黃東娜

摘要：新課改下，數(shù)學(xué)學(xué)科提倡大單元教學(xué)，大單元教學(xué)能很好地整合學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是連貫和連續(xù)的.文章基于“為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考”的設(shè)計思想，基于數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的邏輯與發(fā)展，延續(xù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的研究思路與路徑，探索圓與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)——由定性描述到定量刻畫，對“圓與圓的位置關(guān)系”進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計和教學(xué)反思.

關(guān)鍵詞：圓與圓的位置關(guān)系；邏輯連貫；定性描述；定量刻畫

章建躍博士指出，在課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考.基于這樣的設(shè)計思想，對“圓與圓的位置關(guān)系”一課作了如下的教學(xué)設(shè)計.

一、教學(xué)分析

1.教材分析

從數(shù)學(xué)內(nèi)部知識發(fā)展形成的順序結(jié)構(gòu)和邏輯層面來看，“圓與圓的位置關(guān)系”是在研究“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”和“直線與圓的位置關(guān)系”后自然而然提出的研究課題.在研究思路上，“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”和“直線與圓的位置關(guān)系”的研究已經(jīng)奠定了可以一以貫之的思想方法，即問題研究的手段和思維方式是一脈相承的.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對于這部分的要求如下：能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，即通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.

“圓與圓的位置關(guān)系”屬于解析幾何的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)中，我們要充分發(fā)揮解析幾何圖形的直觀功能，從而較為容易地得到對位置關(guān)系的定性描述.而解析作為手段，強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法與代數(shù)運(yùn)算，能使得對問題的研究實(shí)現(xiàn)從定性到定量的升華.在定量研究中，思路有二：第一，基于圓的方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，將圓與圓的交點(diǎn)的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個數(shù)問題，屬于完全代數(shù)方法.然而，該方法只能準(zhǔn)確判斷兩圓相交的情況，對于兩圓外切、內(nèi)切，或者外離、內(nèi)含，則無法精準(zhǔn)判斷，存在局限性.第二，與確定圓的幾何要素（圓心、半徑）相聯(lián)系，借助半徑與距離（點(diǎn)到圓心的距離、直線到圓心的距離）的大小比較，獲得定量刻畫.具體是結(jié)合定性刻畫的過程，借助圓心距及兩圓半徑的和（差）的大小比較，把定性刻畫轉(zhuǎn)化為數(shù)量表示，從而得到相應(yīng)的定量刻畫表達(dá)式，并且每一種數(shù)量關(guān)系（不等式）都對應(yīng)了唯一的位置關(guān)系，如此定量刻畫是更為精細(xì)、更加準(zhǔn)確的.

2.問題解決的一般路徑

對于圓與圓的位置關(guān)系，相關(guān)問題解決的一般路徑如圖1所示.

二、教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，梳理脈絡(luò).

問題1：前面我們研究過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系.在與圓相關(guān)的位置關(guān)系中，還可以研究什么？

問題2：既然都是研究“與圓相關(guān)的位置關(guān)系”，在研究的過程和方法上一定有可借鑒之處，你能回憶一下我們是如何研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的嗎？

問題3：我們可以怎樣研究圓與圓的位置關(guān)系？

師生活動：學(xué)生回顧已學(xué)知識并表達(dá)自己的想法，相互交流、補(bǔ)充，教師進(jìn)行點(diǎn)評，并展示知識框圖，如圖2所示.

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)的目的在于喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，通過提問聚焦對知識框架體系的記憶與鞏固.基于已學(xué)內(nèi)容，指向從數(shù)學(xué)知識的發(fā)展與邏輯角度教會學(xué)生如何提出問題，按照怎樣的線索、用什么方法研究問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題和分析問題的能力.

環(huán)節(jié)2：構(gòu)建過程，展開探索.

問題4：觀察幾何畫板軟件的動畫演示（略），描述在運(yùn)動過程中兩個圓的交點(diǎn)個數(shù)的變化情況，以及對應(yīng)圓的位置關(guān)系，填寫表1.

師生活動：教師利用幾何畫板軟件演示動畫，學(xué)生觀察并根據(jù)教師提出的問題完成表1.

【設(shè)計意圖】通過幾何畫板軟件演示發(fā)揮圖形幾何直觀的功能，讓學(xué)生學(xué)會看圖思考、看圖說話，從圖形中發(fā)現(xiàn)幾何圖形的位置關(guān)系，并進(jìn)行定性描述.

例1已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.

