王梓豪,卞藝杰

(東南大學(xué) 吳健雄學(xué)院,江蘇 南京 211189)

本文旨在通過理論力學(xué)中的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)方程和計(jì)算機(jī)模擬研究螺絲在斜面上下滑時產(chǎn)生的振蕩,并且研究與螺絲振蕩擺角相關(guān)的參數(shù).

1 問題重述

此問題來源于2023年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)課題之一:在斜面上側(cè)放一個螺絲并釋放時,螺絲會沿著斜面向下運(yùn)動,在運(yùn)動過程中,螺絲擺動振蕩可能逐漸增大. 本文主要探究擺角曲線形態(tài),經(jīng)過前期文獻(xiàn)檢索,暫沒有任何相關(guān)文獻(xiàn)解釋此問題.

2 物理建模

2.1 物理模型

基于實(shí)際情形以及物理事實(shí),本文所建立的螺絲及其在斜面上的運(yùn)動的數(shù)學(xué)物理模型如下.

圖1 螺絲受力分析圖

首先,螺絲是一個勻質(zhì)剛體且質(zhì)量為m,并且由兩部分組成,分別是螺桿以及螺帽. 螺桿部分是一個半徑為r、高為L的細(xì)長圓柱體,螺帽部分是一個半徑為R、高為h的扁平圓柱體. 螺絲的質(zhì)心和螺絲根部之間的距離為Lc[1]. 螺絲的3個慣量主軸分別為螺絲的中心對稱軸以及垂直于該中心對稱軸的兩個相互垂直的主軸. 根據(jù)模型的對稱性,螺絲沿除中心對稱軸外的兩個慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量相等,均為I1. 螺絲沿中心對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量為I3. 螺絲在被放置到斜面上時和斜面之間共有兩個接觸點(diǎn),分別位于螺絲根部和螺帽上,即螺桿圓柱體以及螺帽圓柱體的底面的邊緣上,這兩個接觸點(diǎn)與斜面之間存在摩擦力,且兩個接觸點(diǎn)與斜面之間的滑動摩擦系數(shù)分別為μ1、μ2.

螺絲在斜面上運(yùn)動時的受力情況較為簡單,本文將螺絲所受的力正交分解到垂直斜面(z軸)以及沿斜面(x軸)兩個方向上. 螺絲所受的外力有:

1) 螺絲所受的重力mg,等效作用點(diǎn)在螺絲質(zhì)心上,方向垂直地面向下,可以分解為平行斜面向下的mgsinα以及垂直斜面向下的mgcosα,其中α為斜面傾斜的角度;

2) 螺絲所受的斜面的支持力N1、N2,作用點(diǎn)分別位于螺絲和斜面的兩個接觸點(diǎn)上,方向均垂直斜面向上,由于螺絲在垂直斜面方向上處于平衡狀態(tài),所以螺絲與斜面之間兩個接觸點(diǎn)處的支持力和重力在這一方向上的分量達(dá)到三力平衡,總體上來看既不產(chǎn)生合力,又不產(chǎn)生力矩,同時通過三者相互平行的性質(zhì)也能夠推出

(1)

(2)

其中l(wèi)1、l2分別是質(zhì)心到兩個支持力的距離,根據(jù)幾何關(guān)系可得

(3)

(4)

3) 螺絲所受的斜面的摩擦力f1、f2,作用點(diǎn)分別位于螺絲和斜面的兩個接觸點(diǎn)上,在摩擦力表現(xiàn)為滑動摩擦?xí)r,方向與接觸點(diǎn)相對于斜面的速度方向相反;在摩擦力表現(xiàn)為靜摩擦?xí)r方向不能通過力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)簡單確定[1],但本文重點(diǎn)研究的是螺絲下滑中產(chǎn)生的越來越大的振蕩,幾乎不涉及對瞬態(tài)靜摩擦力的討論分析,所以為了簡化問題,在之后的分析中會盡可能避免對靜摩擦力的討論,在沒有特殊說明時,后文所說的摩擦力均指的是滑動摩擦力.

2.2 運(yùn)動建模

螺絲繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動可以通過歐拉運(yùn)動學(xué)方程以及歐拉動力學(xué)方程來描述[2],由于螺絲的章動角θ固定,并且螺絲具有一定的對稱性(慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量I1=I2),方程可以簡化為

(5)

(6)

(7)

(8)

其中,固著坐標(biāo)系的基坐標(biāo)以及對應(yīng)的由地面坐標(biāo)系到固著坐標(biāo)系的基變換矩陣可以通過三個歐拉角——進(jìn)動角φ、章動角θ以及自轉(zhuǎn)角ψ來表示.

