葛小東 丁永愿 馮潤華

課題信息：本文系安徽省合肥市教育科學(xué)研究一般課題“初中數(shù)學(xué)幾何思維可視化教學(xué)實踐研究”（課題編號：HJG22055）的研究成果之一.

摘要：線段和的最值問題是初中數(shù)學(xué)的難點，為降低難度，許多師生按動點軌跡、式子類型等將該問題分為不同種類，這樣使得問題的研究變得零散，運用物理中的費馬原理和折射定律可使得該類型問題的解決具有統(tǒng)一性.

關(guān)鍵詞：物理光學(xué);最值問題;跨學(xué)科

1 問題提出

線段和的最值問題可以分為以下幾類：將軍飲馬系列，胡不歸系列，阿氏圓系列，費馬點系列等.這些問題主要考查三角函數(shù)、相似三角形、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，滲透了對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等圖形變化，是初中幾何問題中的難點.這幾類問題的解答帶有一定的特殊性，當問題推廣到更一般的情況時又該如何解決呢？

問題? 如圖1，求mPA+nPB的最小值，其中m≠n，且m與n均為正常數(shù).

2 問題解析

該問題可看作加權(quán)將軍飲馬問題，以學(xué)生目前掌握的最值模型是無法解決的.要解決這類問題，我們先了解光的兩大原理.

費馬原理：光在介質(zhì)中傳播總是選擇耗時最少的路徑.該原理也被稱為“最小時間原理”.

折射定律：如圖2，當光線從介質(zhì)1中的點M照射到介質(zhì)Ⅱ中的點N時，sin isin r=V1V2（i，r分別指入射角和折射角，V1，V2分別為光在入射介質(zhì)與折射介質(zhì)中的速度）.

根據(jù)費馬原理和折射定律，可得當sin isin r=V1V2時，t=OMV1+ONV2有最小值.

如圖3，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，mPA+nPB=mPA+nPB′=PA1m+PB′1n，根據(jù)上述光學(xué)知識，在直線l上確定點P，使得sin αsin β=1m1n=nm，即當msin α=nsin β時，mPA+nPB有最小值.

結(jié)論1：如圖3，動點P在直線l上運動時，在直線外有兩定點A，B，過點P作直線l的垂線，當msin α=nsin β時，mPA+nPB有最小值.

特別指出，當α=β時，圖3就是將軍飲馬模型；當α=90°時，圖3就是胡不歸模型.

3 推廣論證

下面將結(jié)論1進行推廣，將動點P的軌跡從直線推廣至圓.

結(jié)論2：如圖4，當動點P在圓O上運動時，在圓外有兩定點A，B，作射線OP，可得當msin α=nsin β時，mPA+nPB有最小值.

下面將該結(jié)論繼續(xù)推廣至加權(quán)費馬點問題：

在△ABC內(nèi)找一點P，使得mPA+nPB+kPC最小.（這里m，n，k均為正常數(shù).）

該問題可以通過旋轉(zhuǎn)、相似來解決，這里方法不再展示.下面主要介紹運用結(jié)論2解決該問題的方法.

由于mPA+nPB+kPC=mPA+nmPB+km＼5PC，[JP3]因此該問題可看作PA的長度固定，研究nmPB+kmPC的最小值.如圖5，以A為圓心，PA為半徑作弧，則根據(jù)結(jié)論2可得，當nk=sin ∠CPDsin ∠BPD時，nmPB+kmPC有最小值.

同理，mPA+nPB+kPC=nmnPA+PB+knPC，可看作PB的長度固定，研究mnPA+knPC的最小值，如圖6，根據(jù)結(jié)論2可得，當mk=sin ∠EPCsin ∠APE時，mnPA+knPC有最小值，即當sin ∠EPC∶sin ∠CPD∶sin ∠BPD=m∶n∶k時，mPA+nPB+kPC有最小值.

結(jié)論3：[JP3]如圖7，在△ABC內(nèi)存在一點P使得sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=m∶n∶k，則mPA+nPB+kPC有最小值.（其中m，n，k均為正常數(shù).）

至此，初中常見的線段和的最值問題均運用光學(xué)定律完成證明.

4 結(jié)論的應(yīng)用

例1? 求y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9的最小值.

解析：設(shè)P（x，0），A（1，－2），B（8，3），則y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9=2PA

+PB=PA0.5+PB1，如圖8.由結(jié)論1可得，當sin αsin β=0.51，即sin β=2sin α，亦即PNPB=2PMPN時，2PA+PB有最小值.

由8－x（8－x）2+9=2（x－1）（x－1）2+4，解得x=2，即當x=2時，2PA+PB的最小值為55.

故所求的最小值為55.

例2? 已知A（4，0），B（0，4），點P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓O上運動，求AP+PB的最小值.

解析：該問題是典型的古堡朝圣問題，如圖9，作射線OP.由結(jié)論2可知，當∠BPM=∠APM時，PA+PB有最小值，此時∠POB=∠POA=45°，可得點P的坐標為

P（1，1），則PA+PB=210.因此AP+PB的最小值為210.

例3? P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，已知△ABC的邊長為4，求PA+2PB+PC的最小值.

解析：根據(jù)結(jié)論3可得，當sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=1∶2∶1時，PA+2PB+PC有最小值.如圖10，由∠BPC=

∠APB=135°，且∠APC=90°，易得AP=CP=22，PB=23－2.

故PA+2PB+PC的最小值為26+22.

5 結(jié)語

5.1 跨學(xué)科提高學(xué)生對知識的理解

本文中提到的折射定律嚴格意義上來說是以費馬原理為依據(jù)，運用求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法論證得來的，但對于初中生來說，求導(dǎo)論證顯然是超綱且困難的，但是將物理結(jié)論運用到數(shù)學(xué)解題中，使得學(xué)生對線段和最值的系列問題有了整體的認識.從數(shù)學(xué)和物理學(xué)的角度來說，物理離開了數(shù)學(xué)幾乎寸步難行，而有時候?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理情景賦予物理意義可輕松解決［1］. 線段和的最值問題也可以運用位能最小原理解決，線段比值問題可以運用杠桿原理解決，等等.跨學(xué)科促使學(xué)生建立學(xué)科間的聯(lián)系，幫助學(xué)生把所學(xué)知識融會貫通，形成對知識的整體性和系統(tǒng)性的認知.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和綜合能力.

5.2 跨學(xué)科促進教師專業(yè)發(fā)展

在新課標的理念下，教師不能僅僅專注于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)和研究，也要加強對數(shù)學(xué)學(xué)科交叉處綜合性較強的知識的理解.跨學(xué)科教學(xué)可以促進教師不斷去學(xué)習(xí)新的知識和新的教學(xué)技能，且能促進學(xué)科之間的交流和碰撞，拓展教師的教學(xué)視野，促進教師自身的專業(yè)發(fā)展和綜合素質(zhì)的不斷提高.

參考文獻：

［1］鄒生書.一個幾何最值的物理證法及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（3）：35-37.