程突破25000km.現(xiàn)在正建設以八橫八縱為骨架的高速鐵路網(wǎng).圖2表示的是中國高鐵年運營里程的變化.

問題3：（1）你能從圖2中找到存在依賴關(guān)系的變量嗎？

（2）你還能從圖2中發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

師生活動：學生自主發(fā)現(xiàn)，隨著時間的變化高鐵的年運營里程在變化，它與年份間存在著依賴關(guān)系.通過觀察圖形也能發(fā)現(xiàn)，從2008年到2017年，高鐵的年運營里程是不斷增加的，且2014年相較于前一年增長最多.學生可能還會發(fā)現(xiàn)其他現(xiàn)象，只要符合事實，教師均給予鼓勵.

追問：（1）2008年到2017年的每個年份，對應幾個年運營里程？

（2）從圖2中，你能發(fā)現(xiàn)2021年我國高鐵的年運營里程嗎？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)，每個年份對應唯一確定的年運營里程.從圖2中無法得到2021年我國高鐵的年運營里程，因為圖2只提供了2008年到2017年的高鐵年運營里程.

【設計意圖】讓學生在實際情境中發(fā)現(xiàn)變量間的依賴關(guān)系，感受我國高鐵的快速發(fā)展.通過問題引領(lǐng)學生發(fā)現(xiàn)變量依賴關(guān)系中的對應方法.讓學生體會研究變量間的對應關(guān)系時明確變量取值范圍的必要性.

環(huán)節(jié)3：用“變量說”理解變量間的依賴關(guān)系.

問題4：在初中階段，我們曾經(jīng)學習過函數(shù)的概念，你還能說出來嗎？

師生活動：學生回憶并說出函數(shù)的概念：如果在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的一個函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

追問1：依照這個概念，在現(xiàn)實生活中如何確定兩個變量具有函數(shù)關(guān)系？

追問2：情境1中，V是關(guān)于h的函數(shù)嗎？V是關(guān)于ω的函數(shù)嗎？情境2中，高鐵的年運營里程是關(guān)于年份的函數(shù)嗎？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)，確定兩個變量間是否具有函數(shù)關(guān)系時，首先要看兩個變量間是否存在依賴關(guān)系，進而需要判斷“對于變量x的每一個值，變量y是否都有唯一確定的值與它對應”.教師引導學生總結(jié)，依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，但函數(shù)關(guān)系一定是依賴關(guān)系.研究函數(shù)關(guān)系時，通常要指明自變量和因變量，因為兩者交換位置后不一定還存在函數(shù)關(guān)系.

【設計意圖】直觀的自然語言、符號語言和公理化語言表示是中學概念的三種表示方式，用簡明、直觀的自然語言對數(shù)學概念的本質(zhì)屬性進行描述的定義方式稱為數(shù)學概念的描述性定義.從定義內(nèi)容看，初中的描述性定義是基于變量的依賴關(guān)系，強調(diào)的是用函數(shù)描述一個變化的過程.我們稱因變量y是自變量x的函數(shù)，學生的基本認識是與自變量對應的“數(shù)值”就是函數(shù).本環(huán)節(jié)通過問題引領(lǐng)，讓學生感受兩個變量間這種“一對一”的“對應關(guān)系”是函數(shù)的本質(zhì)特征.

環(huán)節(jié)4：感悟“變量說”的局限性，初識“對應說”的話語方式.

情境3：圖3中的彈簧的伸長量x（單位：cm）與彈力y（單位：N）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx，其中k是勁度系數(shù).

問題5：借助物理學知識，能用函數(shù)的概念解釋一下為什么彈力y是關(guān)于彈簧的伸長量x的函數(shù)嗎？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)對于變量“伸長量”的每一個值，變量“彈力”都有唯一確定的值與之對應，所以彈力y是關(guān)于彈簧的伸長量x的函數(shù).

追問1：若k=5，則y=5x，我們能確定x為15 cm時，y為75 N嗎？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)不一定，因為從情境中無法確定x為15 cm是否在彈簧的彈性限度內(nèi).教師引導學生發(fā)現(xiàn)，在論及兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，指明變量取值范圍非常重要.

【設計意圖】“變量說”強調(diào)變化過程中的依賴關(guān)系與對應方式，沒有強調(diào)自變量的取值范圍.結(jié)合北師大版教材中提供的科學情境，通過恰當設置問題，讓學生感受確定自變量取值范圍的必要性和重要性.并引導學生發(fā)現(xiàn)集合是刻畫范圍問題最好的語言，進而教師示范、學生感受用集合與對應關(guān)系描述具體情境中兩個變量間的函數(shù)關(guān)系的方式.

