尤娜　趙思林

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中的批判性思維主要是借助邏輯思維，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象產(chǎn)生懷疑或困惑、提出問題、查找原因、證明或證偽，從而獲得某些結(jié)論或觀點(diǎn)的思維過程。批判性思維具有思維發(fā)展的創(chuàng)新價(jià)值、個(gè)人成長的育人價(jià)值和數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在價(jià)值等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，既要關(guān)注課前準(zhǔn)備、課堂實(shí)施、課后反思的日常教學(xué)過程，做好滲透培養(yǎng)，又要關(guān)注批判性心力、批判性心智（包括反省、反思、反駁、反證技能，系統(tǒng)分析，綜合評(píng)判，質(zhì)疑創(chuàng)新，元批判性思維等）等相關(guān)思維要素，做好專項(xiàng)培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：批判性思維；數(shù)學(xué)教學(xué)；批判性心力；批判性心智

批判性思維的概念源自杜威提出的“反省性思維”。隨后，格拉澤（Glaser）采用“批判性思維”（Critical Thinking）這一術(shù)語拓展了其定義。由于研究角度的不同，導(dǎo)致批判性思維的內(nèi)涵也不同，主要有以下幾種觀點(diǎn)：（1） 批判性思維是一種嚴(yán)密的、全面的、自我反省的思維方式［1］，具有審視問題、尋求解決方案、進(jìn)行推理的高階思維能力［2］；（2） 批判性思維是個(gè)體對(duì)某些結(jié)論或觀點(diǎn)進(jìn)行正確的評(píng)價(jià)與判斷，也是個(gè)體在觀察和交流中，對(duì)蘊(yùn)含的信息和言論進(jìn)行有技巧的、邏輯的、主動(dòng)的解釋和評(píng)估［3］；（3） 批判性思維是個(gè)體對(duì)做什么和相信什么作出合理決策的能力，核心是澄清能力、推論能力、演繹歸納能力和運(yùn)用決策能力［4］，體現(xiàn)在評(píng)價(jià)、比較、分析、質(zhì)疑和整合信息的過程中［5］；（4） 批判性思維是一種有目的性的自我調(diào)節(jié)性判斷的思維過程［6］，是一種對(duì)我們自己和他人的思維加以全面審查的、主動(dòng)的、有意識(shí)的、有組織的認(rèn)識(shí)過程［7］；（5） 批判性思維是一種個(gè)體克服以自我為中心的情感傾向的思維活動(dòng)，是在辯證理性和開放精神指導(dǎo)下的認(rèn)知思維活動(dòng)和過程［8］；（6） 批判性思維是批判性思維能力和批判性情感傾向的綜合體，既是分析、整合、評(píng)估信息的能力和相關(guān)的能力傾向的綜合體［9］，也是反省性質(zhì)疑精神與相關(guān)的認(rèn)知技能的綜合體［10］。綜上可知，已有研究對(duì)批判性思維的內(nèi)涵尚未達(dá)成共識(shí)。

從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)思維主要是邏輯思維。因此，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的批判性思維主要是借助邏輯思維，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象產(chǎn)生懷疑或困惑、提出問題、查找原因、證明或證偽，從而獲得某些結(jié)論或觀點(diǎn)的思維過程。

一、 批判性思維的教育價(jià)值

正如康德所言，作為一種重要的思維方式和優(yōu)良的思維品質(zhì)，批判性不只是個(gè)別人或某個(gè)時(shí)代的特征，而成為人類精神生活中必要的基本素質(zhì)。批判與求真、反省、反思、質(zhì)疑、論證、反駁、揚(yáng)棄、創(chuàng)新、超越等都有著密切的聯(lián)系。批判性思維具有重要的教育價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

