吳瑋　張姝

摘 要：GeoGebra軟件易操作、高精度、交互性、易分享的特征，使其成為高效開展數(shù)學實驗教學的重要工具。借助GeoGebra開展數(shù)學實驗教學，要具體制作實驗工具，動態(tài)演示圖形變化，具象表示抽象符號，顯化數(shù)學探究過程。同時，要注意平衡工具支持和自主探索的關系以及模擬實驗與真實實驗的關系。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學實驗；GeoGebra

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度重點課題“智能學習環(huán)境下小學數(shù)學實驗教學研究”（編號：B/2022/03/62）的階段性研究成果。數(shù)學實驗教學是指為了獲得數(shù)學知識，驗證數(shù)學猜想，解決數(shù)學問題，讓學生運用一定的方法和手段、工具和載體，在實驗目的的引領下，進行規(guī)范的實驗操作，并幫助學生通過數(shù)學化分析，建構數(shù)學意義，發(fā)展數(shù)學思維，培育創(chuàng)新意識的活動。［1］《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“教學建議”中明確提出：“利用數(shù)學專用軟件等教學工具開展數(shù)學實驗，將抽象的數(shù)學知識直觀化，促進學生對數(shù)學概念的理解和數(shù)學知識的建構?！保?］在小學數(shù)學教學中，筆者常常利用GeoGebra這一數(shù)學專用軟件開展數(shù)學實驗教學。

一、GeoGebra軟件的特征

GeoGebra是將幾何、代數(shù)、表格、作圖、統(tǒng)計、微積分等以直觀易用的方式集于一體，進行動態(tài)演示的一種交互式數(shù)學軟件。相較于常規(guī)的實物學具以及類似的幾何畫板軟件，GeoGebra軟件的以下特征使其成為高效開展數(shù)學實驗教學的重要工具。

（一）易操作

數(shù)學實驗的重要價值在于讓學生在“做中學”，便于學生操作的實驗工具是數(shù)學實驗教學的基本條件。與其他交互式數(shù)學軟件相同，GeoGebra可以便捷地使用工具繪制各種圖形，并且繪制的圖形蘊含清晰的數(shù)學關系。例如，經過合理的設置，拖動線段時可以只發(fā)生平移、旋轉的操作，而不改變線段的長度（模擬小棒）。此外，通過設置，可以控制界面在操作時是否會發(fā)生移動、縮放，從而避免學生的誤操作。這些特點使得GeoGebra能夠保障數(shù)學實驗教學過程中學生操作的便捷性。

（二）高精度

實證性是數(shù)學實驗的重要價值，高精度的實驗工具會讓實驗操作更加規(guī)范。GeoGebra具有高精度的天然優(yōu)勢，具體體現(xiàn)在操作的高精度、測量的高精度與運算的高精度。例如，利用GeoGebra拖動圖形時，可以設置平移模式是“自由移動”還是“固定網格”，后者可以實現(xiàn)圖形的精準對齊；繪制圖形時，可以通過測量功能直接標示有關的長度、角度、面積等，改變圖形時，也會實時反饋測量數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)加工方面，可以直接采用測量的數(shù)據(jù)通過編制的公式得到運算的結果，從而避免收集大量實驗數(shù)據(jù)加工時帶來的誤差或錯誤。

（三）交互性

GeoGebra具備豐富的指令庫，設置之后可以點擊按鈕執(zhí)行或自動執(zhí)行。例如，可以通過“滑動條”“輸入框”等輸入?yún)?shù)，再點擊按鈕執(zhí)行指令繪制圖形；也可通過指令實現(xiàn)分割、合并、比較等操作。合理運用指令，能夠拓展實驗工具的交互方式，使得實驗工具可以為學生點撥實驗過程中可能存在的問題，幫助學生通過實驗建立數(shù)學化的分析。廣泛研究表明，小學數(shù)學教學中，交互工具的運用有利于學生自主學習、探究學習和合作學習，在培養(yǎng)學生的思維能力和實踐能力方面發(fā)揮著積極的作用。［3］

