李薈

［摘? 要］ 為了提升教學(xué)效益，教師應(yīng)仔細(xì)研讀教材，研究學(xué)生，站在知識(shí)體系的高度去設(shè)計(jì)教學(xué)，從而幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 同時(shí)，為了更好地發(fā)展學(xué)生，教師應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生參與新知的探究，讓學(xué)生在參與的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般步驟和基本方法，從而引導(dǎo)學(xué)生走上會(huì)學(xué)之路.

［關(guān)鍵詞］ 知識(shí)體系；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；會(huì)學(xué)之路

數(shù)學(xué)課堂是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的主戰(zhàn)場(chǎng)，課堂教學(xué)活動(dòng)直接影響著教學(xué)效果，為此教師在制定教學(xué)計(jì)劃、實(shí)施教學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)以“三個(gè)理解”為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行精心籌備. 但在教學(xué)中大多數(shù)教師常常是“以教材為本”，將目光局限于單一章節(jié)或單一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上，缺乏整體觀，忽視了知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，未能站在更高的角度帶領(lǐng)學(xué)生理解教材、理解學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響了學(xué)生認(rèn)知體系的建構(gòu)，限制了學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展. 在教學(xué)中，過(guò)多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的價(jià)值，忽視學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，這樣“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的教學(xué)模式，會(huì)影響學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升，影響學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落實(shí). 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)從全局的角度去分析教學(xué)，注重對(duì)知識(shí)的深度理解和系統(tǒng)掌握，以此激發(fā)學(xué)生的深度思維，幫助他們建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

筆者在教學(xué)“相交線”時(shí)，從學(xué)生原有認(rèn)知出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境和自主探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生深耕知識(shí)學(xué)習(xí)，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和深化.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析

相交線是初中階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，是平面幾何的基礎(chǔ). 學(xué)習(xí)相交線之前，學(xué)生已經(jīng)具備學(xué)習(xí)直線、射線、線段和角等內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)，掌握了它們的性質(zhì)，這些內(nèi)容為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)相交線提供了知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)保障. 同時(shí)，本節(jié)課又與后面要學(xué)習(xí)的三角形、四邊形等圖形的性質(zhì)息息相關(guān)，各知識(shí)間存在著明顯的關(guān)聯(lián)性，所以教師在教學(xué)中要充分發(fā)揮平行線知識(shí)承上啟下的作用，從整體布局，幫助學(xué)生完善認(rèn)知.

2. 學(xué)情分析

對(duì)于相交線，學(xué)生并不陌生，在小學(xué)階段他們已經(jīng)結(jié)合生活情境了解了相交線和平行線. 另外，他們也接觸過(guò)一些基本的平面幾何圖形，重點(diǎn)研究了線段和角，明晰了補(bǔ)角、余角等概念. 初中生雖然具有一定的探究能力，但是缺乏獲得幾何結(jié)論的經(jīng)驗(yàn)和方法，空間觀念也較為薄弱，對(duì)于三種語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）的互換，還不能做到準(zhǔn)確，也不太關(guān)注圖形之間和知識(shí)之間的聯(lián)系，因此教師要悉心指導(dǎo)，多帶領(lǐng)學(xué)生參與知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，從而達(dá)到深化理解知識(shí)、自主建構(gòu)認(rèn)知的目標(biāo). 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師既要為學(xué)生提供一個(gè)自主探究的平臺(tái)，又要設(shè)計(jì)一些教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物猜想、數(shù)學(xué)聯(lián)想、數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的方法，并在互動(dòng)交流中探索新知、獲取新知. 同時(shí)，在教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去準(zhǔn)確表達(dá)，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 溫故知新

師：在小學(xué)階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，大家還記得嗎？

生（齊）：記得.

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家在紙上畫(huà)一畫(huà)，思考平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系.

學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，教師選取幾幅典型圖片讓學(xué)生仔細(xì)觀察并積極討論. 有的學(xué)生認(rèn)為有兩種關(guān)系，分別為相交和平行；有的學(xué)生認(rèn)為有三種關(guān)系，分別為相交、平行和垂直. 經(jīng)過(guò)交流學(xué)生統(tǒng)一了結(jié)論，認(rèn)為平面內(nèi)兩條直線只有相交和平行兩種關(guān)系.