問題5：我們知道，直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)對應(yīng)的代數(shù)形式就是聯(lián)立的方程組的實(shí)數(shù)解的個數(shù).同樣地，兩個圓的位置關(guān)系也是由它們公共點(diǎn)的個數(shù)確定的，而它們有幾個公共點(diǎn)又由它們的方程構(gòu)成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定.試基于這個角度給出例1的運(yùn)算求解過程，并得出結(jié)論.

追問1：畫出圓C1、圓C2，以及過兩圓交點(diǎn)的直線AB，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明原因嗎？

追問2：上述解法中，如果通過兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的判別式為0，說明什么？能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)切還是外切嗎？當(dāng)Δ<0時，兩圓的位置關(guān)系是怎樣的？完成表2.

師生活動：學(xué)生思考后獨(dú)立完成表2的填寫，教師展示學(xué)生的答案并點(diǎn)評.教師繼續(xù)提出問題，學(xué)生思考、交流后發(fā)表自己的見解，教師予以補(bǔ)充完善，達(dá)成共識，完善表2.

【設(shè)計意圖】從方程的視角引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)運(yùn)算求解方程組，以此來判斷圓與圓的位置關(guān)系，這與直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是一致的.兩圓相交后，引導(dǎo)學(xué)生從直線的方程以及方程的直線的角度認(rèn)識、理解公共弦所在的直線方程，實(shí)現(xiàn)了對位置關(guān)系由定性描述到定量刻畫的轉(zhuǎn)變.然而，通過方程的解的個數(shù)判斷圓的位置關(guān)系不夠精確，對外切與內(nèi)切、外離與內(nèi)含無法進(jìn)一步區(qū)分，具有一定的局限性，也預(yù)示著另辟蹊徑勢在必行.

問題6：通過幾何畫板軟件的演示，我們可以看到在兩圓由外離到內(nèi)含的變化過程中，交點(diǎn)的個數(shù)在變化.除此之外，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個圓越來越近，試問如何刻畫“近”？

問題7：在定量刻畫點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系時，我們用了怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題8：事實(shí)上，對于點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的定量刻畫，我們將“近”與確定圓的幾何要素（圓心、半徑）相聯(lián)系，借助半徑與距離（點(diǎn)與圓心的距離、直線到圓心的距離）的大小比較，獲得定量刻畫.試借助上述思想，探索“近”的數(shù)量表示.

追問1：你認(rèn)為先研究哪幾種位置關(guān)系的定量刻畫比較容易？

追問2：對于難以理解的位置關(guān)系的定量刻畫，我們可以從哪些角度進(jìn)行更好的理解？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖形，并思考教師提出的問題.學(xué)生獨(dú)立思考，并表達(dá)自己的想法，相互交流、補(bǔ)充，教師進(jìn)行點(diǎn)評，并達(dá)成共識，完成表3.

【設(shè)計意圖】通過圖形直觀，兩圓的交點(diǎn)個數(shù)可以與“近”相關(guān)，而對于“近”，則可以通過距離來刻畫，即與確定圓的幾何要素（圓心和半徑）相聯(lián)系，借助半徑與距離的大小比較進(jìn)行定量刻畫，把定性描述轉(zhuǎn)化為數(shù)量表示，從而得到相應(yīng)的定量刻畫表達(dá)式，并且表達(dá)式與位置關(guān)系是一一對應(yīng)的，讓學(xué)生感受到通過距離來刻畫圓與圓的位置關(guān)系是更加精細(xì)、更為準(zhǔn)確的.對于相交和內(nèi)含這兩種位置關(guān)系，則可以引導(dǎo)學(xué)生利用極端位置，采用先易后難的策略，先解決對外切和內(nèi)切這兩種位置關(guān)系的定量刻畫，再對其進(jìn)行突破.當(dāng)然，對于相交的數(shù)量表示，也可以通過構(gòu)成三角形時三條邊所滿足的條件來認(rèn)識.

問題9：試用圓心距與半徑的關(guān)系給出例1的另一種解法.

追問：比較例1的兩種解法，說一說各自的優(yōu)勢.

師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，教師展示答案，學(xué)生校對后，回答教師提出的問題.

【設(shè)計意圖】通過運(yùn)算熟悉新的定量刻畫方法，并與之前的解法進(jìn)行對比，讓學(xué)生感受兩種解法各自的優(yōu)勢：方程視角下的定量運(yùn)算總體上運(yùn)算量較大，因為涉及二次方程的消元運(yùn)算，對位置關(guān)系的準(zhǔn)確判斷只限于兩圓相交的情況，但在相交的前提下，容易獲得公共弦的直線方程，進(jìn)而可以求解與公共弦相關(guān)的量；通過圓心距與半徑的和（差）的大小比較，運(yùn)算量相對較小，而且能夠精準(zhǔn)判斷圓與圓的位置關(guān)系，但在相交的情形下無法直接求解公共弦的直線方程，需要通過方程運(yùn)算獲得公共弦的直線方程.對兩種解法進(jìn)行對比分析后，學(xué)生能夠在面對具體問題情境時作出合適方法的選擇，優(yōu)化答題策略.

