刁琴 石勇國
課題信息:本文系四川省首批一流專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)建設(shè)點”(YLZY201902),2022年內(nèi)江市教育局高?;A(chǔ)教育研究專項課題“HPM視角下城鄉(xiāng)初中數(shù)學(xué)德育的實踐研究”的研究成果.石勇國系通訊作者.
摘要:幾何問題是中考熱點題型的重難點問題,涉及數(shù)學(xué)知識面寬,變量多,圖形復(fù)雜.結(jié)合2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學(xué)壓軸題的點評,給出教學(xué)上的幾點建議.
關(guān)鍵詞:中考數(shù)學(xué);三角形相似;動點;動角
從近年全國各省市中考來看,動態(tài)幾何題已成為中考數(shù)學(xué)的熱點題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題,有較好的區(qū)分度,具備探究的功能,有力地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).然而這類題難度大,知識點跨度寬,多數(shù)學(xué)生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學(xué)壓軸題為例,利用歸納、類比、猜想、化歸的數(shù)學(xué)思維,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解分析;同時點評了該題的考點、區(qū)分度、命題設(shè)計,并且給出了變式拓展以及教學(xué)上的幾點建議.
1 試題求解分析
題目? 在△ABC與△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,且∠CAB=∠CDE=θ,點D始終在線段AB上(不與點A,B重合).
(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,若θ=45°,分別求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.
(2)類比探究:如圖2,若θ=30°,試求∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.
(3)拓展應(yīng)用:在(2)的條件下,M為DE的中點,當(dāng)AC=23時,BM的最小值為多少?
本題第(1)(2)問是角∠CAD=θ為變化參數(shù),當(dāng)θ分別取為特殊值時,依次發(fā)現(xiàn)△ACD和△BCE全等與相似,求得∠DBE的度數(shù)和BEAD的值.
第(3)問是固定角∠CAB,動點是D,抓住∠DBE=90°的條件,利用直角三角形中線定理和θ=30°,則問題轉(zhuǎn)化為求CE的最小值,將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為在靜態(tài)狀態(tài)下求解.
第(1)問從特殊的值入手,證明三角形全等.根據(jù)等腰直角三角形ABC與三角形CDE的邊角關(guān)系,易證△ACD≌△BCE,進(jìn)而∠DBE=90°,BEAD=1.
對于第(2)問,利用類比、歸納,發(fā)現(xiàn)不變量.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,判定Rt△ABC∽Rt△DEC,有
BCAC=ECCD=13=33.
根據(jù)相似三角形的判定定理,即兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,確定△ACD∽△BCE.于是
∠CBE=∠CAD=θ,∠DBE=90°,
以及相似比
BEAD=BCAC=33.
猜想:不管角θ多大,均有△ACD∽△BCE,而且∠DBE是直角.
證明方法類似.
第(3)問利用化歸的方法,轉(zhuǎn)化最值問題進(jìn)行求解.根據(jù)兩個不變量
△ACD∽△BCE,∠DBE=90°,結(jié)合
M是DE的中點、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°,得到
BM=ME=MD=CE.
所以,求BM的最小值,即求CE的最小值.根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊,可知當(dāng)CE⊥BE時,CE最小,如圖3.
因為AC=23,θ=30°,于是CE=BM=12BC=1.
2 試題點評
2.1 考點知識面寬,區(qū)分度明顯
試題第(1)問考查了三角形全等的判定.第(2)問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗證.第(3)問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊,以及最值問題.題中附帶的兩圖,包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個三角形,3個四邊形.涉及2個變量,即1個角度變量∠CAD,1個動點D.考點從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形,從角度變化到動點變化,從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明,考點之間有機(jī)融合,三個小問區(qū)分度明顯,是一道非常好的幾何壓軸題.
2.2 考題變中有定,動中有靜
該題有兩個變量,同時在變化中也有兩個不變量:一是△ACD∽△BCE;二是∠DBE是直角.
為了分解題目的難度,將變量θ依次取特殊值進(jìn)行設(shè)問.第(1)問以簡單特殊值入門,讓考生初步嘗試;第(2)問以另外一個特殊值進(jìn)一步探索,通過類比、歸納、猜想,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述兩個不變量.第(3)問將變量θ設(shè)置為固定值,以D為動點求最值.通過化歸的方法,將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的靜態(tài)最值問題,最后得到解.
題目設(shè)計以學(xué)生為中心,讓學(xué)生從考題中享受探索發(fā)現(xiàn)、類比猜想、驗證證明的樂趣.選題動靜結(jié)合,從特殊到一般,在變化之中尋找不變量,在動態(tài)之中尋找最小值.三個小問由易到難、逐步深入,相關(guān)知識點銜接順暢,設(shè)計精巧,是一道適合探索研究的好題.
2.3 考題變化有度,適合變式訓(xùn)練
本題有兩個變量,因此可以設(shè)計較多的變式拓展的訓(xùn)練題.例如下面的問題(4):
(4)若θ=60°,M為DE的中點,當(dāng)AC=2時,BM的最小值為多少?
另外考慮點D可能在AB的延長線上,可以設(shè)計如下問題(5):
(5)若θ=60°,且D在直線AB上(不與A,B重合),點M為線段DE的中點.若AC=2,當(dāng)△BMC為直角三角形時,求BE的長.
分析:分類討論,考慮點D在線段AB上和在其延長線上兩種情形,如圖4,圖5.由△ACD∽△BCE,可得
∠ABE=90°,BE=3AD.
再由直角三角形中線定理,可得
CM=BM=12DE.
由勾股定理,得BM2+CM2=BC2,可知DE=26.設(shè)AD=x,則
BE=3AD=3x,DB=4-x.
在Rt△DBE中,利用勾股定理,得BE=3+3.
另外一種情形,類似可得BE=3-3.
3 教學(xué)建議
(1)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與直觀想象能力
針對幾何題,引導(dǎo)學(xué)生讀題并且聯(lián)想變化過程、繪制多幅圖展示動態(tài)過程,從題目中提取關(guān)鍵信息,在眾多的三角形中找出全等或相似三角形,利用相似比,根據(jù)三角形重要定理,列出邊角所具有的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的方式,對題目進(jìn)行雙重表述,鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.
(2)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式
按照數(shù)學(xué)的思維方式傳授數(shù)學(xué)知識,提升學(xué)生的四種數(shù)學(xué)思維:從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會遇到問題時該如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉一反三、變換化簡、反向思考,逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維方法,能夠用數(shù)學(xué)的眼光看問題,了解問題的本質(zhì),分析出難點,選擇合適的數(shù)學(xué)方法,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)求解過程,以此訓(xùn)練學(xué)生的思維方式,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
(3)教學(xué)融入德育實踐
對復(fù)雜的動點幾何題分析不難發(fā)現(xiàn),變量在變化過程中常常會出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索,排除動態(tài)變化的干擾,用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律,大膽猜測,小心求證.教學(xué)中要融入德育實踐,在潤物細(xì)無聲中,培養(yǎng)了學(xué)生講理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃瘢膭顚W(xué)生認(rèn)識與評價數(shù)學(xué),養(yǎng)成正確的理想信念,增強學(xué)生的興趣與自信心,培養(yǎng)堅韌不拔、謙虛謹(jǐn)慎與志存高遠(yuǎn)的品質(zhì),以及追求創(chuàng)新的精神.