（一） 注重思維發(fā)展的創(chuàng)新價(jià)值

建設(shè)創(chuàng)新型國家，離不開創(chuàng)新型人才。批判性思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力有效路徑和重要抓手。同作為重要的高階思維，批判性思維和創(chuàng)造性思維相輔相成。批判性思維在于“破”，創(chuàng)造性思維在于“立”。［11］批判是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，通過對(duì)已有信息的質(zhì)疑和反思，從中不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，最后實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新。創(chuàng)新是批判的取向，通過對(duì)已有信息的分析、判斷，反饋已有信息的不足或錯(cuò)誤，從而修正、完善或拋棄已有信息。批判性思維是創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造性活動(dòng)中不可缺少的因素。［12］批判性思維是對(duì)知識(shí)不斷認(rèn)識(shí)和增慧的過程，是對(duì)問題不斷發(fā)現(xiàn)和探究的過程，是對(duì)真理不懈追求和探索的過程。真理不是新舊知識(shí)的交錯(cuò)，而是對(duì)已有知識(shí)的不斷修正或揚(yáng)棄。正如鐘啟泉先生所說的：脫離批判性思維的教學(xué)，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)只能淪為空話。［13］

（二） 追求個(gè)人成長的育人價(jià)值

批判性思維是強(qiáng)調(diào)個(gè)性發(fā)展的思維。批判個(gè)性的形成，需要完善批判性人格，并逐步形成獨(dú)立思考、辨別是非、選擇和獲取有價(jià)值的知識(shí)、分析并提取有意義的信息等能力。批判性思維有助于學(xué)生形成理性的思考習(xí)慣，以樹立正確的價(jià)值取向（是非觀念）。批判性思維的培養(yǎng)不僅是學(xué)生生存發(fā)展的重要保障，而且是學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的認(rèn)知基礎(chǔ)。在網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，批判性思維技能的掌握是學(xué)生健康成長的需要。網(wǎng)絡(luò)既給人們搜集信息和學(xué)習(xí)帶來了方便，又給“三觀”尚未完全形成和穩(wěn)定的中小學(xué)學(xué)生帶來了負(fù)面的影響。比如，面對(duì)網(wǎng)絡(luò)上海量的虛假信息、錯(cuò)誤信息、垃圾信息、不良信息，學(xué)生（甚至成年人）如果沒有掌握批判性思維技能，很容易上當(dāng)受騙甚至可能走上犯罪道路。

（三） 體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求學(xué)生“發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維”［14］，“發(fā)展批判反思等共通性素養(yǎng)”［15］，“樹立敢于（批判）質(zhì)疑……的科學(xué)精神”［16］。目前，我國高中生雖然批判性思維傾向較高，但是批判性思維能力較低。［17］這說明，我國學(xué)生對(duì)批判性思維基本形成價(jià)值認(rèn)同，但我國教育對(duì)學(xué)生批判性思維的培養(yǎng)明顯不足。皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論表明，10—18歲是批判性思維發(fā)展的關(guān)鍵期。因此，在中小學(xué)加強(qiáng)批判性思維的培養(yǎng)是落實(shí)數(shù)學(xué)教育核心目標(biāo)的內(nèi)在需要。

二、 數(shù)學(xué)教學(xué)中批判性思維的培養(yǎng)途徑

批判性思維可以通過教學(xué)與練習(xí)來培養(yǎng)。批判性思維的培養(yǎng)主要有兩種途徑：一是借助一門學(xué)科單獨(dú)培養(yǎng)；二是借助幾門學(xué)科聯(lián)合培養(yǎng)。已有學(xué)者對(duì)批判性思維的培養(yǎng)做了研究：通過建設(shè)批判性思維教學(xué)文化、創(chuàng)設(shè)“三位一體”培養(yǎng)環(huán)境、提升教師批判意識(shí)、改變?cè)u(píng)價(jià)模式與方法、建立系統(tǒng)培養(yǎng)體系、運(yùn)用多樣教學(xué)方法（問題驅(qū)動(dòng)法、探究討論法、直觀演示法、自主學(xué)習(xí)法等）、訓(xùn)練學(xué)生批判性思維遷移、增強(qiáng)學(xué)生批判性思維精神（求真精神、懷疑精神、理性精神等）、加強(qiáng)學(xué)生元認(rèn)知的自我監(jiān)控力、引導(dǎo)學(xué)生反思與辨析等策略或方法，來培養(yǎng)批判性思維。［1822］這些策略與方法都有一些啟發(fā)性和實(shí)用性，但是不夠全面、系統(tǒng)。