問題6：某種筆記本每本5元，超市規(guī)定一名學生一次購買筆記本的數(shù)量不超過10本.小明準備去超市購買該種筆記本，你認為該怎樣確定小明的購買金額？購買金額y是關(guān)于購買數(shù)量x的函數(shù)嗎？

追問1：能用集合和對應關(guān)系更精確地刻畫這一函數(shù)嗎？

追問2：問題5和問題6中的函數(shù)具有相同的對應關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？

師生活動：學生思考、討論后發(fā)表自己的看法.部分學生認為它們不是同一個函數(shù)，因為變化過程和變化背景不一樣；也有部分學生認為它們是同一個函數(shù)，因為對應關(guān)系一樣.教師引導學生從集合和對應關(guān)系的視角判斷兩個函數(shù)的異同.學生感悟到雖然兩個函數(shù)的對應方式相同，但是兩個函數(shù)分別建立在不同的集合上，所以不是同一個函數(shù).

【設計意圖】借助問題5和問題6，讓學生嘗試用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)，并進一步感受利用集合和對應語言能夠更精確地描述函數(shù)，為第2課時學習函數(shù)的“對應說”概念提供認知基礎.同時，讓學生初步感受兩個函數(shù)相等的判斷方法，為第2課時學習函數(shù)相等的概念提供認知經(jīng)驗.

追問：能用集合和對應關(guān)系精確刻畫上述函數(shù)嗎？

師生活動：學生書寫并表述，教師規(guī)范用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的表達形式.

【設計意圖】在具體情境中，進一步讓學生感受用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的準確性和簡潔性，提升學生的表達能力.同時，讓學生認識到對應關(guān)系可以用表格來表述.

環(huán)節(jié)5：在具體情境中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，提升用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的能力.

情境4：表1記錄了不同氣壓下水的沸點.

問題7：變量“沸點”與變量“氣壓”間存在依賴關(guān)系，“沸點”是關(guān)于“氣壓”的函數(shù)嗎？

追問：能用集合和對應關(guān)系精確刻畫上述函數(shù)嗎？

師生活動：學生書寫并表述，教師規(guī)范用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的表達形式.

【設計意圖】在具體情境中，進一步讓學生感受用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的準確性和簡潔性，提升學生的表達能力.同時，讓學生認識到對應關(guān)系可以用表格來表述.

情境5：綠化可以改變環(huán)境氣候.某市有兩個氣溫觀測點，觀測點甲的綠化情況優(yōu)于觀測點乙.圖4是這兩個觀測點某一天觀測到的氣溫曲線.為了方便比較，將兩條曲線畫在同一平面直角坐標系中.

問題8：甲、乙兩個觀測點觀測到的“氣溫”與“時間”之間存在依賴關(guān)系.兩個觀測點觀測到的“氣溫”分別是關(guān)于“時間”的函數(shù)嗎？

師生活動：學生思考并討論后發(fā)現(xiàn)兩個觀測點觀測到的“氣溫”與“時間”之間均存在函數(shù)關(guān)系.

問題9：對比情境3、情境4和情境5中的四個函數(shù)，回答下列問題.

（1）這些函數(shù)所處的背景各異，但是均可以用集合和對應關(guān)系的話語方式表示，用這種話語方式表述函數(shù)有幾個關(guān)鍵要素？

（2）四個函數(shù)的對應關(guān)系各異，在具體情境中是怎樣表示對應關(guān)系的？

師生活動：學生獨立思考，深入討論后發(fā)表自己的看法，教師總結(jié).

教師總結(jié)：去除各自的具體背景后發(fā)現(xiàn)，用集合和對應關(guān)系的話語方式表述函數(shù)時，必須有兩個明確的數(shù)集和一個確定的對應關(guān)系.有的對應關(guān)系用數(shù)學表達式確定，有的對應關(guān)系用表格呈現(xiàn)，還有的對應關(guān)系用圖象表示，但必須保證集合A中的任何一個元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.同時，要注意到集合B不是唯一的.

【設計意圖】綜合四個具體的實例，引導學生發(fā)現(xiàn)集合和對應關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的關(guān)鍵，對應關(guān)系可以有多種表述方式，集合B具有不唯一性.這個環(huán)節(jié)為第2課時函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、函數(shù)相等及第3課時函數(shù)的表示法的教學作素材和認知上的充分準備.整個活動過程有利于提升學生的數(shù)學抽象能力.

環(huán)節(jié)6：在具體的生活情境中了解分段函數(shù)的意義.

（3）對于變量“用電量x”的每一個值，變量“應繳電費y”都有唯一的值與之對應，應繳電費y是用電量x的函數(shù)，你認為這是幾個函數(shù)？

師生活動：對于第（1）小題，學生發(fā)現(xiàn)電價有三種，分別為0.488 3元、0.538 3元和0.788 3元.

