【摘 要】在課堂教學(xué)中，教師要通過精心創(chuàng)設(shè)適切情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出有研究價值的問題，在數(shù)學(xué)抽象中獲得數(shù)學(xué)新知、建立數(shù)學(xué)模型；在師生共研中建構(gòu)數(shù)學(xué)對象的研究內(nèi)容、研究路徑與研究方法，讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維；在深度學(xué)習中讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究的嚴謹性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維；基于具有統(tǒng)攝性的大問題，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性、問題解決方法的普適性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)教學(xué)；新知生成；理性思維；數(shù)學(xué)研究活動

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）37-0011-04

【作者簡介】盧勇，江蘇省南通市市直學(xué)校教育管理中心（江蘇南通，226007）高中數(shù)學(xué)教研員，高級教師。

中學(xué)教學(xué)應(yīng)進一步強化基礎(chǔ)概念的教學(xué)，強調(diào)對于知識、概念的本質(zhì)的深入理解，夯實學(xué)生的知識地基，使學(xué)生能夠做到真懂會用，掌握進一步學(xué)習的工具。［1］中學(xué)教學(xué)要在培養(yǎng)學(xué)生的知識見識上下功夫，在數(shù)學(xué)知識方法應(yīng)用的靈活性和創(chuàng)造性上下功夫，在培養(yǎng)關(guān)鍵能力上下功夫。［2］因此，在高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中，教師要讓學(xué)生明晰新知的來龍去脈，讓新知的生成有理有據(jù)，在知識生成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。

學(xué)習即研究，數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)按研究的思維過程與思維方式展開，通過創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律（數(shù)學(xué)的邏輯）和學(xué)生思維規(guī)律及認知特點（心理的邏輯）的系列化情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生開展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)研究活動。這種以培養(yǎng)學(xué)生理性思維為目標的數(shù)學(xué)研究活動，要努力做到情境適切、方案科學(xué)、細節(jié)嚴謹、學(xué)以致用。

一、情境適切彰顯研究的必要性

在教學(xué)活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。設(shè)計合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題是有挑戰(zhàn)性的，但也為教師的實踐創(chuàng)新提供了平臺。

教師依托具體的情境，提出學(xué)生力所能及又富于挑戰(zhàn)性的問題，有助于學(xué)生理性思維的提升。教師提出的問題要具有以下特征：（1）目的明確，即所提出的問題要緊緊圍繞當前的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生的注意力集中在教學(xué)任務(wù)上；（2）反映本質(zhì)，即問題要直接反映所學(xué)新知識的本質(zhì)特征，要能引導(dǎo)學(xué)生的思維指向教學(xué)任務(wù)；（3）簡明易懂，即學(xué)生不會因為問題的字面意思難懂而發(fā)生理解困難；（4）系統(tǒng)連貫，問題應(yīng)按數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法為主線，組成一個循序漸進的、具有內(nèi)在聯(lián)系的問題體系。

案例1：“有限樣本空間與隨機事件”（情境創(chuàng)設(shè)部分）

師：如果拋一次硬幣，觀察正面向上的結(jié)果有幾種可能？結(jié)果確定嗎？如果重復(fù)拋100次，并統(tǒng)計它們的結(jié)果，又會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？

教師播放一段由GeoGebra制作的拋硬幣100次模擬試驗動畫，學(xué)生從中體會一次試驗結(jié)果的偶然性和多次重復(fù)試驗結(jié)果的規(guī)律性。

師：我們再來看一個更為有趣的情境。教師先介紹隨機數(shù)與隨機點構(gòu)建的規(guī)則，有一個正三角形，三個頂點分別標作A1，A2，A3，準備一個骰子，只有1、2、3三種點數(shù)，在正三角形內(nèi)部任取一點，記作P0。第一步，拋擲骰子一次，1、2、3中產(chǎn)生一個隨機數(shù)i（i=1，2，3），連接P0Ai，取P0Ai的中點記作P1。第二步，再次拋擲骰子一次，1、2、3中產(chǎn)生一個隨機數(shù)i（i=1，2，3），連接P1Ai，取P1Ai的中點記作P2，以此類推，得到點P3，P4，…，Pn。這些點的產(chǎn)生具有隨機性嗎？你看出這些點的分布有什么規(guī)律性嗎？

教師播放一段由Matlab編程制作的三千余個隨機點分布規(guī)律的視頻，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)隨機點的分布具有明顯的規(guī)律性，呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀。（如圖1）