研究表明，批判性思維的培養(yǎng)與學(xué)科內(nèi)容相結(jié)合更為有效。［23］在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)批判性思維，更具有優(yōu)勢(shì)：一方面，數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性與批判性思維的內(nèi)涵非常接近；另一方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常伴隨著質(zhì)疑、糾錯(cuò)、探究、論證等批判性思維活動(dòng)。依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，全面、系統(tǒng)地培養(yǎng)批判性思維，既要關(guān)注日常教學(xué)過程，做好滲透培養(yǎng)，又要關(guān)注相關(guān)思維要素，做好專項(xiàng)培養(yǎng)。

（一） 在課前準(zhǔn)備、課堂實(shí)施、課后反思中滲透培養(yǎng)

作為一種高階思維，批判性思維的培養(yǎng)并非一朝一夕之功。在現(xiàn)有的以學(xué)科知識(shí)教學(xué)為載體，在問題解決過程中發(fā)展思維、培育素養(yǎng)的課程與教學(xué)安排下，批判性思維的培養(yǎng)可以片段式地滲透在日常的課堂教學(xué)中——實(shí)際上，日常課堂教學(xué)培養(yǎng)的扎實(shí)的數(shù)學(xué)“四基”和關(guān)鍵能力正是發(fā)展批判性思維的必要基礎(chǔ)。這需要教師做好課前準(zhǔn)備、課堂實(shí)施、課后反思的工作。

1. 課前準(zhǔn)備

第一，制定批判性思維的教學(xué)目標(biāo)。一是分階段設(shè)定批判性思維目標(biāo)，即讓不同年齡對(duì)應(yīng)不同的批判性思維要求；二是分要素設(shè)定批判性思維目標(biāo)，即拆分批判性思維的要素，包括如何質(zhì)疑、如何提出問題、如何查找問題存在的原因、如何證明或證偽、如何作出正確結(jié)論等；三是制定批判性思維目標(biāo)時(shí)，重視思維的可遷移性，在學(xué)科教學(xué)內(nèi)容中增加批判性思維的相關(guān)內(nèi)容，把批判性思維目標(biāo)植根于學(xué)科教學(xué)目標(biāo)之中，構(gòu)建含有批判性思維的課程目標(biāo)和教學(xué)目標(biāo)；四是將課程目標(biāo)中已經(jīng)明確的批判性思維要求在相應(yīng)的教學(xué)中不斷細(xì)化、優(yōu)化，并付諸實(shí)施。例如，初中和高中都會(huì)教學(xué)函數(shù)的定義，都要確定相應(yīng)的批判性思維教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生通過對(duì)一些典型案例的辨析，即對(duì)函數(shù)各種“非本質(zhì)屬性”的批判來建構(gòu)定義的“本質(zhì)屬性”——單值對(duì)應(yīng)。

第二，精選或開發(fā)培養(yǎng)批判性思維的案例。案例是培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的有效載體。在批判性思維教學(xué)目標(biāo)的指向下，可以采用“微批判”的案例教學(xué)，即片段式培養(yǎng)批判性思維的教學(xué)。教師可以精選經(jīng)典案例（典型例題、模糊概念、易錯(cuò)知識(shí)等），見縫插針地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、辨析、反省、反思、質(zhì)疑、論證等訓(xùn)練。例如，高中教學(xué)函數(shù)的定義時(shí)，可以讓學(xué)生通過對(duì)“判斷y=1是不是函數(shù)”的思考與探討，認(rèn)識(shí)到初中函數(shù)定義的局限性，從而對(duì)其進(jìn)行批判，激發(fā)學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義的動(dòng)機(jī)。

2. 課堂實(shí)施

課堂教學(xué)中，教師自身良好的批判性思維能力和對(duì)教學(xué)時(shí)機(jī)的適當(dāng)把握，有助于提高學(xué)生批判性思維培養(yǎng)的有效性。

首先，教師要增強(qiáng)批判性思維能力。主要可以從兩個(gè)方面入手。第一，加強(qiáng)對(duì)批判性思維理論的學(xué)習(xí)，包括對(duì)批判性思維通識(shí)理論的學(xué)習(xí)，對(duì)結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)的批判性思維理論的學(xué)習(xí)，對(duì)以培養(yǎng)批判性思維為目標(biāo)的學(xué)科教學(xué)應(yīng)該重新建構(gòu)的教學(xué)原則（如數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)形結(jié)合原則、直觀想象原則、邏輯推理原則等）以及教學(xué)策略與方法（如演繹法、實(shí)驗(yàn)法、探究法、啟發(fā)法等）的學(xué)習(xí)，等等。第二，重視對(duì)批判性思維的實(shí)證研究。一方面，開展研究性教學(xué)，即總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提煉教學(xué)理論，投入教學(xué)實(shí)踐，驗(yàn)證完善教學(xué)成果；另一方面，進(jìn)行量化的實(shí)證研究，即總結(jié)得到教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提煉形成教學(xué)理論之后，系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)施教學(xué)，收集分析測(cè)量數(shù)據(jù)，獲得研究結(jié)論。