對于第（3）小題，學生提出不同意見.有的學生認為是一個函數(shù)，有的學生認為是三個函數(shù).教師引導學生從函數(shù)的“變量說”概念視角思考問題：這是幾個變化過程？符合兩個變量x和y嗎？符合對于變量x的每一個值變量y都有唯一確定的值與之對應嗎？學生在這樣的引導下發(fā)現(xiàn)，這是一個函數(shù)，刻畫了一個完整的變量關(guān)系和規(guī)律，只是變量在不同取值范圍內(nèi)有不同的對應關(guān)系.教師說明，形如上述的函數(shù)，一般叫作分段函數(shù).

【設計意圖】在實際生活情境中，用問題引領(lǐng)學生了解引入分段函數(shù)的必要性，并感受分段函數(shù)在實際問題中的作用和意義.

追問1：能用集合和對應關(guān)系描述這一函數(shù)嗎？

追問2：集合B5唯一嗎？還能取什么？你能作出此函數(shù)的圖象嗎？

師生活動：結(jié)合前述數(shù)集B的特征，學生發(fā)現(xiàn)B5并不唯一，還可以取R等不同數(shù)集.同時，學生自主完成如圖5所示的函數(shù)圖象.

【設計意圖】對分段函數(shù)的理解是本單元教學中的一個難點.這是學生第一次遇到此類函數(shù).通過情境與問題啟發(fā)學生從函數(shù)的“變量說”定義出發(fā)，領(lǐng)悟到分段函數(shù)是一個完整的函數(shù)，進而再用集合和對應關(guān)系描述這個函數(shù)，加深學生對分段函數(shù)是一個完整函數(shù)的理解.最后讓學生自己動手作出分段函數(shù)的圖象，從直觀角度再次深化對分段函數(shù)整體性的認識.

環(huán)節(jié)7：課堂小結(jié).

帶著下述問題回顧本節(jié)課的學習過程.

（1）本章的主要學習內(nèi)容是什么？主要采用何種觀點學習？

（2）生活中變量間的依賴關(guān)系和變量間的函數(shù)關(guān)系有何區(qū)別與聯(lián)系？

（3）“變量說”的函數(shù)概念在描述兩個具有依賴關(guān)系的變量是函數(shù)關(guān)系時有何局限性？怎樣進行更準確、更簡潔的描述？

（4）函數(shù)的對應關(guān)系有何特征？在學習過程中，你遇到了幾種對應關(guān)系的表示方式？用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)時，集合B唯一嗎？

（5）分段函數(shù)是幾個函數(shù)的組合嗎？試想如果沒有分段函數(shù)，能表述清楚情境6中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系嗎？

師生活動：結(jié)合本節(jié)課的學習經(jīng)歷，讓學生自主表達對上述問題的認識，教師適時給予正面、積極的評價并規(guī)范表達方式.

【設計意圖】教師的“教”和學生的“學”靠問題連接.借助問題，轉(zhuǎn)教師總結(jié)為學生總結(jié)、轉(zhuǎn)直接傳授為引導、轉(zhuǎn)明示為暗示，收獲“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的效果.

五、教學設計說明

1.基于內(nèi)容本質(zhì)和學生認知規(guī)律創(chuàng)設情境與問題

在課堂教學中，只有基于學習內(nèi)容的學科本質(zhì)創(chuàng)設符合學生認知基礎和需求、指向明確、內(nèi)涵確切的情境和問題，才能促使學生進行高水平的探究活動.函數(shù)是數(shù)學的核心概念之一，更是貫穿初、高中數(shù)學的一條主線.函數(shù)概念的抽象性和復雜性決定了其是中學數(shù)學教學中最難教和最難學的概念之一.這使得本節(jié)課問題和情境的設置極具挑戰(zhàn)性.北師大版教材為教師的教學指引了明確的方向.在尊重教材、尊重學生對“變量說”函數(shù)概念初步認識的基礎上，結(jié)合生活情境、數(shù)學情境和科學情境中變量之間的依賴關(guān)系提出問題，引導學生在問題中重新審視“變量說”的函數(shù)概念，是本課時教學情境和問題設置的基本方向.