師：你們能列舉幾個(gè)生活中關(guān)于相交的實(shí)例嗎？

生1：剪刀、時(shí)鐘指針.

生2：?jiǎn)胃?、籃球架.

生3：縱橫交錯(cuò)的道路.

……

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生暢所欲言，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

設(shè)計(jì)意圖? 教學(xué)時(shí)，教師先進(jìn)行舊知回顧，這有效地拉近了學(xué)生與新知的距離，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 另外，在此環(huán)節(jié)教師為學(xué)生營(yíng)造了平等、和諧的交流氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行有效的交流與合作，培養(yǎng)了學(xué)生良好的合作意識(shí). 同時(shí)，生活實(shí)例的引入，使數(shù)學(xué)課堂更有生活味，這為學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)探究做好了鋪墊.

2. 探究“對(duì)頂角”

師：大家看一看這把剪刀，并在紙上畫(huà)一畫(huà). 除了所畫(huà)的相交線，大家是否還能找到其他熟悉的幾何圖形？（教師打開(kāi)剪刀讓學(xué)生用眼看、動(dòng)手畫(huà)）

生4：有角.

師：很好！觀察得很仔細(xì). 觀察你們所畫(huà)的圖形，有幾個(gè)小于180°的角呢？

生（齊）：4個(gè).

師：很好，現(xiàn)在我們?cè)趫D上標(biāo)一標(biāo)，如圖1所示. （教師在PPT上給出圖1）

師：請(qǐng)大家先在自己所畫(huà)的圖形上“標(biāo)一標(biāo)”，然后回答這樣幾個(gè)問(wèn)題：

（1）這四個(gè)角存在怎樣的位置關(guān)系？

（2）∠1與∠3的頂點(diǎn)和邊有怎樣的關(guān)系？

教師先讓學(xué)生獨(dú)立觀察，然后請(qǐng)學(xué)生作答.

生5：有四組位置相鄰的角（∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1）和兩組位置相對(duì)的角（∠1和∠3，∠2和∠4）.

師：生5和你們觀察的結(jié)果一致嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成生5的說(shuō)法）

師：很好，生5觀察得非常仔細(xì)，表述得也很好，清晰地將角分成了兩類，即相鄰和相對(duì). 對(duì)于“相對(duì)”，你們是如何理解的？（學(xué)生沉思）

師：思考第二個(gè)問(wèn)題，看看能不能找到問(wèn)題的突破口. （教師引導(dǎo)學(xué)生思考“相對(duì)的角”的頂點(diǎn)和邊的關(guān)系）

生6：∠1與∠3有公共點(diǎn)，且構(gòu)成角的兩邊在同一條直線上.

師：很好，像∠1與∠3這樣，有公共頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長(zhǎng)線的角稱為對(duì)頂角.

師：如圖2所示，你能畫(huà)出∠ABC的對(duì)頂角嗎？

問(wèn)題給出后，學(xué)生根據(jù)對(duì)頂角的定義，反向延長(zhǎng)BA和BC，很快就畫(huà)出了∠ABC的對(duì)頂角.

師：大家畫(huà)得非常好，看來(lái)大家已經(jīng)熟練掌握了對(duì)頂角的定義. 現(xiàn)在請(qǐng)看圖3，圖3中的∠1和∠2是否都是對(duì)頂角呢？

教師讓學(xué)生分小組討論，最后給出結(jié)論.

生7：只有⑤中的角是對(duì)頂角. 因?yàn)棰俸廷拗械慕菦](méi)有公共頂點(diǎn)，所以不是對(duì)頂角；因?yàn)棰冖邰苤械慕侵挥幸粭l邊互為反向延長(zhǎng)線，所以也不是對(duì)頂角.

師：說(shuō)得很好. 大家判斷的依據(jù)是什么？

生（齊）：對(duì)頂角的定義.

師：說(shuō)得很好，那有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的判斷方法呢？

生8：從整體分析，里面只有⑤是相交線，是否可以根據(jù)這個(gè)來(lái)判斷呢？

師：說(shuō)得很好，也就是說(shuō)，對(duì)頂角只有在相交的情況下才會(huì)存在.