其次，教師要把握批判性思維的教學(xué)時(shí)機(jī)，如興趣的啟發(fā)時(shí)機(jī)、知識(shí)的生長時(shí)機(jī)、思維的拓展時(shí)機(jī)和應(yīng)用時(shí)機(jī)等。第一，激活學(xué)生批判性思維的興趣點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)多樣的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生批判性思維；營造輕松的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生批判的動(dòng)機(jī)；融合美育與德育，激發(fā)學(xué)生批判的興趣等。第二，關(guān)注學(xué)生批判性思維的生長點(diǎn)，即關(guān)注概念的癥結(jié)點(diǎn)、知識(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和解題的關(guān)鍵點(diǎn)等，培養(yǎng)學(xué)生全面、客觀、理性看待問題的思維能力。第三，把握學(xué)生批判性思維的拓展點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)序列化問題，拓展學(xué)生思維空間；巧設(shè)沖突化問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維；妙設(shè)層次化問題，引導(dǎo)學(xué)生深度思維等。第四，強(qiáng)化學(xué)生批判性思維的應(yīng)用點(diǎn)，即開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)和主題辯論賽等，增強(qiáng)學(xué)生的批判意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的批判性交流，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生能以批判的眼光觀察世界，用批判的思維思考問題。

例如，教學(xué)“充要條件”時(shí)，教師可以出示題目：關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+m+3=0的兩個(gè)實(shí)根都大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。再出示解法：x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m＞4。讓學(xué)生判斷是否正確。學(xué)生運(yùn)用批判性思維，不難發(fā)現(xiàn)該解法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，從而得到解法：Δ=m2-4m-12≥0，x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m≥6。這時(shí)，教師進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑批判：取m=7，代入原方程，發(fā)現(xiàn)并不滿足條件。經(jīng)過進(jìn)一步推敲，學(xué)生得到正確解法：x1x2=m+3＞4應(yīng)該改為（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=m+3-2m+4＞0。

3. 課后反思

課后反思是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容、方式以及過程的系統(tǒng)思考、反復(fù)思考、辨別式思考等。如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思？需要教會(huì)學(xué)生反思的對(duì)象、方法和角度等，并且?guī)ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思。例如，高中教學(xué)函數(shù)的定義后，教師可以選擇下面一些角度，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思：一是“對(duì)比”反思，即讓學(xué)生對(duì)比不同版本的高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義，從而產(chǎn)生各種疑惑；二是“閱讀”反思，即讓學(xué)生閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)的定義是否符合下定義的規(guī)則；三是“講述”反思，即讓多個(gè)學(xué)生講述定義，讓全班對(duì)不同的講述產(chǎn)生各種思考，引導(dǎo)學(xué)生檢查對(duì)定義理解的全面性與準(zhǔn)確性；四是“問題”反思，即圍繞教學(xué)重難點(diǎn)設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生辨析并弄清概念的本質(zhì)屬性等。

（二） 圍繞批判性心力、批判性心智專項(xiàng)培養(yǎng)

人的心理加工活動(dòng)是在心力與心智協(xié)同操作下完成的，心力操作即非認(rèn)知操作，心智操作即認(rèn)知操作。［24］心力操作是激活心智操作的動(dòng)力系統(tǒng)，心智操作是實(shí)現(xiàn)心力操作的必要條件。批判性思維的培養(yǎng)，既離不開心力操作的激活，也離不開心智操作的提升。

