楊磊

摘? ?要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極思考、推動(dòng)課堂教學(xué)的有效載體?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)通過合理設(shè)計(jì)探究問題促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開展。教師在教學(xué)中重視在學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)有思維含量、有層次、有梯度的問題鏈，促進(jìn)學(xué)生思維從無序向有序提升，從點(diǎn)狀水平向結(jié)構(gòu)化水平提升，從而促進(jìn)學(xué)生深度思考和深度學(xué)習(xí)，探尋學(xué)科本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；問題驅(qū)動(dòng)；變中求本；積累經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2023）28-0016-05

一、課前思考

“探索乘積最大的規(guī)律”是冀教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第九單元探索樂園的教學(xué)內(nèi)容，目的是讓學(xué)生在用不同的數(shù)字組數(shù)探索怎樣組數(shù)乘積最大或最小規(guī)律的過程中，體會(huì)乘法運(yùn)算中有許多奧秘，發(fā)展數(shù)感。研讀教材時(shí)，重點(diǎn)做了以下幾點(diǎn)思考。

問題一：學(xué)生的起點(diǎn)在哪里？

學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法、積的變化規(guī)律、乘法的估算、乘法運(yùn)算定律等知識(shí)，并且對(duì)于探索規(guī)律類的學(xué)習(xí)內(nèi)容有一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過前測調(diào)研發(fā)現(xiàn)，用5個(gè)數(shù)字組乘積最大的三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，90%以上的學(xué)生沒有頭緒，思考處于無序的狀態(tài)。后來改用4個(gè)數(shù)字組乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式進(jìn)行前測調(diào)研發(fā)現(xiàn)，60%左右的學(xué)生能想到這兩個(gè)乘數(shù)的首位數(shù)字都要盡可能大，但后面的個(gè)位數(shù)字如何確定仍有困難。

問題二：如何選擇研究的載體和素材？

教材中的問題是“用2、3、4、5、6五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)和兩位數(shù)。怎樣組數(shù)可使兩個(gè)數(shù)的乘積最大？要使兩個(gè)數(shù)的乘積最小，該怎樣組數(shù)？”通過前測調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果直接研究五個(gè)數(shù)字組乘積最大的三位數(shù)乘兩位數(shù)的問題，超出了大部分學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)對(duì)教材進(jìn)行教學(xué)法的加工，可以先退到研究四個(gè)數(shù)字或三個(gè)數(shù)字組乘積最大乘法算式的問題尋找規(guī)律，再研究五個(gè)數(shù)字的問題，會(huì)更順應(yīng)四年級(jí)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。由于課上時(shí)間有限，教師應(yīng)重點(diǎn)研究三個(gè)數(shù)字、四個(gè)數(shù)字、五個(gè)數(shù)字組乘積最大乘法算式的規(guī)律，將組乘積最小算式的規(guī)律放在課后拓展延伸完成。

基于以上的思考，確定本課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.會(huì)用三個(gè)數(shù)字、四個(gè)數(shù)字、五個(gè)數(shù)字組成乘積最大的乘法算式。

2.通過探索乘積最大算式規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)，感悟分類、數(shù)形結(jié)合、以退為進(jìn)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)感、推理意識(shí)、模型意識(shí)等。

3.在探索規(guī)律的過程中，感受數(shù)學(xué)的有趣和神奇，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

本課的教學(xué)重點(diǎn)在于能探索乘積最大算式的規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)是感悟分類、數(shù)形結(jié)合、以退為進(jìn)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)感、推理意識(shí)、模型意識(shí)等。

二、教學(xué)過程

（一）提出問題孕伏鋪墊

1.創(chuàng)設(shè)情境提出問題

師（出示）：用2、3、4、5、6五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)和兩位數(shù)。怎樣組數(shù)可使兩個(gè)數(shù)的乘積最大？（學(xué)生嘗試解答大約3分鐘，教師巡視）

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)似乎遇到了困難，誰來說說你感覺難在哪里？

生：用這五個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式有很多個(gè)。不容易確定到底哪個(gè)算式的乘積最大。

⒉啟發(fā)思考，以退為進(jìn)

師：是的，在這里遇到了困難，怎么辦呢？讓我們看看前人的智慧能否給我們些啟發(fā)？

出示：天下難事，必作于易。——老子

復(fù)雜的問題要善于“退” ，足夠的“退”，退到最簡單而不失去重要性的地，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅?！A羅庚

師：老子和華羅庚先生的這兩句話英雄所見略同。遇到復(fù)雜的、困難的問題，要退到簡單的地方思考以獲得啟發(fā)。五個(gè)數(shù)字的問題對(duì)我們來說似乎有難度了，退到哪里，就容易了呢？