（四）易分享

相較于幾何畫板，GeoGebra具有免費開源、全平臺的特征，使其無須下載軟件，可直接通過網頁打開。用其制作的具體實驗工具還可以方便地發(fā)布為網頁格式，通過鏈接或二維碼等方式方便地推送到學生的終端，讓每個學生都可以獨立嘗試、互不干擾，極大地簡化了數(shù)學實驗教學之前的準備工作和之后的整理工作，促進了數(shù)學實驗教學的常態(tài)實施。這一特點也使得GeoGebra不同于幾何畫板多用于教師的課件演示，成為學生看得見、摸得著、促思考的數(shù)學實驗工具。

二、利用GeoGebra開展數(shù)學實驗教學的實踐探索

（一）具體制作實驗工具

雖然GeoGebra易操作，但是為了提高數(shù)學實驗教學的效率，教師通常還是要針對具體實驗的需求，制作相應的實驗工具（特別是對于那些比較復雜的操作對象，應該事先完成制作），從而免去學生不必要的思考與操作，使得學生可以簡單地掃碼打開實驗工具（包括一鍵重置初始狀態(tài)），符合直覺地操作實驗工具（包括軟件自動測量數(shù)據(jù)、加工數(shù)據(jù)、提示操作規(guī)范性等），更加清晰地觀察實驗結果（包括局部縮放、三維視角旋轉等）。

例如小學階段常用的數(shù)學實驗工具釘子板，學生的操作、判斷容易受到皮筋的彈性、粗細和釘子板的大小等因素的影響。如果使用打印的點陣圖，則所畫的圖形不能調整，只能重畫，還可能因為學生作圖能力的差異，影響實驗探究。利用GeoGebra制作的“釘子板”工具很好地解決了上述問題。其打開后的界面主體是一個點陣圖，周邊有一些工具與按鈕。其中，“多邊形”工具（圖標為）可以方便地繪制圖形，“拖動”工具（圖標為）可以調整圖形的形狀和位置，“面積”工具（圖標為）可以快速測量得到面積，“移動視圖”工具（圖標為）和“縮放”按鈕（圖標為）方便觀察圖形，“刪除”工具（圖標為）以及“重置”按鈕（圖標為）可以清除圖形。由此，學生圍出圖形、調整圖形、計算面積等的過程都得到了優(yōu)化。還可以根據(jù)實驗需要增減工具或添加預設圖形，如低年級學生使用時可以隱藏“面積”工具，保證了實驗工具在具有普適性的同時還具有一定的針對性。

不僅如此，智能化的“釘子板”工具還創(chuàng)造了更多的實驗驗證方式。教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊《釘子板上的多邊形》一課，利用工具實時測量面積的特點，可以先標示圖形的面積，再通過拖動點來改變圖形的形狀（如圖1所示），從而發(fā)現(xiàn)邊上釘子數(shù)不變，圖形內釘子數(shù)每多1，面積就增加1 cm2。

（二）動態(tài)演示圖形變化

除了精準繪制圖形，動態(tài)演示圖形的變化是GeoGebra處理幾何對象的重大優(yōu)勢（可以達到實物操作很難達到的靈活、精細效果）。這不是簡單地播放動畫，而是交互下的“動靜結合”。在數(shù)學實驗教學中，教師可以讓學生自主操作利用GeoGebra制作的實驗工具，調節(jié)其中圖形的動靜狀態(tài)，借助圖形的變化，多角度、全方位地觀察圖形的特征，幫助學生建立豐富的直觀表象，認識重要的幾何概念，發(fā)展空間觀念。

例如，教學蘇教版小學數(shù)學六年級上冊《長、正方體的展開圖》一課，利用GeoGebra制作的實驗工具，讓學生可以在拖動滑動條的過程中觀察正方體六個面展開的全過程，也可以隨時暫停觀察展開過程中的狀態(tài)，還可以在反復操作中觀察每個面的連接關系，發(fā)現(xiàn)其在展開圖中的位置（如圖2所示）。