1. 激活批判性心力

心力（即非認(rèn)知）主要包括情感、動(dòng)機(jī)、興趣、態(tài)度、意志、性格等成分。［25］批判性心力是指激活、啟動(dòng)、維持和完成批判性思維過程所需的心力操作，主要包括積極的批判情感、強(qiáng)烈的批判動(dòng)機(jī)、濃厚的批判興趣、正確的批判態(tài)度、堅(jiān)強(qiáng)的批判意志和堅(jiān)定的批判性格等非認(rèn)知因素。激活批判性心力，需要良好的人文環(huán)境和積極的意向場(chǎng)。

第一，各方協(xié)作，營造批判性思維的人文環(huán)境。良好的人文環(huán)境包括國家鼓勵(lì)批判性人才、社會(huì)保護(hù)批判性行為、學(xué)校創(chuàng)設(shè)批判性文化、教師鼓勵(lì)質(zhì)疑批判的精神等。通過環(huán)境熏陶，激發(fā)學(xué)生濃厚的批判興趣、引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的批判態(tài)度、訓(xùn)練學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的批判意志等，全方位呵護(hù)學(xué)生批判性思維的萌芽與發(fā)展。

第二，師生合作，打造批判性思維的意向場(chǎng)。教師要優(yōu)化批判性思維的教學(xué)方法，如采用啟發(fā)式、探究式、討論式、追問式等，激發(fā)學(xué)生的批判動(dòng)機(jī)。學(xué)生要學(xué)習(xí)批判性思維的方法，如反省反思、理性質(zhì)疑、勇于表達(dá)、邏輯證明等。

例如，教學(xué)“復(fù)數(shù)的絕對(duì)值（模）”時(shí)，可以采用如下方法激活學(xué)生的批判性心力（主要是批判性動(dòng)機(jī)）。教師讓學(xué)生聯(lián)想實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值的算法，即x=x，x≥0，-x，x＜0。由此，學(xué)生可能把實(shí)數(shù)絕對(duì)值的本質(zhì)錯(cuò)誤地理解為“分類討論的算法”。這樣理解貌似可以，但卻無法得到a+bi的定義（算法）。進(jìn)而，讓學(xué)生對(duì)這種“錯(cuò)誤”理解進(jìn)行批判，得到“實(shí)數(shù)絕對(duì)值的本質(zhì)是距離”的正確理解，即x=（x-0）2。在此基礎(chǔ)上，得到復(fù)數(shù)絕對(duì)值的定義：a+bi=OZ=（a-0）2+（b-0）2=a2+b2，其中，O（0，0），Z（a，b）。不難看出，a+bi=a2+b2是在x=（x-0）2的基礎(chǔ)上生成的。

2. 提升批判性心智

心智（即認(rèn)知）系統(tǒng)是獲取思維經(jīng)驗(yàn)的重要基礎(chǔ)，也是發(fā)展思維能力的必要條件。［26］批判性心智是指調(diào)動(dòng)、維持、完成和反思批判性思維過程所需的心智操作，主要包括“四反”技能（即反省、反思、反駁、反證）、系統(tǒng)分析、綜合評(píng)判、質(zhì)疑創(chuàng)新、元批判性思維等高階認(rèn)知。

（1） 培養(yǎng)“四反”技能

“四反”是批判性思維的重要技能。

反省是一種詰問。［27］反省是對(duì)自己數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一種追問，也是對(duì)自己數(shù)學(xué)認(rèn)知狀況和非認(rèn)知狀況的一種追問，目的是提升自己的認(rèn)知能力和非認(rèn)知水平——主要是了解自己的認(rèn)知情況，包括知識(shí)的掌握度、方法的熟練度、結(jié)論的準(zhǔn)確度等，在此基礎(chǔ)上提升、更新、加強(qiáng)自己的認(rèn)知能力。

反思是對(duì)話的產(chǎn)物。［28］反思是通過對(duì)自己的追問以及與他人或他物的信息交換，對(duì)已有信息產(chǎn)生的思考。反思的對(duì)象是多樣的，比如教材、自己、同學(xué)、教師、權(quán)威等。思考的方法也是多樣的，比如用簡(jiǎn)單思考復(fù)雜、用特殊思考一般、用具象思考抽象、用情境思考知識(shí)等。［29］

