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        促進(jìn)數(shù)學(xué)新授課新知生成的課例研究

        2023-10-30 09:52:19盧勇
        關(guān)鍵詞:理性思維高中數(shù)學(xué)教學(xué)

        【摘 要】在課堂教學(xué)中,教師要通過(guò)精心創(chuàng)設(shè)適切情境,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題,在數(shù)學(xué)抽象中獲得數(shù)學(xué)新知、建立數(shù)學(xué)模型;在師生共研中建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究?jī)?nèi)容、研究路徑與研究方法,讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯性,培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維;在深度學(xué)習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維;基于具有統(tǒng)攝性的大問(wèn)題,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性、問(wèn)題解決方法的普適性,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

        【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)教學(xué);新知生成;理性思維;數(shù)學(xué)研究活動(dòng)

        【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009(2023)37-0011-04

        【作者簡(jiǎn)介】盧勇,江蘇省南通市市直學(xué)校教育管理中心(江蘇南通,226007)高中數(shù)學(xué)教研員,高級(jí)教師。

        中學(xué)教學(xué)應(yīng)進(jìn)一步強(qiáng)化基礎(chǔ)概念的教學(xué),強(qiáng)調(diào)對(duì)于知識(shí)、概念的本質(zhì)的深入理解,夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)地基,使學(xué)生能夠做到真懂會(huì)用,掌握進(jìn)一步學(xué)習(xí)的工具。[1]中學(xué)教學(xué)要在培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)見(jiàn)識(shí)上下功夫,在數(shù)學(xué)知識(shí)方法應(yīng)用的靈活性和創(chuàng)造性上下功夫,在培養(yǎng)關(guān)鍵能力上下功夫。[2]因此,在高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中,教師要讓學(xué)生明晰新知的來(lái)龍去脈,讓新知的生成有理有據(jù),在知識(shí)生成過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。

        學(xué)習(xí)即研究,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)按研究的思維過(guò)程與思維方式展開(kāi),通過(guò)創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展規(guī)律(數(shù)學(xué)的邏輯)和學(xué)生思維規(guī)律及認(rèn)知特點(diǎn)(心理的邏輯)的系列化情境與問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)。這種以培養(yǎng)學(xué)生理性思維為目標(biāo)的數(shù)學(xué)研究活動(dòng),要努力做到情境適切、方案科學(xué)、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)、學(xué)以致用。

        一、情境適切彰顯研究的必要性

        在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題。設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境,提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題是有挑戰(zhàn)性的,但也為教師的實(shí)踐創(chuàng)新提供了平臺(tái)。

        教師依托具體的情境,提出學(xué)生力所能及又富于挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,有助于學(xué)生理性思維的提升。教師提出的問(wèn)題要具有以下特征:(1)目的明確,即所提出的問(wèn)題要緊緊圍繞當(dāng)前的教學(xué)任務(wù),使學(xué)生的注意力集中在教學(xué)任務(wù)上;(2)反映本質(zhì),即問(wèn)題要直接反映所學(xué)新知識(shí)的本質(zhì)特征,要能引導(dǎo)學(xué)生的思維指向教學(xué)任務(wù);(3)簡(jiǎn)明易懂,即學(xué)生不會(huì)因?yàn)閱?wèn)題的字面意思難懂而發(fā)生理解困難;(4)系統(tǒng)連貫,問(wèn)題應(yīng)按數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法為主線(xiàn),組成一個(gè)循序漸進(jìn)的、具有內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題體系。

        案例1:“有限樣本空間與隨機(jī)事件”(情境創(chuàng)設(shè)部分)

        師:如果拋一次硬幣,觀(guān)察正面向上的結(jié)果有幾種可能?結(jié)果確定嗎?如果重復(fù)拋100次,并統(tǒng)計(jì)它們的結(jié)果,又會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象?

        教師播放一段由GeoGebra制作的拋硬幣100次模擬試驗(yàn)動(dòng)畫(huà),學(xué)生從中體會(huì)一次試驗(yàn)結(jié)果的偶然性和多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性。

        師:我們?cè)賮?lái)看一個(gè)更為有趣的情境。教師先介紹隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)點(diǎn)構(gòu)建的規(guī)則,有一個(gè)正三角形,三個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)作A1,A2,A3,準(zhǔn)備一個(gè)骰子,只有1、2、3三種點(diǎn)數(shù),在正三角形內(nèi)部任取一點(diǎn),記作P0。第一步,拋擲骰子一次,1、2、3中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)i(i=1,2,3),連接P0Ai,取P0Ai的中點(diǎn)記作P1。第二步,再次拋擲骰子一次,1、2、3中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)i(i=1,2,3),連接P1Ai,取P1Ai的中點(diǎn)記作P2,以此類(lèi)推,得到點(diǎn)P3,P4,…,Pn。這些點(diǎn)的產(chǎn)生具有隨機(jī)性嗎?你看出這些點(diǎn)的分布有什么規(guī)律性嗎?