生1：四個(gè)數(shù)字。

生2：三個(gè)數(shù)字。

生3：二個(gè)數(shù)字。

師：哈哈，如果退到二個(gè)數(shù)字就不用研究怎樣組乘法算式了，可以先退到比較簡單的三個(gè)數(shù)字的問題思考。

⒊化難為易，嘗試解決

出示：用4、5、6三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)和一位數(shù)。怎樣組數(shù)，可使兩個(gè)數(shù)的乘積最大？

（）（）×（）

師：猜一猜，哪個(gè)算式的乘積最大？

生1： 64×5。

生2： 65×4。

生3： 54×6。

師：同學(xué)們?yōu)槭裁床徊?□×□呢？

生：如果乘數(shù)比較小，乘積也就比較小。

師：好的，在剛才的幾種猜想中我們先來研究一下65×4。65×4≈70×4=280，把65估大了，乘積才是280。同學(xué)們也可以估算一下另外兩個(gè)算式的乘積。

生1： 64×5≈60×5=300。

生2： 54×6≈50×6=300。

師：另外的兩個(gè)算式都是把數(shù)估小乘積是300，準(zhǔn)確的乘積肯定要大于300。為什么65很大，它和4搭配組成的乘法算式的乘積卻不是最大的呢？

生3： 4比較小。

師：在乘法算式中，兩個(gè)乘數(shù)共同決定著乘積的大小。就像長和寬共同決定著長方形的面積，如果只考慮了長，而不管寬，那樣面積不會(huì)大。同樣的，如果只想著一個(gè)乘數(shù)盡可能大，而忽視了另一個(gè)乘數(shù)，乘積也不大。

師：64×5和54×6到底誰的乘積最大呢？

學(xué)生嘗試計(jì)算：

生1： 64×5=320，54×6=324。

師：剛才大部分同學(xué)猜想64×5的乘積更大，而實(shí)際算出結(jié)果后卻是54×6的結(jié)果更大，這是怎么回事呢？

生1：剛才估算的時(shí)候：64×5≈60×5=300，少算了4個(gè)5，如果再加上這4個(gè)5就是320；54×6≈50×6=300，少算了4個(gè)6，如果再加上這4個(gè)6，就是324。

師：同學(xué)們，能理解他的想法嗎？我們可以聯(lián)系乘法算式的意義來理解。

６４×５

＝（６０＋４）×５

＝６０×５＋４×５

５４×６

＝（５０＋４）×６

＝５０×６＋４×６

師：4放在6的后面組乘法算式，比300多算4個(gè)5；4放在5的后面組乘法算式，比300多算4個(gè)6。

師：解決了三個(gè)數(shù)字組乘積最大的兩位數(shù)乘一位數(shù)的問題，回顧一下，你有什么竅門嗎？

生：讓最大的數(shù)字自己做一位數(shù)，讓第二大和第三大的數(shù)字組成一個(gè)比較大的兩位數(shù)，它們的乘積最大。

【思考】本環(huán)節(jié)重點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生遇到困難的、復(fù)雜的問題學(xué)會(huì)退到簡單的地方開始思考，為后面解決復(fù)雜問題積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）繼續(xù)追問深入探究

1.提出問題

師：有了前面研究的基礎(chǔ)，同學(xué)們現(xiàn)在能進(jìn)一步研究四個(gè)數(shù)字的問題了嗎？

生：可以。

出示：用3、4、5、6四個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)兩位數(shù)。怎樣組數(shù)，可使兩個(gè)數(shù)組的乘積最大？

2.分析問題

師：在組乘法算式的時(shí)候首先應(yīng)該考慮什么？

生：讓這兩個(gè)乘數(shù)都盡可能大。需要先確定首位數(shù)字，盡量大。確定首位數(shù)字分別是6和5。

師：首位數(shù)字6和5確定之后，再和剩下的3和4搭配，組成的乘法算式有幾種可能性？

生：64×53和63×54。

師：你覺得哪個(gè)算式的乘積最大呢？

生1：64×53乘積最大。

生2：63×54乘積最大。

師：到底哪個(gè)算式乘積最大，怎樣能讓大家信服呢？

生：計(jì)算出結(jié)果。

（學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證：53×64=3392、54×63=3402）

3.理解原理

師：如果不計(jì)算出結(jié)果，你知道哪個(gè)算式的乘積最大嗎？

生：54與63的差更小，它們的乘積更大。

師：你是怎樣想到這個(gè)方法的？

生：三年級(jí)的時(shí)候，我們研究過長方形周長不變的時(shí)候，長和寬的差越小面積越大，這個(gè)問題與那個(gè)問題相似。

師：是的，這位同學(xué)聯(lián)想到三年級(jí)長方形的研究，當(dāng)長方形的周長不變（也就是長與寬的和不變）時(shí)，長與寬的差越小，長方形的面積越大。