(9)

(10)

(11)

(12)

在地面坐標(biāo)系下,對質(zhì)心產(chǎn)生力矩的力只有螺絲與斜面之間的兩個接觸點(diǎn)處的摩擦力. 兩處摩擦力的大小即為對應(yīng)的動摩擦因數(shù)與正壓力的乘積,它們的方向與接觸點(diǎn)的速度方向相反. 接觸點(diǎn)的速度可以通過螺絲根部速度以及螺絲角速度計(jì)算得出

(13)

(14)

其中,螺絲角速度為

(15)

螺絲根部到兩個接觸點(diǎn)的矢量為

(16)

(17)

得出兩處摩擦力后,通過幾何關(guān)系求出質(zhì)心到兩個接觸點(diǎn)的矢量為

(18)

(19)

所以,地面坐標(biāo)系的力矩即為

(20)

以上的討論分析了螺絲繞質(zhì)心定點(diǎn)轉(zhuǎn)動部分,而螺絲質(zhì)心的平動則可以通過質(zhì)心運(yùn)動定律來描述. 螺絲所受的合外力只有沿斜面向下的下滑力mgsinα以及兩處摩擦力f1、f2,所以螺絲質(zhì)心的運(yùn)動方程為

(21)

其中,ac為質(zhì)心加速度. 通過幾何關(guān)系可得質(zhì)心坐標(biāo)為

(22)

對時間求二階導(dǎo)數(shù)得

(23)

通過以上的分析,本文可以得到螺絲運(yùn)動中的某一時刻的廣義加速度與當(dāng)前廣義坐標(biāo)、廣義速度以及模型參數(shù)之間的方程關(guān)系,進(jìn)而可以用作進(jìn)一步的分析.

3 模擬實(shí)驗(yàn)

3.1 算法說明

本文基本算法流程如圖2所示.

圖2 算法流程圖

結(jié)合上文的理論分析可知,對螺絲運(yùn)動的模擬實(shí)際上是通過某一時刻的廣義坐標(biāo)以及廣義速度求出廣義加速度,再通過當(dāng)前的廣義速度求出下一時刻的廣義坐標(biāo). 通過當(dāng)前的廣義加速度求出下一時刻的廣義速度,如此反復(fù)迭代,便可由初始值求出之后任意時間步長的系統(tǒng)狀態(tài). 本文使用Δt以及N表示時間步長和步長數(shù).

程序的關(guān)鍵初始參數(shù)如表1所示.

表1 程序關(guān)鍵初始參量

3.2 模擬結(jié)果

經(jīng)過模擬得到的螺絲運(yùn)動狀態(tài)的數(shù)值解分別為圖3、圖4.

圖3 螺絲y方向偏移量和時間的關(guān)系

觀察圖3,在模擬時間區(qū)間2 s內(nèi),螺絲的擺角首先從約20°的初始角度經(jīng)過不到1 s的時間完成一個周期的擺動,達(dá)到反方向最大約30°擺角,隨后向反方向擺動,擺過中軸線后擺角逐漸增大,最后在觀察時間末尾增大到約60°. 在2 s完成了將近5/2個周期的擺動,與實(shí)際螺絲下滑情況符合較好.

圖4 螺絲運(yùn)動狀態(tài)圖

觀察圖4上方子圖,相鄰兩點(diǎn)間時間間隔為0.001 s. 隨著時間的推移,螺絲合速度并非一直增大,螺絲并非沿著直線下滑,而是隨著不規(guī)則的曲線下滑,并且偏移量較小.

觀察圖4下方子圖,隨著時間的推移,螺絲尾部y方向偏移也逐漸增大. 而且,螺絲y方向偏移量和螺絲擺動角度成負(fù)相關(guān).

3.3 參數(shù)分析

本文首先研究初始擺動角度改變對螺絲擺動角的影響.

圖5 初始擺動角改變下螺絲擺動角度和時間的關(guān)系

隨著初始擺動角增大,2 s內(nèi)的最大擺角、2 s內(nèi)完成相同次數(shù)擺動所用時間逐漸減小,均成負(fù)相關(guān)關(guān)系. 曲線形態(tài)幾乎相同. 更加值得注意的是,最大擺角并非隨著時間增大,如圖5中“+”線所示.

接著研究根部摩擦系數(shù)改變下擺動角與時間的關(guān)系.

圖6 根部摩擦系數(shù)改變下螺絲擺動角度和時間的關(guān)系

本文建立的模型對根部摩擦系數(shù)較為敏感,曲線形態(tài)統(tǒng)一度低. 2 s內(nèi)最大擺角與根部摩擦系數(shù)的改變無明顯正相關(guān)和負(fù)相關(guān)關(guān)系. 但是2 s內(nèi)完成相同次數(shù)擺動所用的時長與根部摩擦系數(shù)的改變成正相關(guān).

然后研究螺帽摩擦系數(shù)改變下擺動角與時間關(guān)系.

圖7 螺帽摩擦系數(shù)改變下螺絲擺動角度和時間的關(guān)系

同樣的,可以發(fā)現(xiàn)螺帽摩擦系數(shù)改變對曲線形態(tài)影響較大. 隨著螺帽摩擦系數(shù)增大,2 s內(nèi)最大擺角先增大后減小再增大. 更加值得關(guān)注的是,在某些螺帽摩擦系數(shù)下,最大擺角并非隨著時間逐漸增大,比如圖7中“+”線所示.