設(shè)計(jì)意圖? 上述過(guò)程，從生活實(shí)例入手，先讓學(xué)生畫(huà)出相交線，接下來(lái)通過(guò)觀察角逐漸引出本節(jié)課的重點(diǎn)——“對(duì)頂角”. 探究對(duì)頂角時(shí)，教師“以生為本”，通過(guò)巧妙引導(dǎo)逐漸抽象出“對(duì)頂角”的概念. 學(xué)生參與了概念的生成過(guò)程，更易于理解和內(nèi)化知識(shí). 為了鞏固新知，教師設(shè)計(jì)了練習(xí)環(huán)節(jié)，并借助對(duì)比分析讓學(xué)生強(qiáng)化記憶. 另外，借助判斷依據(jù)將相交線與對(duì)頂角的定義相關(guān)聯(lián)，能讓學(xué)生知曉研究相交線的本質(zhì)就是研究它所構(gòu)成的簡(jiǎn)單圖形之間的關(guān)系.

3. 探究“對(duì)頂角”的數(shù)量關(guān)系

師：繼續(xù)觀察圖1，你認(rèn)為∠1和∠3有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生（齊）：相等.

師：該如何進(jìn)行驗(yàn)證呢？

生9：可以用量角器度量.

師：這是個(gè)不錯(cuò)的方法. 還有其他方法嗎？

生10：折疊法.

師：很好，不過(guò)我們知道無(wú)論是折疊還是度量，都會(huì)產(chǎn)生誤差，那是否可以通過(guò)其他方式驗(yàn)證呢？

生11：因?yàn)椤?+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以（∠1+∠2）-（∠2+∠3）=0°，即∠1-∠3=0°. 故∠1=∠3.

師：很好，生11通過(guò)計(jì)算進(jìn)行了驗(yàn)證. 由∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，能否直接得出∠1=∠3呢？（教師追問(wèn)）

學(xué)生交流，發(fā)現(xiàn)根據(jù)“同角或等角的補(bǔ)角相等”可直接推出∠1=∠3，于是將生11的步驟進(jìn)行簡(jiǎn)化，即因?yàn)椤?+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠3.

師：根據(jù)以上推導(dǎo)過(guò)程，關(guān)于對(duì)頂角，我們能得到它的什么性質(zhì)呢？

生（齊）：對(duì)頂角相等.

師：很好！如圖4所示，兩直線相交，∠1=35°，求∠2和∠3的度數(shù).

求解本題時(shí)，教師讓學(xué)生獨(dú)立完成并給出求解理由，同時(shí)給予學(xué)生積極的評(píng)價(jià). 學(xué)生根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義，輕松地求得了∠2和∠3的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖? 在探究對(duì)頂角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生首先根據(jù)直覺(jué)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，得到對(duì)頂角相等. 為了驗(yàn)證猜想，學(xué)生采用了多種驗(yàn)證方式，如度量、折疊、說(shuō)理等，實(shí)現(xiàn)了直覺(jué)思維向邏輯思維的轉(zhuǎn)化. 另外，教師為學(xué)生營(yíng)造機(jī)會(huì)進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上數(shù)學(xué)探究之路.

4. 探究“兩直線垂直”

師：請(qǐng)大家動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、比一比，兩條直線相交所形成的角如何分類呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，并進(jìn)行組內(nèi)交流）

生12：銳角和鈍角.

生13：還有直角. （學(xué)生補(bǔ)充道）

師：很好！對(duì)于銳角和鈍角的分類，大家已經(jīng)很熟悉了. 那么當(dāng)兩條直線相交所形成的角中有一個(gè)角為直角時(shí)，那其他3個(gè)角會(huì)是什么角呢？

生13：都是直角.

師：能說(shuō)一說(shuō)你的理由嗎？

生13：若其中一個(gè)角為直角，對(duì)頂角與其相等，自然是直角，而其他兩角分別與之互補(bǔ)，自然也為直角. （學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同，并給予掌聲）

師：很好，在剛剛探究平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了“垂直”這一特殊的位置關(guān)系. 像這樣兩條直線相交，若有一個(gè)角為直角，則兩條直線互相垂直.

師：如圖5所示，直線AB和直線CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC=90°，則說(shuō)明這兩條直線垂直，記作AB⊥CD，讀作AB垂直于CD，垂足為O，其中一條線叫另外一條線的垂線. （教師給出定義）

通過(guò)探究，教師結(jié)合圖形給出兩條直線垂直的定義及其表示方式也就變得水到渠成了.