環(huán)節(jié)3：練習(xí)鞏固，強(qiáng)化理解.

例2已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2-8x-6y+16=0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.

例3已知圓C1：x2+y2+2x+3y+1=0，圓C2：x2+y2+4x+3y+2=0 .

（1）證明圓C1與圓C2相交；

（2）求圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程.

思考：你會采用什么方法確定例2和例3中兩圓的位置關(guān)系？說明你選擇的理由并給出解答過程.

師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，完成后展示，教師點(diǎn)評.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在熟悉解題過程的同時，更加熟練地針對問題的設(shè)置及條件中方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征選擇更加適合的方法，優(yōu)化解題策略.面對條件與結(jié)論之間明確的邏輯，先確定問題解決的“大思路”，再關(guān)注“小細(xì)節(jié)”.

環(huán)節(jié)4：小結(jié)提升，形成體系.

問題10：本節(jié)課我們研究了什么問題？是按照怎樣的路徑展開研究的？獲得了哪些知識？

師生活動：學(xué)生思考、發(fā)言，教師補(bǔ)充，達(dá)成共識，即學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，并探索了判斷圓與圓位置關(guān)系的方法.隨后展示問題學(xué)習(xí)路徑，如圖3所示.

【設(shè)計意圖】從整體上把握知識內(nèi)容，形成知識體系框架，以及問題解決的思維方式.

環(huán)節(jié)5：布置作業(yè)，夯實(shí)鞏固.

師生活動：限時訓(xùn)練，學(xué)生獨(dú)立完成，教師進(jìn)行批改.

【設(shè)計意圖】通過限時訓(xùn)練，鞏固本節(jié)課所學(xué).

三、教學(xué)反思

1.注重知識聯(lián)系，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系是研究圓與圓的位置關(guān)系的知識基礎(chǔ)，這兩種位置關(guān)系的研究手段和思維方式與圓與圓的位置關(guān)系的研究是一脈相承的.在教學(xué)過程中，教師要注重強(qiáng)化新、舊知識之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用已有的知識和方法研究圓與圓的位置關(guān)系，這不僅有利于本節(jié)課的教學(xué)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生連續(xù)學(xué)習(xí)和思考的品質(zhì).

2.注重信息技術(shù)的應(yīng)用，促進(jìn)課堂的良好生成

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，筆者注重對信息技術(shù)的運(yùn)用，利用幾何畫板軟件展示圓與圓的位置關(guān)系，通過幾何圖形的直觀性，讓學(xué)生更好地感悟所學(xué)知識.信息技術(shù)的適當(dāng)運(yùn)用，讓課堂學(xué)習(xí)更加有趣和有效.

3.注重突出教學(xué)重點(diǎn)，完美突破教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是對圓與圓之間的5種位置關(guān)系的定性分析和定量刻畫.其中，對相交和內(nèi)含兩種位置關(guān)系的定量刻畫是難點(diǎn).在教學(xué)中，采用先易后難的策略，較好地化解了這一教學(xué)難點(diǎn).

4.注重練習(xí)質(zhì)量，檢驗鞏固學(xué)習(xí)效果

例題和習(xí)題，貴精不貴多.本節(jié)課的選題非常有代表性，通過例1，讓學(xué)生從代數(shù)角度定性判斷圓與圓的位置關(guān)系；通過例2和例3，讓學(xué)生學(xué)會基于問題的設(shè)置及條件中方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征選擇更加適合的解法，優(yōu)化解題策略.這3道例題有利于學(xué)生更好地掌握圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識及其應(yīng)用.

四、結(jié)束語

前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使得學(xué)到的數(shù)學(xué)知識不再是零散、孤立的.這種學(xué)習(xí)過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生連續(xù)思考和學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加有方法和規(guī)律可循，使得學(xué)生更加專注于數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生可以更好地思考問題、解決問題，達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果.而這恰恰與新高考對學(xué)生的能力要求和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求是相匹配的.相信在廣大教師的共同努力下，教學(xué)的過程會越來越連貫，學(xué)生的思考和學(xué)習(xí)也會越來越連續(xù)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也會越來越輕松.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J].數(shù)學(xué)通報，2013，52（6）：5-8，封底.