刁琴 石勇國

課題信息：本文系四川省首批一流專業(yè)“數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)建設(shè)點”（YLZY201902），2022年內(nèi)江市教育局高校基礎(chǔ)教育研究專項課題“HPM視角下城鄉(xiāng)初中數(shù)學德育的實踐研究”的研究成果.石勇國系通訊作者.

摘要：幾何問題是中考熱點題型的重難點問題，涉及數(shù)學知識面寬，變量多，圖形復雜.結(jié)合2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學壓軸題的點評，給出教學上的幾點建議.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學；三角形相似；動點；動角

從近年全國各省市中考來看，動態(tài)幾何題已成為中考數(shù)學的熱點題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題，有較好的區(qū)分度，具備探究的功能，有力地考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng).然而這類題難度大，知識點跨度寬，多數(shù)學生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學壓軸題為例，利用歸納、類比、猜想、化歸的數(shù)學思維，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進行求解分析；同時點評了該題的考點、區(qū)分度、命題設(shè)計，并且給出了變式拓展以及教學上的幾點建議.

1 試題求解分析

題目? 在△ABC與△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，且∠CAB=∠CDE=θ，點D始終在線段AB上（不與點A，B重合）.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若θ=45°，分別求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

（2）類比探究：如圖2，若θ=30°，試求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點，當AC=23時，BM的最小值為多少？

本題第（1）（2）問是角∠CAD=θ為變化參數(shù)，當θ分別取為特殊值時，依次發(fā)現(xiàn)△ACD和△BCE全等與相似，求得∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.

第（3）問是固定角∠CAB，動點是D，抓住∠DBE=90°的條件，利用直角三角形中線定理和θ=30°，則問題轉(zhuǎn)化為求CE的最小值，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為在靜態(tài)狀態(tài)下求解.

第（1）問從特殊的值入手，證明三角形全等.根據(jù)等腰直角三角形ABC與三角形CDE的邊角關(guān)系，易證△ACD≌△BCE，進而∠DBE=90°，BEAD=1.

對于第（2）問，利用類比、歸納，發(fā)現(xiàn)不變量.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，判定Rt△ABC∽Rt△DEC，有

BCAC=ECCD=13=33.

根據(jù)相似三角形的判定定理，即兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，確定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ，∠DBE=90°，

以及相似比

BEAD=BCAC=33.

猜想：不管角θ多大，均有△ACD∽△BCE，而且∠DBE是直角.

證明方法類似.

第（3）問利用化歸的方法，轉(zhuǎn)化最值問題進行求解.根據(jù)兩個不變量

△ACD∽△BCE，∠DBE=90°，結(jié)合

M是DE的中點、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°，得到

BM=ME=MD=CE.

所以，求BM的最小值，即求CE的最小值.根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊，可知當CE⊥BE時，CE最小，如圖3.

因為AC=23，θ=30°，于是CE=BM=12BC=1.

2 試題點評

2.1 考點知識面寬，區(qū)分度明顯

試題第（1）問考查了三角形全等的判定.第（2）問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗證.第（3）問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊，以及最值問題.題中附帶的兩圖，包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個三角形，3個四邊形.涉及2個變量，即1個角度變量∠CAD，1個動點D.考點從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形，從角度變化到動點變化，從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明，考點之間有機融合，三個小問區(qū)分度明顯，是一道非常好的幾何壓軸題.

2.2 考題變中有定，動中有靜

該題有兩個變量，同時在變化中也有兩個不變量：一是△ACD∽△BCE；二是∠DBE是直角.

為了分解題目的難度，將變量θ依次取特殊值進行設(shè)問.第（1）問以簡單特殊值入門，讓考生初步嘗試；第（2）問以另外一個特殊值進一步探索，通過類比、歸納、猜想，引導學生發(fā)現(xiàn)上述兩個不變量.第（3）問將變量θ設(shè)置為固定值，以D為動點求最值.通過化歸的方法，將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的靜態(tài)最值問題，最后得到解.

題目設(shè)計以學生為中心，讓學生從考題中享受探索發(fā)現(xiàn)、類比猜想、驗證證明的樂趣.選題動靜結(jié)合，從特殊到一般，在變化之中尋找不變量，在動態(tài)之中尋找最小值.三個小問由易到難、逐步深入，相關(guān)知識點銜接順暢，設(shè)計精巧，是一道適合探索研究的好題.

2.3 考題變化有度，適合變式訓練

本題有兩個變量，因此可以設(shè)計較多的變式拓展的訓練題.例如下面的問題（4）：

（4）若θ=60°，M為DE的中點，當AC=2時，BM的最小值為多少？

另外考慮點D可能在AB的延長線上，可以設(shè)計如下問題（5）：

（5）若θ=60°，且D在直線AB上（不與A，B重合），點M為線段DE的中點.若AC=2，當△BMC為直角三角形時，求BE的長.

分析：分類討論，考慮點D在線段AB上和在其延長線上兩種情形，如圖4，圖5.由△ACD∽△BCE，可得

∠ABE=90°，BE=3AD.

再由直角三角形中線定理，可得

CM=BM=12DE.

由勾股定理，得BM2+CM2=BC2，可知DE=26.設(shè)AD=x，則

BE=3AD=3x，DB=4-x.

在Rt△DBE中，利用勾股定理，得BE=3+3.

另外一種情形，類似可得BE=3-3.

3 教學建議

（1）培養(yǎng)學生邏輯思維與直觀想象能力

針對幾何題，引導學生讀題并且聯(lián)想變化過程、繪制多幅圖展示動態(tài)過程，從題目中提取關(guān)鍵信息，在眾多的三角形中找出全等或相似三角形，利用相似比，根據(jù)三角形重要定理，列出邊角所具有的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的方式，對題目進行雙重表述，鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.

（2）培養(yǎng)學生數(shù)學思維方式

按照數(shù)學的思維方式傳授數(shù)學知識，提升學生的四種數(shù)學思維：從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導學生學會遇到問題時該如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉一反三、變換化簡、反向思考，逐步養(yǎng)成數(shù)學思維方法，能夠用數(shù)學的眼光看問題，了解問題的本質(zhì)，分析出難點，選擇合適的數(shù)學方法，用數(shù)學語言表達求解過程，以此訓練學生的思維方式，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

（3）教學融入德育實踐

對復雜的動點幾何題分析不難發(fā)現(xiàn)，變量在變化過程中常常會出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索，排除動態(tài)變化的干擾，用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，大膽猜測，小心求證.教學中要融入德育實踐，在潤物細無聲中，培養(yǎng)了學生講理、嚴謹?shù)睦硇跃?，鼓勵學生認識與評價數(shù)學，養(yǎng)成正確的理想信念，增強學生的興趣與自信心，培養(yǎng)堅韌不拔、謙虛謹慎與志存高遠的品質(zhì)，以及追求創(chuàng)新的精神.