最后研究斜面傾角改變下擺動角與時間的關(guān)系.

圖8 斜面傾角改變下螺絲擺動角度和時間的關(guān)系

斜面角度從約24°改變到約31°,根據(jù)本文模擬,這是研究擺動螺絲比較適合的角度. 在斜面傾角增大的過程中,可以發(fā)現(xiàn)第一個周期的擺角極值差異微乎其微,但是在隨后的第二個周期的擺動過程中差異增大,這種差異隨著時間有累計(jì)效應(yīng). 2 s內(nèi)最大擺角與斜面傾角成正相關(guān). 2 s內(nèi)完成相同次數(shù)擺動所用的時長與斜面傾角成負(fù)相關(guān). 更加值得注意的是,斜面傾角的取值同樣可能造成最大擺角并非隨著時間逐漸增大,如圖8中“·”線所示.

3.4 現(xiàn)象解釋

對于初始擺動角,當(dāng)初始擺動角增加時,又由于螺絲自旋主要由螺帽摩擦力矩驅(qū)動,因此螺絲自旋速度逐漸加快. 當(dāng)螺絲自旋速度過大時,螺絲的擺動角就變得不易改變,因此出現(xiàn)最大擺角不隨時間增大這一現(xiàn)象,這可以和高速旋轉(zhuǎn)的陀螺不易傾倒作類比. 這一點(diǎn)同樣可以用來解釋斜面傾角增加,最大擺角不隨時間增大的現(xiàn)象.

對于螺帽摩擦系數(shù)和根部摩擦系數(shù),這兩者更加直接地影響螺絲自轉(zhuǎn). 由于質(zhì)心偏向于螺帽一側(cè),所以該側(cè)支持力較螺絲根部支持力更大,而且螺帽半徑大于根部半徑,所以模型對螺帽摩擦系數(shù)比根部摩擦系數(shù)更加敏感.

3.5 經(jīng)驗(yàn)公式

(24)

(25)

在vx與vy相差不很大時,有

(26)

以上過程可以表示為:

當(dāng)T<0.5,

當(dāng)T≥0.5,

T=nΔt

(27)

圖9 經(jīng)驗(yàn)公式圖像

取κ1=9.4,κ2=0.14,κ3=7.2,κ4=1.3,m=1.1可得到圖9,這與圖8中“+”線非常相似.

4 總結(jié)分析

本文主要研究了擺動螺絲擺動角度隨時間的變化規(guī)律,并且重點(diǎn)考慮了初始擺動角度、根部摩擦系數(shù)、螺帽摩擦系數(shù)和斜面傾角對擺角曲線的影響. 在表1的參數(shù)下,根據(jù)模擬結(jié)果,2 s內(nèi)最大擺動角與初始擺角(20°左右)成負(fù)相關(guān),與斜面傾角(28°左右)成正相關(guān),與根部摩擦系數(shù)、螺帽摩擦系數(shù)既不正相關(guān)也不負(fù)相關(guān). 以步長為0.01進(jìn)行研究,模型對初始擺動角、斜面傾角、根部摩擦系數(shù)、螺帽摩擦系數(shù)敏感度依次增加. 主要研究初始擺動角、螺帽摩擦系數(shù)和斜面傾角會對最大擺角的影響是否隨著時間而增大. 只改變其中一個參數(shù),模擬得出2 s內(nèi)能夠使得螺絲最大擺角隨時間增大的條件為:初始擺動角約為0.350 2 rad或螺帽摩擦系數(shù)約為0.108 4或斜面傾角約為0.498 6 rad.

本模型通過設(shè)置初始速度簡化靜摩擦力的影響,同時做到對真實(shí)實(shí)驗(yàn)的最大程度還原,可復(fù)現(xiàn),可拓展性強(qiáng),可用于其他相似系統(tǒng). 本文提出了擺角曲線的經(jīng)驗(yàn)公式,與模擬情況符合較好. 本模型僅研究了外界因素對擺動螺絲振蕩曲線的影響,并未研究不同螺絲的擺動情況. 本模型還應(yīng)進(jìn)一步改進(jìn).

根據(jù)模擬情況,有幾點(diǎn)需要說明. 第一,隨著模擬時間增長,模擬結(jié)果混沌性增強(qiáng),所以本文只研究2 s的變化. 這可能是由于迭代算法造成的誤差累加. 第二,根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn),并非所有螺絲擺角均隨時間增大,有些類型的螺絲擺動規(guī)律混沌,多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能完全不同,即實(shí)現(xiàn)擺角增大的實(shí)驗(yàn)條件較為苛刻. 根據(jù)模擬實(shí)驗(yàn),實(shí)際實(shí)驗(yàn)需要特別注意根部摩擦系數(shù)與螺帽摩擦系數(shù)的選取,即平面材質(zhì)的選取. 第三,經(jīng)過多次實(shí)際實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),本模型適用于螺紋較密,長度適中的合金螺絲.