袁美玉 房維維

摘要：本文中首先介紹了支架式教學的內(nèi)涵及過程，然后結(jié)合人教A版選擇性必修第三冊第七章第五節(jié)“正態(tài)分布”的教學案例，分析如何在教學中利用支架式教學模式，以達到引導學生體會知識的生成過程，理解知識的本質(zhì)，提高問題解決能力，提升核心素養(yǎng)的目的.

關鍵詞：支架式教學；正態(tài)分布；教學設計

支架式教學是以學習者為中心，以培養(yǎng)學生的問題解決能力和自主學習能力為目標的教學模式.教師向?qū)W習者提供一些線索和提示，引導學生發(fā)現(xiàn)和解決學習中的問題，掌握所要學習的知識，提高問題解決能力，培養(yǎng)學生成長為獨立的學習者.

合理利用支架式教學能有效培養(yǎng)學生自主學習能力和解決問題的能力，支架式教學正逐漸被高中數(shù)學教師所采用.筆者以人教A版“正態(tài)分布”的教學設計為例，探討如何在教學中合理利用支架式教學實現(xiàn)其應有的價值.

1 “正態(tài)分布”教學設計思路

本節(jié)課選自2019年人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊第七章《隨機變量及其分布列》第五節(jié)，教學素材豐富，可以很好地利用情境支架、問題支架、工具支架、實驗支架、數(shù)學文化等多個支架層層遞進地進行教學設計.結(jié)合本節(jié)課的教學內(nèi)容設計教學思路如圖1所示.

2 “正態(tài)分布”教學設計

環(huán)節(jié)1：搭建概念支架，明晰連續(xù)型隨機變量特征

【問題支架1】師：在生活中存在著大量的隨機事件，比如在學校內(nèi)任意選取一名同學，我們能否事先準確地猜測出這位同學的身高？

【問題支架2】師：這位同學身高的可能取值你能列舉出來嗎？如果能，請列出它的分布列.

追問：該同學身高正好為1.70 m的概率是多少？

師生總結(jié)：總結(jié)連續(xù)型隨機變量的主要特征并與離散型隨機變量進行對比學習.

設計意圖：根據(jù)兩個問題支架，引發(fā)學生的認知沖突，同化學生原有的認知結(jié)構.

環(huán)節(jié)2：創(chuàng)設情境支架，建立誤差模型，觀察曲線特點

【情境支架】師：某鋼材廠生產(chǎn)了一批鋼筋，為了檢驗鋼筋長度是否符合出廠標準，隨機抽取出了1 000根鋼筋，計算誤差，并且繪制頻率分布直方圖和折線圖.

【工具支架1】利用幾何畫板動態(tài)展示直方圖組距逐漸縮小的過程（可通過圖2掃碼觀看）.

學生總結(jié)：隨著組距減小，頻率分布折線圖近似于一條光滑的曲線，這條曲線會有中間高、兩邊低、左右大致對稱的特點.

【問題支架3】師：這種特點只是該隨機變量所特有的嗎？它是偶然的現(xiàn)象嗎？

設計意圖：激發(fā)學生的學習興趣，引導學生進一步探究曲線有“中間高、兩邊低、左右對稱”特點的原因.

環(huán)節(jié)3：深入探究正態(tài)曲線特點的原因

【實驗支架】教師介紹高爾頓釘板的結(jié)構.

【問題支架4】小球下落的位置是一個隨機事件嗎？

追問1：大量的小球下落，它的分布會不會呈現(xiàn)特殊的規(guī)律呢？

追問2：多次實驗，結(jié)果還是一樣的嗎？

【問題支架5】為什么隨機變量的概率分布會呈現(xiàn)這樣的特點呢？（提示：高爾頓釘板曾在學習二項分布時有過應用.）

在生活中，眾多的、互不干擾的、不分主次的偶然因素所作用而產(chǎn)生的連續(xù)型隨機變量，例如某些物理量的測量誤差，某地每年某月的平均降水量、平均氣溫，某一地區(qū)同年齡人的身高、體重等都服從正態(tài)分布.

環(huán)節(jié)4：小組協(xié)作學習，探索正態(tài)曲線的性質(zhì)特征

【問題支架6】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，分析正態(tài)密度函數(shù)解析式和正態(tài)曲線，總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)特征.（小組合作，并派小組代表匯報本組的研究成果.）

追問1：在學習函數(shù)的過程中，我們通常學習函數(shù)的哪些性質(zhì)？

追問2：正態(tài)密度函數(shù)的定義域是什么？值域是什么？

追問3：正態(tài)密度函數(shù)有怎樣的單調(diào)性？

追問4：正態(tài)密度函數(shù)的對稱軸是什么？

追問5：函數(shù)的最大值在何處取得？

設計意圖：從正態(tài)密度函數(shù)解析式入手，不僅可以準確地分析正態(tài)曲線的性質(zhì)特征，還可以提高學生分析函數(shù)解析式的能力.

【問題支架7】利用幾何畫板，觀察當μ和σ分別發(fā)生改變時，見圖4、5，正態(tài)曲線有怎樣的變化規(guī)律？這兩個參數(shù)在統(tǒng)計學中有何意義？（可通過圖3掃碼觀看.）

學生總結(jié)：參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.

教師總結(jié)：在實際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，所以

若X～N（μ，σ2），則E（X）=μ，D（X）=σ2.

【問題支架8】對于服從正態(tài)分布的隨機變量，如何求得隨機變量的取值落在某個區(qū)間內(nèi)的概率？

追問：正態(tài)曲線與x軸圍成的面積是多少？

環(huán)節(jié)5：應用GeoGebra軟件，歸納3σ原則

【工具支架2】師：正態(tài)密度函數(shù)可以由μ，σ兩個參數(shù)唯一確定，假設X～N（0，1），可以利用

GeoGebra軟件，求得隨機變量的取值落在任意區(qū)間內(nèi)的概率，如圖6所示.

引導學生在練習操作GeoGebra軟件的過程中自主總結(jié)出3σ原則.

學生總結(jié)：假設X～N（μ，σ2），則

P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7；

P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5；

P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.

教師總結(jié)：盡管正態(tài)變量的取值范圍是實數(shù)集，但是取值落在區(qū)間［μ-3σ，μ+3σ］以外的概率大約只有0.002 7，通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.所以在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機變量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.

3 總結(jié)與反思

本設計的亮點之一在于在教學過程中，真正做到了以教師為主導，以學生為主體.通過一個個支架，引導學生向上攀升，逐漸提升解決問題的能力.

亮點之二在于教師提供函數(shù)性質(zhì)這一支架，類比函數(shù)的性質(zhì)，學生自主發(fā)現(xiàn)了正態(tài)曲線的性質(zhì)特征.通過小組交流，學生現(xiàn)場產(chǎn)生頭腦風暴，互相補充，總結(jié)出結(jié)論.既鍛煉了學生通過類比遷移知識的能力，又提高了學生協(xié)作交流的能力.

亮點之三在于教師演示了GeoGebra軟件的使用過程之后，學生有機會實踐操作，并且了解到對于服從正態(tài)分布的隨機變量，只需要知道樣本的均值和標準差，就可以求得隨機變量的取值落在某區(qū)間內(nèi)的概率.體會正態(tài)分布的無窮魅力.

不足之處在于在正態(tài)分布模型的教學中應該培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學建模能力.由于課堂時間有限、樣本容量有限，因此未能展開對學生生活中服從正態(tài)分布的隨機變量進行數(shù)據(jù)收集的工作，弱化了對學生數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學建模能力的培養(yǎng).