        教師播放一段由Matlab編程制作的三千余個(gè)隨機(jī)點(diǎn)分布規(guī)律的視頻,學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)隨機(jī)點(diǎn)的分布具有明顯的規(guī)律性,呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀。(如圖1)

        教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)以上現(xiàn)象的共同特征:就一次觀(guān)測(cè)而言,出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性;但在大量重復(fù)觀(guān)測(cè)下,結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象,我們稱(chēng)之為隨機(jī)現(xiàn)象。

        師:初中時(shí),你們對(duì)隨機(jī)事件的認(rèn)識(shí)更多是一些感性的認(rèn)識(shí)。高中階段,我們將結(jié)合實(shí)例,從理性的角度刻畫(huà)和研究隨機(jī)現(xiàn)象。(引出本節(jié)課的課題“有限樣本空間與隨機(jī)事件”)

        【設(shè)計(jì)意圖】概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,為人們提供了從不確定角度認(rèn)識(shí)客觀(guān)世界的思維模式和解決問(wèn)題的方法。概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力?;谡w單元化教學(xué)的需要,本節(jié)課作為高中概率單元的起始課,兼具知識(shí)預(yù)備和單元導(dǎo)引的雙重價(jià)值。上述教學(xué)片段教師分別選擇熟悉和有趣的兩個(gè)情境,引導(dǎo)學(xué)生歸納獲得隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征,有利于提升學(xué)生進(jìn)一步研究隨機(jī)現(xiàn)象的好奇心,體會(huì)隨機(jī)思想,明確研究對(duì)象。

        二、方案科學(xué)彰顯研究的合理性

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維方法的學(xué)習(xí)。但在教學(xué)實(shí)踐中,不少課堂教學(xué)過(guò)程雜亂無(wú)序,沒(méi)有貫穿課堂始終的教學(xué)主線(xiàn),缺乏有結(jié)構(gòu)的、邏輯關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)且能啟迪學(xué)生思維的問(wèn)題引領(lǐng),教學(xué)隨意性很大,“思維的教學(xué)”更是奢談。教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、抽象、推理過(guò)程進(jìn)行“本源性”思考,設(shè)計(jì)科學(xué)的研究方案,用高觀(guān)點(diǎn)、思想性去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí),并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建課堂教學(xué)主線(xiàn),讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中,領(lǐng)悟思考方法進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

        案例2:“斐波那契數(shù)列”(性質(zhì)探究部分)

        問(wèn)題1:等差、等比數(shù)列的研究路徑是什么?

        問(wèn)題2:你認(rèn)為應(yīng)該怎樣研究斐波那契數(shù)列的項(xiàng)與和的性質(zhì)?

        【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)列大單元的角度,讓學(xué)生回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究過(guò)程,探尋數(shù)列研究的一般路徑,為接下來(lái)研究斐波那契數(shù)列找準(zhǔn)方向。

        學(xué)生活動(dòng):自主探究斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)的特征、項(xiàng)的性質(zhì)、和的性質(zhì)。

        活動(dòng)方式:小組討論,合作探究,自主展示,小組糾錯(cuò),自我完善。

        展示結(jié)果:開(kāi)放性,對(duì)通項(xiàng)公式與項(xiàng)的性質(zhì)、和的性質(zhì),挑一部分說(shuō)明結(jié)論的由來(lái),不全部展開(kāi),留給學(xué)生課后探究的空間。

        【設(shè)計(jì)意圖】一是讓學(xué)生掌握研究的方法:特殊到一般,歸納證明猜想;二是從數(shù)列大單元的角度,熟練運(yùn)用研究數(shù)列的一般方法:迭代法、定義法、累加法、錯(cuò)位相減法等探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì);三是讓學(xué)生感受相比等差、等比數(shù)列,斐波那契數(shù)列所具有的性質(zhì)更加豐富,其推導(dǎo)和研究的路徑也更為多樣。

        三、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)彰顯研究的完備性

        細(xì)節(jié)決定成敗。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)安排概念的“精致過(guò)程”,對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”,對(duì)概念要素作具體界定,讓學(xué)生在對(duì)概念的正例、反例作判斷的過(guò)程中,更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)。[3]這樣不僅能讓學(xué)生深入理解當(dāng)前知識(shí),還能為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),更能培養(yǎng)學(xué)生思維縝密、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的理性精神。

        案例3:“數(shù)列的概念及表示”(數(shù)列概念理解部分)

        師:我們以數(shù)列1,2,4,8,16,…為例,來(lái)檢驗(yàn)下同學(xué)們是否掌握了數(shù)列的有關(guān)概念。

        問(wèn)題1:該數(shù)列的首項(xiàng)是什么?對(duì)應(yīng)的序號(hào)呢?2,4,8,16對(duì)應(yīng)的序號(hào)呢?序號(hào)n對(duì)應(yīng)的就是第n項(xiàng)an,具體an是什么呢?

        師:顯然an=2n-1反映了這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系。一般地,如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

        追問(wèn):如何求a101呢?你是如何認(rèn)識(shí)符號(hào)“an”的?