師：說(shuō)一說(shuō)在現(xiàn)實(shí)生活中兩條直線垂直的例子.

生14：十字路口.

生15：書(shū)桌.

……

師：很好！現(xiàn)在有一條直線，你能借助三角板畫(huà)出這條直線的垂線嗎？

教師先讓學(xué)生獨(dú)立完成，然后指定學(xué)生上臺(tái)板演，通過(guò)交流規(guī)范作圖過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖? 兩條直線垂直在后期學(xué)習(xí)中有著重要的應(yīng)用，為此在學(xué)習(xí)相交線時(shí)，教師對(duì)這一特殊情況進(jìn)行了重點(diǎn)講解，并給出了兩條直線垂直的定義及其表示方法. 同時(shí)，不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

5. 課堂小結(jié)

師：回顧本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，思考如下幾個(gè)問(wèn)題.

（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

（2）探究對(duì)頂角相等時(shí)，我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程？

（3）學(xué)習(xí)了相交線之后，你認(rèn)為接下來(lái)會(huì)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自由表達(dá)，接下來(lái)進(jìn)行總結(jié)和補(bǔ)充，分析本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中的地位，闡述研究幾何圖形的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)觀察、猜想、驗(yàn)證、說(shuō)理在教學(xué)中的重要價(jià)值，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

設(shè)計(jì)意圖? 課堂小結(jié)是教學(xué)的重要組成部分. 教學(xué)中大多數(shù)學(xué)生都是從知識(shí)本身出發(fā)去思考問(wèn)題的. 小結(jié)可引導(dǎo)學(xué)生回顧內(nèi)容，并借助分析、對(duì)比、歸納等方法將分散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，便于后期進(jìn)行知識(shí)與方法的遷移，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力.

6. 作業(yè)（略）

為了進(jìn)一步強(qiáng)化認(rèn)識(shí)、深化理解，教師有必要在課后安排一些必要的練習(xí). “做”，能讓學(xué)生更好地了解自己的實(shí)際掌握情況，便于他們后期針對(duì)性地查缺補(bǔ)漏. 同時(shí)，教師可以結(jié)合作業(yè)反饋情況更好地了解學(xué)生，以便根據(jù)具體學(xué)情及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略. 當(dāng)然，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要把控好“量”和“度”，要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)一些具有層次性的、有針對(duì)性的練習(xí)來(lái)提升學(xué)習(xí)效益，從而實(shí)現(xiàn)鞏固知識(shí)、完善認(rèn)知的教學(xué)效果.

教學(xué)評(píng)析

以上教學(xué)環(huán)節(jié)注重“以生為本”，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，教學(xué)時(shí)取得了較好的教學(xué)效果.

1. 有助于知識(shí)的深化

縱觀整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，借助實(shí)際情境、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合作探究等設(shè)計(jì)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，突出了學(xué)生的主體地位. 學(xué)生獲得的新知主要是通過(guò)自主探索獲得的，所以他們對(duì)知識(shí)有更深入的理解. 另外，教學(xué)中教師特別注重知識(shí)的整體建構(gòu)，帶領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷了觀察、聯(lián)想、驗(yàn)證、說(shuō)理等過(guò)程，讓學(xué)生領(lǐng)悟了探究平面幾何問(wèn)題的一般方法，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 有助于認(rèn)知體系的建構(gòu)

在教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生站在平面幾何體系的角度去思考問(wèn)題，讓他們領(lǐng)悟了研究幾何問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是研究構(gòu)成圖形的關(guān)系，從而培養(yǎng)了學(xué)生的整體觀. 同時(shí)，教學(xué)中教師跳出了“一節(jié)一點(diǎn)”教學(xué)模式的束縛，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)研究方法的滲透，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

3. 有助于學(xué)習(xí)能力的提升

在關(guān)注知識(shí)整體建構(gòu)的同時(shí)，教師也特別注重提升學(xué)生的觀察能力、探究能力、合作能力、語(yǔ)言表達(dá)能力等多種能力.

總之，教師不能“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”，應(yīng)在“三個(gè)理解”（理解教材、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)）的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系，促使學(xué)生經(jīng)歷從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”再到“好學(xué)”的轉(zhuǎn)變.