反駁是一種揚(yáng)棄。反駁是用反例和事實(shí)對(duì)某些已有信息的批駁和局部性否定。例如，依據(jù)初中的函數(shù)定義，不少學(xué)生因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系中未含有兩個(gè)變量而認(rèn)為對(duì)應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)。但若依據(jù)高中的函數(shù)本質(zhì)（即單值對(duì)應(yīng)），對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值對(duì)應(yīng)，則此對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)。這就出現(xiàn)了認(rèn)知矛盾。矛盾的出現(xiàn)并不是否定初中的函數(shù)定義，而是認(rèn)為初中的函數(shù)定義不夠完善，需要改造，由此可得高中的函數(shù)定義。

反證是一種證明方法。反證是通過假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤（否定結(jié)論），推出矛盾，從而否決假設(shè)（證明結(jié)論）。使用反證法需要具備良好的逆向思維。培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維可以從以下方面入手：一是結(jié)合概念，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，挖掘概念中的隱含條件和隱蔽性質(zhì)；二是結(jié)合公式，引導(dǎo)學(xué)生逆寫公式，掌握公式從左到右和從右到左的推導(dǎo)與應(yīng)用過程，如正弦函數(shù)的二倍角公式sin2α=2sinαcosα、余弦函數(shù)的差角公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的順推與逆推、順用與逆用等；三是結(jié)合例題，在教學(xué)過程中加強(qiáng)反例的應(yīng)用和反證法的使用，滲透逆向思維解題的數(shù)學(xué)思想。

（2） 展開系統(tǒng)分析

系統(tǒng)分析是批判性思維的常用方法。系統(tǒng)分析將信息作為一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的要素和結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析，探尋信息的可信性和處理信息的可行性。借助系統(tǒng)分析訓(xùn)練，啟發(fā)學(xué)生深入思考，可以增加學(xué)生客觀、辯證、理性處理信息的能力。任何信息都是由單個(gè)要素或多個(gè)要素組合而成的。比如，數(shù)學(xué)中的定義、結(jié)論、問題等由數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖表等要素組成。分析信息主要有三個(gè)角度：一是分析要素的現(xiàn)象，二是分析要素的本質(zhì)，三是分析要素之間的聯(lián)系。

單要素信息與多要素信息分析的方法也不同。一方面，對(duì)單要素信息，需要選取一些分析角度，不同要素的分析角度不同。比如，分析數(shù)學(xué)概念，可以從概念的含義、概念的發(fā)展史、概念的表述、概念的應(yīng)用、概念的辨析等方面進(jìn)行。另一方面，對(duì)多要素信息，需要系統(tǒng)分析。比如，對(duì)數(shù)學(xué)問題，可以從以下角度分析：一是問題的本質(zhì)，即情境下的問題蘊(yùn)含什么要素，這些要素考查什么知識(shí)，這些知識(shí)之間有什么聯(lián)系等；二是解決問題的思路，即弄清問題涉及的內(nèi)容后，結(jié)合數(shù)學(xué)方法和思想等，探究解題路徑；三是問題的變式，即利用問題的本質(zhì)，衍生變式問題，深化或加強(qiáng)問題。

（3） 進(jìn)行綜合評(píng)判

綜合評(píng)判不是憑借直觀的感受或觀察隨意評(píng)價(jià)，而是有根據(jù)、有條理地判斷信息。通過評(píng)價(jià)，不僅能思考教材內(nèi)容、教師教法、學(xué)生的自我認(rèn)知，還能檢查活動(dòng)過程中存在的問題。評(píng)價(jià)的對(duì)象是多樣的，如教材、教師、自己。不同對(duì)象評(píng)價(jià)的角度不同，主要從教學(xué)的結(jié)果與過程兩個(gè)方面進(jìn)行。一方面是以預(yù)期教學(xué)目標(biāo)為參照的評(píng)判，即構(gòu)建一套評(píng)價(jià)體系，診斷和評(píng)價(jià)教學(xué)成果，促進(jìn)自我反思和自我評(píng)判的常態(tài)化。另一方面是對(duì)教學(xué)過程進(jìn)行多層次的評(píng)判，即通過提問的方式對(duì)照教學(xué)過程中可能存在的問題。一是教材的內(nèi)容，即數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)問題等。對(duì)數(shù)學(xué)概念，思考概念的背景是什么、概念的本質(zhì)是什么、概念的幾何意義是什么等；對(duì)數(shù)學(xué)命題，思考命題的條件是什么、命題的結(jié)論是什么等；對(duì)數(shù)學(xué)問題，則思考問題的物理背景或幾何意義是什么、問題的條件是什么等。二是教師的教學(xué)，即教師講授方法是否正確、思路是否清晰、提問是否恰當(dāng)?shù)?。三是自己的理解，即?duì)教材內(nèi)容的掌握和應(yīng)用、對(duì)教師講授的吸收和提煉等。對(duì)教材內(nèi)容和教師講授，反思自己的認(rèn)知情況，如概念的運(yùn)用、概念與其他概念的關(guān)系、解決問題的思路與方法、解決問題方法的簡(jiǎn)化、命題的證明、命題的推廣等。