        【設(shè)計(jì)意圖】在師生交流的基礎(chǔ)上,學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)“an”既是“確定的”又是“任意的”,即an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng),同時(shí)作為通項(xiàng)公式an意味著對(duì)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是適用的。

        師:通過(guò)前面的分析,序號(hào)1與數(shù)列中的項(xiàng)“1”對(duì)應(yīng),序號(hào)2與數(shù)列中的項(xiàng)“2”對(duì)應(yīng),序號(hào)3與數(shù)列中的項(xiàng)“4”對(duì)應(yīng)……這種對(duì)應(yīng)關(guān)系同學(xué)們熟悉嗎?之前的學(xué)習(xí)中同學(xué)們接觸過(guò)嗎?

        生:這種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是函數(shù)。

        問(wèn)題2:數(shù)列是函數(shù)嗎?(小組討論)

        學(xué)生交流發(fā)現(xiàn):數(shù)列中,每一個(gè)序號(hào)n都有唯一的項(xiàng)an與之對(duì)應(yīng),滿(mǎn)足函數(shù)的定義,所以數(shù)列是函數(shù)。

        問(wèn)題3:通項(xiàng)公式為an=2n-1的數(shù)列{an}與f(x)=2x-1是否為同一個(gè)函數(shù)?

        生:兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一致的,但定義域不同,an=2n-1中的n只能取正整數(shù),而f(x)=2x-1的定義域?yàn)镽,所以它們不是同一個(gè)函數(shù)。

        問(wèn)題4:那數(shù)列是一個(gè)什么樣的函數(shù)呢?從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn),談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)。

        教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上總結(jié)完善,得到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)。從定義域上看,數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或其有限子集{1,2,…,k};就對(duì)應(yīng)關(guān)系而言,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是數(shù)列(函數(shù))的解析式,即an=f(n);函數(shù)值相應(yīng)的是數(shù)列中的項(xiàng)f(1),f(2),…,f(n),…。

        【設(shè)計(jì)意圖】辨析數(shù)列的本質(zhì),厘清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系是本課的難點(diǎn),也是后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)。在處理方式上,由特殊到一般、由具體到抽象的方法貫穿始終。教師首先以具體數(shù)列為研究抓手,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到所學(xué)函數(shù)知識(shí),感悟數(shù)列的函數(shù)特征,進(jìn)而開(kāi)展一般性探究,根據(jù)函數(shù)概念,明晰數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)。

        四、學(xué)以致用彰顯研究的有效性

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用,數(shù)學(xué)應(yīng)用既包含數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與交互,也包含以數(shù)學(xué)作為工具,在自然科學(xué)乃至人文社會(huì)科學(xué)中的交叉應(yīng)用。通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用可以鞏固新知識(shí)的學(xué)習(xí),檢查新概念的掌握程度,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,促進(jìn)真懂真會(huì)。例如,天文觀(guān)測(cè)、歷法推算和航海的發(fā)展推動(dòng)人們對(duì)球面進(jìn)行研究,從而產(chǎn)生了球面三角學(xué),出于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要又出現(xiàn)了平面三角學(xué)。正余弦定理的出現(xiàn)更是人類(lèi)文明發(fā)展數(shù)學(xué)文化中的一顆耀眼的寶石,既解決了很多實(shí)際問(wèn)題,又在數(shù)學(xué)文化中展現(xiàn)了迷人的魅力。

        案例4:“正余弦定理的應(yīng)用——測(cè)量距離問(wèn)題”(主問(wèn)題設(shè)計(jì))

        問(wèn)題:解三角形在測(cè)量上有著廣泛的應(yīng)用。你能設(shè)計(jì)出圖2中三種實(shí)際情況下測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方案嗎?

        解決方案圖示:

        【設(shè)計(jì)意圖】前兩種情況相對(duì)比較基礎(chǔ),學(xué)生直接構(gòu)造三角形,運(yùn)用正弦定理和余弦定理可以直接解決。對(duì)于第三種情況A,B兩地均不可到達(dá),借助前兩個(gè)問(wèn)題的求解經(jīng)驗(yàn)、建立的基本模型,我們需要學(xué)生明白這種情況求解的過(guò)程,讓學(xué)生感悟內(nèi)蘊(yùn)于其中的化歸數(shù)學(xué)思想方法。

        章建躍先生指出,要努力提高數(shù)學(xué)教學(xué)的品位。這就要求教師在日常教學(xué)中,要以數(shù)學(xué)新知為載體,讓學(xué)生經(jīng)歷明確研究的問(wèn)題、獲得研究的對(duì)象、確定研究的內(nèi)容、選取研究的方法、建構(gòu)研究的過(guò)程、獲得研究的結(jié)論等完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程,讓新知生成有理有據(jù),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),發(fā)展理性思維。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]趙軒,任子朝,翟嘉祺.落實(shí)雙減要求,深化基礎(chǔ)性考查[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2022,61(9):7-10.

        [2]教育部教育考試院.高考試題分析及解題精選(2023年版):數(shù)學(xué)分冊(cè)[M].北京:語(yǔ)文出版社,2022.

        [3]章建躍.概括——概念教學(xué)的核心[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):高中版,2008(11):50.

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