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)以上現(xiàn)象的共同特征：就一次觀測而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性；但在大量重復(fù)觀測下，結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱之為隨機現(xiàn)象。

師：初中時，你們對隨機事件的認識更多是一些感性的認識。高中階段，我們將結(jié)合實例，從理性的角度刻畫和研究隨機現(xiàn)象。（引出本節(jié)課的課題“有限樣本空間與隨機事件”）

【設(shè)計意圖】概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為人們提供了從不確定角度認識客觀世界的思維模式和解決問題的方法。概率課程承擔的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機現(xiàn)象的能力?；谡w單元化教學(xué)的需要，本節(jié)課作為高中概率單元的起始課，兼具知識預(yù)備和單元導(dǎo)引的雙重價值。上述教學(xué)片段教師分別選擇熟悉和有趣的兩個情境，引導(dǎo)學(xué)生歸納獲得隨機現(xiàn)象的共同特征，有利于提升學(xué)生進一步研究隨機現(xiàn)象的好奇心，體會隨機思想，明確研究對象。

二、方案科學(xué)彰顯研究的合理性

數(shù)學(xué)學(xué)習的核心是思維方法的學(xué)習。但在教學(xué)實踐中，不少課堂教學(xué)過程雜亂無序，沒有貫穿課堂始終的教學(xué)主線，缺乏有結(jié)構(gòu)的、邏輯關(guān)聯(lián)、層層遞進且能啟迪學(xué)生思維的問題引領(lǐng)，教學(xué)隨意性很大，“思維的教學(xué)”更是奢談。教師應(yīng)對數(shù)學(xué)知識的背景、抽象、推理過程進行“本源性”思考，設(shè)計科學(xué)的研究方案，用高觀點、思想性去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建課堂教學(xué)主線，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中，領(lǐng)悟思考方法進而學(xué)會學(xué)習。

案例2：“斐波那契數(shù)列”（性質(zhì)探究部分）

問題1：等差、等比數(shù)列的研究路徑是什么？

問題2：你認為應(yīng)該怎樣研究斐波那契數(shù)列的項與和的性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】從數(shù)列大單元的角度，讓學(xué)生回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究過程，探尋數(shù)列研究的一般路徑，為接下來研究斐波那契數(shù)列找準方向。

學(xué)生活動：自主探究斐波那契數(shù)列中的項的特征、項的性質(zhì)、和的性質(zhì)。

活動方式：小組討論，合作探究，自主展示，小組糾錯，自我完善。

展示結(jié)果：開放性，對通項公式與項的性質(zhì)、和的性質(zhì)，挑一部分說明結(jié)論的由來，不全部展開，留給學(xué)生課后探究的空間。

【設(shè)計意圖】一是讓學(xué)生掌握研究的方法：特殊到一般，歸納證明猜想；二是從數(shù)列大單元的角度，熟練運用研究數(shù)列的一般方法：迭代法、定義法、累加法、錯位相減法等探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)；三是讓學(xué)生感受相比等差、等比數(shù)列，斐波那契數(shù)列所具有的性質(zhì)更加豐富，其推導(dǎo)和研究的路徑也更為多樣。

三、細節(jié)嚴謹彰顯研究的完備性

細節(jié)決定成敗。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)當安排概念的“精致過程”，對概念內(nèi)涵進行“深加工”，對概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對概念的正例、反例作判斷的過程中，更準確地把握概念的細節(jié)。［3］這樣不僅能讓學(xué)生深入理解當前知識，還能為學(xué)生以后的學(xué)習打下堅實的基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)學(xué)生思維縝密、嚴謹細致的理性精神。

案例3：“數(shù)列的概念及表示”（數(shù)列概念理解部分）

師：我們以數(shù)列1，2，4，8，16，…為例，來檢驗下同學(xué)們是否掌握了數(shù)列的有關(guān)概念。

問題1：該數(shù)列的首項是什么？對應(yīng)的序號呢？2，4，8，16對應(yīng)的序號呢？序號n對應(yīng)的就是第n項an，具體an是什么呢？

師：顯然an=2n-1反映了這個數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系。一般地，如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式。

追問：如何求a101呢？你是如何認識符號“an”的？

【設(shè)計意圖】在師生交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生認識到符號“an”既是“確定的”又是“任意的”，即an表示的是數(shù)列的第n項，同時作為通項公式an意味著對數(shù)列中的每一項都是適用的。