（4） 落實(shí)質(zhì)疑創(chuàng)新

批判性思維往往是創(chuàng)新的“最近發(fā)展區(qū)”，并以創(chuàng)新為最終目標(biāo)。這種創(chuàng)新被稱為質(zhì)疑式創(chuàng)新，它是一種希望通過質(zhì)疑批判，發(fā)現(xiàn)或提出正確的新知識(shí)、新方法和新理論的思維。這里的“新”一般是相對(duì)創(chuàng)新，即與自己已有經(jīng)驗(yàn)相比較，提出了新的概念和新的命題、數(shù)學(xué)問題解決的新策略和新方法。教師應(yīng)該圍繞課題提問，利用對(duì)話式（發(fā)現(xiàn)式）教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生反思、分析、判斷、揚(yáng)棄、建構(gòu)，從而（相對(duì)）創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)批判性思維的問題包括質(zhì)疑性問題、反思性問題、診斷性問題、猜測(cè)性問題、探究性問題、開放性問題等。

例如，教師可以圍繞“函數(shù)的本質(zhì)是什么？”這一探究性問題，設(shè)計(jì)問題串：（1） 請(qǐng)舉一個(gè)例子來說明怎樣理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2） 任意一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系都能表示一個(gè)函數(shù)嗎？（3） 應(yīng)用高中的函數(shù)定義，判斷y=1是不是函數(shù)。（4） 是否只能用解析式表示函數(shù)關(guān)系？（5） 函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)？這樣的問題串意在讓學(xué)生通過對(duì)函數(shù)定義的思考，在認(rèn)知系統(tǒng)中逐步批判并剔除（消除）函數(shù)概念的各種非本質(zhì)屬性，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)函數(shù)概念本質(zhì)屬性的目的。需要說明的是，質(zhì)疑式創(chuàng)新的結(jié)論可以再批判，即“批判—?jiǎng)?chuàng)新—批判”。在思維活動(dòng)中，兩者相輔相成，批判是創(chuàng)新的前期支架，創(chuàng)新是批判的內(nèi)容來源。

（5） 開發(fā)元批判性思維

元批判性思維是批判性思維的核心成分，而元批判性思維的核心是元批判性思維監(jiān)控［30］。開發(fā)元批判性思維是提升批判性心智的核心環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)批判性思維的重要途徑。元批判性思維是對(duì)批判性思維要素和過程的一種“批判”，是基于理性標(biāo)準(zhǔn)反復(fù)審視思維要素的漏洞和過程的偏差，完善批判性思維要素和監(jiān)管批判性思維過程。理性標(biāo)準(zhǔn)是元批判性思維的關(guān)鍵。元批判性思維貫穿批判性思維全過程，涉及反省反思是否合理、分類是否嚴(yán)密、評(píng)價(jià)是否準(zhǔn)確、創(chuàng)新是否正確等。

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（尤 娜，內(nèi)江師范學(xué)院教育科學(xué)研究院。主要研究方向：數(shù)學(xué)教育。趙思林，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，教授，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向：數(shù)學(xué)高考、數(shù)學(xué)教育。）

*本文系四川省卓越教師培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：ZY16001）、四川省教育科研資助金項(xiàng)目重點(diǎn)課題“差錯(cuò)診斷與差錯(cuò)控制——數(shù)學(xué)教與學(xué)解困新路探究”（編號(hào)：SCJG20A049）、內(nèi)江師范學(xué)院橫向科研項(xiàng)目“高中數(shù)學(xué)原創(chuàng)性命題研究與推廣”（編號(hào)：HXL21111）的階段性研究成果。趙思林為本文通訊作者。