在本節(jié)課的教學過程中，教師共創(chuàng)設6個情境、10個問題及相關(guān)追問.這些情境和問題環(huán)環(huán)相扣、依次遞進，以學生認知沖突和需求為線索，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，形成一系列循序漸進、具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的情境和問題串，助力學生認識變量之間的依賴關(guān)系，在深化對函數(shù)“變量說”概念的理解的同時，也為下一課時學習函數(shù)的概念及后續(xù)學習函數(shù)的表示法作了充分的準備.情境1以儲油罐中的相關(guān)量為研究對象，讓學生感受生活中的變量間的依賴關(guān)系，并從數(shù)學視角探討對應的方法是“一對一”還是“一對多”.情境2以我國高鐵年運營里程變化為背景，激活學生初中階段學習過的“變量說”函數(shù)概念.并從這個概念出發(fā)，幫助學生理解生活中的變量關(guān)系.情境3讓學生感受到“變量說”函數(shù)概念在描述生活中變量間的特殊依賴關(guān)系時存在局限性，激發(fā)學生的認知需求，并引導學生嘗試用集合和對應關(guān)系的話語方式描述相應的函數(shù)關(guān)系.情境4和情境5讓學生進一步熟悉用集合與對應關(guān)系描述函數(shù)的方法，展示列表、圖象表示對應關(guān)系的實例，在讓學生感受到函數(shù)表示方法的多樣性的同時，為在后續(xù)課程中抽象出符號f（x）作充分的認知準備.

2.引領(lǐng)學生進行多樣化的學習活動，促進教學方式和學習方式的改革

《標準》建議教師把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化的教學方式.不僅限于講授和練習，也包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等.因為學生在初中階段已經(jīng)獲得了函數(shù)“變量說”概念的內(nèi)涵，并掌握了研究諸如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的知識和技能.因此，本教學設計在每個問題之后，都注重讓學生先獨立思考再展開小組合作交流，然后教師在學生充分交流的基礎上進行點評、歸納和總結(jié).在具體活動中，既有師生之間的交流和互動，又有生生之間的問答；既有閱讀自學，學生陳述、板演、小結(jié)，又有教師的點撥與概括.多樣化的活動形式使得學生能夠充分參與到課堂教學中，真正成為學習的主人.

教學方式改革是育人方式改革的具體化，只有充分信任學生，給學生提供充分的時間和空間，引領(lǐng)學生開展多樣化的數(shù)學學習活動，動手操作、觀察對比、深入思考，學生才能在主動參與的學習過程中獲得“四基”、提高“四能”，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展才能真正落到實處.

3.站在單元整體視角設計課時教學

整體性是單元教學設計的突出特征.本課時的教學設計始終站在整體視角設計各個環(huán)節(jié)的教學活動.內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標和目標解析、教學問題診斷均從單元視角對教學內(nèi)容進行理解和分析，在單元構(gòu)建的基礎上，提出課時教學內(nèi)容、課時教學目標、課時教學重點和課時教學難點.在課時教學的具體實施中，諸如用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)的必要性和簡潔性，用列表法、解析法、圖象法表述函數(shù)，分段函數(shù)的實際意義等內(nèi)容，并沒有拘于課時教學要求，而是把每個環(huán)節(jié)的設計均納入整個單元教學規(guī)劃來考慮.基于這種整體性視角組織教學，有利于優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)，促使學生對知識的掌握更加深入、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)化.

關(guān)注課時教學的層序性.站在單元整體視角設計課時教學既要關(guān)注單元內(nèi)每個課時之間的關(guān)聯(lián)，還要關(guān)注單元與單元之間的邏輯.教師應該以學生的認知基礎、認知需求和認知可能為依據(jù)，由淺入深、由易到難、由表及里、由具體到抽象，設置教學梯度.本課時是章起始課，教學設計中先通過章引言和章頭圖的學習讓學生對整章內(nèi)容有了結(jié)構(gòu)性的認識，進而通過大量的情境和問題，激活學生已有的“變量說”函數(shù)概念知識，體會“變量說”函數(shù)概念的“有所不能”，嘗試用集合和對應關(guān)系描述函數(shù)，并體會其精確性和簡潔性，在實際問題中感受分段函數(shù)的意義.這些活動和認識既是本課時的教學任務和要求，又是下一個課時教學的結(jié)點和生長點.從單元視角來看，教學活動各個環(huán)節(jié)逐層遞進，呈階梯式上升.

從單元整體視角設計教學應該遵循以學生為本的理念.首先，知識的整體性構(gòu)建應該符合學生的認知規(guī)律.以“函數(shù)”概念為例，本教學設計沒有嚴格遵循北師大版教材在第2課時直接給出概念的安排，而是從第1課時開始設置情境，讓學生在認知上產(chǎn)生沖突和需求，初步感受用集合和對應關(guān)系話語方式描述函數(shù)的可能性和可行性.有了這樣的認知萌芽，下一課時函數(shù)的“對應說”概念的生成水到渠成.其次，“四基”“四能”“核心素養(yǎng)”的落實要符合學生的發(fā)展規(guī)律.數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，核心素養(yǎng)水平的達成最終要落實到學生身上.教學應該遵循學生素養(yǎng)發(fā)展的階段性、連續(xù)性和整體性特點.既要關(guān)注每一課時的教學目標，更要關(guān)注主題、單元教學目標，明確這些目標對實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻，從而把課時的、單元的、主題的全部教學活動聚焦于以生為本.

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