（幾何畫板動(dòng)態(tài)演示）

師：在這里，可以應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來解釋。除此之外，我們也可以聯(lián)系乘法算式的意義來理解。

６４×５３

＝（６３＋１）×５３

＝６３×５３＋１×５３

５４×６３

＝（５３＋１）×６３

＝５３×６３＋１×６３

師：也可以借助圖形來幫助理解，電腦課件演示。比較兩邊的算式發(fā)現(xiàn)，64×53與54×63結(jié)果是相同的，1×53<1×63，所以54×63的乘積最大。

⒋變式練習(xí)

師：如果把這四個(gè)數(shù)字變一變，同學(xué)們還會(huì)思考嗎？

出示：用8、5、6、3四個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)和兩位數(shù)。怎樣組數(shù)，可使兩個(gè)數(shù)的乘積最大？

（）（）×（）（）

學(xué)生嘗試組乘法算式，師生交流：

師：誰來說一說你是怎么想的？

生：先考慮首位數(shù)字，把大的數(shù)字8和6放在首位。

師：首位確定后，考慮第二位有幾種情況？

生：85×63， 83×65。

師：如果不計(jì)算出得數(shù)，你能快速判斷出誰的乘積最大嗎？

生：83×65。

師：怎么想的呢？

生1： 83×65的差更小，所以它們的乘積更大。

生2：也可以聯(lián)系乘法算式的意義理解，比較大小。

８５×６３

＝（８３＋２）×６３

＝８３×６３＋２×６３

８３×６５

＝８３×（６３＋２）

＝８３×６３＋８３×２

師：四個(gè)數(shù)字組成乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，有什么共同的規(guī)律呢？

生：把最大的數(shù)字和最小的數(shù)字搭配組成一個(gè)兩位數(shù)，再把另外2個(gè)數(shù)字搭配組成一個(gè)較大的兩位數(shù)。

【思考】本環(huán)節(jié)引領(lǐng)學(xué)生探索四個(gè)數(shù)字組成乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式，發(fā)展學(xué)生的理性思維，知其然知其所以然。

（三）拓展結(jié)構(gòu)回歸本原

1.提出問題

師：剛才的幾個(gè)問題同學(xué)們解決得不錯(cuò)，下面敢不敢迎接新的挑戰(zhàn)？

出示：用3、5、6、4、2五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式（每個(gè)數(shù)字只能用一次）。怎樣組數(shù)，乘積最大？

（）（）（）×（）（）

師：這個(gè)問題和剛才四個(gè)數(shù)字組乘法算式的問題相比較，什么相同？什么不同？

生：相同點(diǎn)都是組乘積最大的算式，不同點(diǎn)是多了一個(gè)數(shù)字2，由兩位數(shù)乘兩位數(shù)變成了三位數(shù)乘兩位數(shù)。

2.小組合作全班交流

師：多了一個(gè)數(shù)字2怎么辦呢？請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考嘗試解決，然后小組內(nèi)討論交流你的想法。（大約5分鐘）

師：哪個(gè)小組先來匯報(bào)一下你們的想法？

生：前面四個(gè)數(shù)字的問題已經(jīng)討論過了，3、5、6、4四個(gè)數(shù)字組成63×54乘積最大，剩下重點(diǎn)研究2放在哪里就可以了。

生：2可以放在63或54的后邊，組成632×54或63×542。

師：632×54和63×542到底誰的乘積最大？如果不計(jì)算出結(jié)果你能判斷出，哪個(gè)算式的乘積最大嗎？

生：542與63的差更小，所以它們的乘積更大。

師：這位同學(xué)的想法，你們同意嗎？

（一部分同學(xué)同意，另一部分同學(xué)不置可否）

師：實(shí)際上剛才的那個(gè)規(guī)律是有前提條件的，前提條件是當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和確定不變，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)的差越小，乘積越大。仔細(xì)研究這里能夠發(fā)現(xiàn)632×54和63×542，算式中的兩個(gè)數(shù)的和變化了，已經(jīng)不滿足那個(gè)規(guī)律的前提條件了，所以這里就不能應(yīng)用那個(gè)規(guī)律。這條路走不通了，我們需要及時(shí)調(diào)整思考方向，還有其他的辦法嗎？