（三）具象表示抽象符號

相比于空間形式，數(shù)量關系更具有一般性（空間形式中也有數(shù)量關系），更體現(xiàn)數(shù)學的本質。數(shù)量是對現(xiàn)實生活中事物量的抽象，數(shù)是對數(shù)量的進一步抽象。［4］抽象的數(shù)量及數(shù)通常用符號來表示，即形式化。這種抽象性與形式化因為不可感，給數(shù)學學習（特別是兒童的數(shù)學學習）帶來了很大的困難。數(shù)學實驗通過將形式抽象的符號用直觀具象的

事物表示，使其可感，幫助學生借助操作與觀察，理解、發(fā)現(xiàn)其表示或蘊含的數(shù)量關系。而利用GeoGebra可以方便、快捷地將數(shù)用形表示，實現(xiàn)數(shù)學實驗的功能。對此，教師在數(shù)學實驗教學中也應該多加利用。

例如，教學“連續(xù)奇數(shù)求和”的問題時，可以引導學生利用GeoGebra進行實驗探究。先研究1+3+5+7，引導學生通過按一定的方式擺數(shù)，發(fā)現(xiàn)可用“正方形”對這一算式進行表征（如圖3所示），從而形成1+3+5+7=4×4的直觀認識。再依次增加從1開始連續(xù)奇數(shù)的個數(shù)，讓GeoGebra按照規(guī)律自動擺數(shù)（如圖4所示）。學生經歷觀察、比較、推理的過程，不難發(fā)現(xiàn)：從1開始連續(xù)奇數(shù)的個數(shù)即為該“正方形”的邊長，從1開始連續(xù)奇數(shù)的和則為該“正方形”的面積。

（四）顯化數(shù)學探究過程

理解數(shù)學知識不僅要知其然，而且要知其所以然，關鍵是要經歷數(shù)學知識的探究發(fā)現(xiàn)過程。數(shù)學實驗是數(shù)學探究的重要方式，可以顯化內隱的數(shù)學思維，讓學生借助直觀感知，通過分析比較，提煉數(shù)學本質。而GeoGebra可以更好地顯化數(shù)學探究過程：一是操作容易留痕，可以對比呈現(xiàn)操作前后的變化；二是數(shù)據(jù)容易采集，可以精確分析定量的數(shù)學結論；三是案例更為全面、多樣，使得歸納提煉更為容易，所得結論也更有力。

例如，教學蘇教版小學數(shù)學六年級下冊《面積的變化》一課，研究將長方形按比例放大后對應邊長比與面積比之間的關系時，可以引導學生利用GeoGebra進行實驗探究：自主繪制圖形并拖動放大，觀察比較放大前后的圖形情況；同時自動呈現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)，分析放大前后的數(shù)量關系。然后，可引導學生對正方形、三角形、圓、梯形等一系列圖形進行實驗探究，從而提煉得到面積比是邊長比的平方的結論。舍棄了畫圖、測量、計算等次要活動，凸顯的探究過程更加清晰、完善，探究結果也就更容易理解。

三、利用GeoGebra開展數(shù)學實驗教學的注意事項

第一，平衡工具支持和自主探索的關系。要避免實驗工具過于強大而擠占學生的探索空間或替代學生的思維過程。利用GeoGebra開展數(shù)學實驗教學時，不妨分階段加入智能化功能：初始階段提供基礎功能，讓學生完整地經歷實驗過程；后續(xù)階段加入智能支持，優(yōu)化實驗操作，幫助學生豐富實證材料。

第二，平衡模擬實驗與真實實驗的關系。要避免模擬實驗濫用而妨礙真實實驗價值的發(fā)揮。例如，“可能性”“球的反彈高度”“大樹有多高”等問題都需要在真實環(huán)境下進行實驗，才能得到可靠的結論。此時，模擬實驗可以作為后續(xù)的補充，在真實實驗的基礎上建立理想模型，提高研究價值。

參考文獻：

［1］ 潘小福，蔣敏杰.常態(tài)化實施小學數(shù)學實驗教學的策略［J］.江蘇教育，2022（41）：7-11.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：89.

［3］ 凌秋虹.基于“交互工具”進行小學數(shù)學探究性學習的思考與實踐［J］.中國電化教育，2011（6）：95-98.

［4］ 史寧中.基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013：1-3.