師：通過前面的分析，序號1與數(shù)列中的項“1”對應(yīng)，序號2與數(shù)列中的項“2”對應(yīng)，序號3與數(shù)列中的項“4”對應(yīng)……這種對應(yīng)關(guān)系同學(xué)們熟悉嗎？之前的學(xué)習中同學(xué)們接觸過嗎？

生：這種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是函數(shù)。

問題2：數(shù)列是函數(shù)嗎？（小組討論）

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：數(shù)列中，每一個序號n都有唯一的項an與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，所以數(shù)列是函數(shù)。

問題3：通項公式為an=2n-1的數(shù)列{an}與f（x）=2x-1是否為同一個函數(shù)？

生：兩者的對應(yīng)關(guān)系是一致的，但定義域不同，an=2n-1中的n只能取正整數(shù)，而f（x）=2x-1的定義域為R，所以它們不是同一個函數(shù)。

問題4：那數(shù)列是一個什么樣的函數(shù)呢？從函數(shù)的觀點，談?wù)勀愕恼J識。

教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上總結(jié)完善，得到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)。從定義域上看，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，k}；就對應(yīng)關(guān)系而言，數(shù)列的通項公式就是數(shù)列（函數(shù)）的解析式，即an=f（n）；函數(shù)值相應(yīng)的是數(shù)列中的項f（1），f（2），…，f（n），…。

【設(shè)計意圖】辨析數(shù)列的本質(zhì)，厘清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系是本課的難點，也是后續(xù)學(xué)習中運用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)。在處理方式上，由特殊到一般、由具體到抽象的方法貫穿始終。教師首先以具體數(shù)列為研究抓手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到所學(xué)函數(shù)知識，感悟數(shù)列的函數(shù)特征，進而開展一般性探究，根據(jù)函數(shù)概念，明晰數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)。

四、學(xué)以致用彰顯研究的有效性

數(shù)學(xué)學(xué)習強調(diào)學(xué)以致用，數(shù)學(xué)應(yīng)用既包含數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)與交互，也包含以數(shù)學(xué)作為工具，在自然科學(xué)乃至人文社會科學(xué)中的交叉應(yīng)用。通過數(shù)學(xué)應(yīng)用可以鞏固新知識的學(xué)習，檢查新概念的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進真懂真會。例如，天文觀測、歷法推算和航海的發(fā)展推動人們對球面進行研究，從而產(chǎn)生了球面三角學(xué)，出于間接測量、測繪工作的需要又出現(xiàn)了平面三角學(xué)。正余弦定理的出現(xiàn)更是人類文明發(fā)展數(shù)學(xué)文化中的一顆耀眼的寶石，既解決了很多實際問題，又在數(shù)學(xué)文化中展現(xiàn)了迷人的魅力。

案例4：“正余弦定理的應(yīng)用——測量距離問題”（主問題設(shè)計）

問題：解三角形在測量上有著廣泛的應(yīng)用。你能設(shè)計出圖2中三種實際情況下測量A、B兩點間距離的方案嗎？

解決方案圖示：

【設(shè)計意圖】前兩種情況相對比較基礎(chǔ)，學(xué)生直接構(gòu)造三角形，運用正弦定理和余弦定理可以直接解決。對于第三種情況A，B兩地均不可到達，借助前兩個問題的求解經(jīng)驗、建立的基本模型，我們需要學(xué)生明白這種情況求解的過程，讓學(xué)生感悟內(nèi)蘊于其中的化歸數(shù)學(xué)思想方法。

章建躍先生指出，要努力提高數(shù)學(xué)教學(xué)的品位。這就要求教師在日常教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)新知為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷明確研究的問題、獲得研究的對象、確定研究的內(nèi)容、選取研究的方法、建構(gòu)研究的過程、獲得研究的結(jié)論等完整的數(shù)學(xué)思考過程，讓新知生成有理有據(jù)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展理性思維。

【參考文獻】

［1］趙軒，任子朝，翟嘉祺.落實雙減要求，深化基礎(chǔ)性考查［J］.數(shù)學(xué)通報，2022，61（9）：7-10.

［2］教育部教育考試院.高考試題分析及解題精選（2023年版）：數(shù)學(xué)分冊［M］.北京：語文出版社，2022.

［3］章建躍.概括——概念教學(xué)的核心［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2008（11）：50.