生：我們用計(jì)算器算出了結(jié)果632×54=34128

63×542=34146，63×542的乘積最大。

師：仔細(xì)觀察算式，能試著解釋其中的原理嗎？

生：仔細(xì)觀察比較這兩個(gè)算式632×54和63×542，能發(fā)現(xiàn)主要是2的位置發(fā)生了變化，2的位置變化就導(dǎo)致數(shù)的意義變了，乘法算式的意義也變了，可以從乘法算式的意義來理解。

６３２×５４

＝（６３０＋２）×５４

＝６３０×５４＋２×５４

６３×５４２

＝６３×（５４０＋２）

＝６３×５４０＋６３×２

師：觀察比較左右兩邊的算式你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：630×54和63×540的結(jié)果是相等的，2×54< 63×2，所以 632×54<63×542。

師：5個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，怎么組數(shù)乘積最大呢？

生：先不管最小的數(shù)，退到4個(gè)數(shù)字的情況思考，再把最小的數(shù)放在較小的兩位數(shù)后邊。

【思考】本環(huán)節(jié)回歸本原問題放手讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、小組合作，分析并解決問題。

（四）課堂小結(jié)

師：學(xué)習(xí)到這里，讓我們一起回顧下這節(jié)課是怎樣探索組成乘積最大乘法算式規(guī)律的？

生：先研究了三個(gè)數(shù)字、四個(gè)數(shù)字組成乘積最大算式的問題。

師：接下來我們研究了什么問題？

生：接下來研究了五個(gè)數(shù)字組成乘積最大算式的問題。

師：遇到困難的時(shí)候，我們是用什么方法解決的？

生：五個(gè)數(shù)字的問題比較難，先“退”到三個(gè)數(shù)字、四個(gè)數(shù)字的問題來思考。

師：用三個(gè)數(shù)字、四個(gè)數(shù)字、五個(gè)數(shù)字組乘積最大算式共同的方法是什么？

生：都是把最大的數(shù)字分別放在2個(gè)乘數(shù)的最高位上，然后再思考剩下的數(shù)字怎樣搭配。

師：研究到了這里，大家覺得下面我們還可以研究什么問題？

生1：六個(gè)數(shù)字、七個(gè)數(shù)字組成乘法算式，怎么組數(shù)乘積最大？

生2：怎樣組乘積最小的算式呢？

師：看來同學(xué)們有很多有價(jià)值的思考，大家有基本的思路嗎？

生1：最大的數(shù)字要放在最高位上，再考慮其他數(shù)字的搭配。

生2：復(fù)雜的問題退到簡單的地方思考。

生3：組乘積最小的算式就是反過來想。

師：課后我們可以繼續(xù)探索這些新問題。

【思考】本環(huán)節(jié)重點(diǎn)引領(lǐng)學(xué)生回顧組成乘積最大算式的數(shù)學(xué)思想方法，并啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到新的數(shù)學(xué)問題，課后拓展延伸。

三、教后反思

像“探索乘積最大的規(guī)律”這樣的探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察比較、猜想驗(yàn)證、歸納概括、解釋原理的過程，使學(xué)生最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的提升?；仡櫿?jié)課的教學(xué)，有以下幾點(diǎn)思考和感悟。

（一）順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，解決學(xué)生的真問題

探索樂園的教學(xué)內(nèi)容對(duì)小學(xué)生來說往往思維難度較大，教師需要對(duì)教材進(jìn)行教學(xué)法的加工。探究的問題要突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有思維含量，解決學(xué)生的真問題。學(xué)習(xí)過程采用探索發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)與有意義的接受式學(xué)習(xí)相結(jié)合，可以有效的突破難點(diǎn)。在一次次“跳一跳摘果子”的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到較好的發(fā)展，體會(huì)到數(shù)學(xué)思考的樂趣。

（二）運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生的真學(xué)習(xí)

探索乘積最大規(guī)律的學(xué)習(xí)過程中綜合運(yùn)用分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、以退為進(jìn)等多種數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展了推理意識(shí)、模型意識(shí)等。通過探究一組問題，打通一類問題，為今后解決復(fù)雜問題積累了豐富的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生深度思考，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

（三）發(fā)揮數(shù)學(xué)育人價(jià)值，助力學(xué)生的真發(fā)展

在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生不僅著眼于具體的小規(guī)律，更加重視使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想，形成研究問題的基本能力。在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生潛移默化感悟到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變，體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【責(zé)任編輯 王? ?悅】