鐘志華　周美玲

摘 要：分析教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用是教學(xué)設(shè)計(jì)的起始環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系包括上下位關(guān)系、并列關(guān)系、先后關(guān)系、演繹關(guān)系、特殊與一般關(guān)系、系統(tǒng)與要素關(guān)系等；數(shù)學(xué)知識(shí)的作用包括示范作用、奠基作用、工具作用、橋梁作用、鋪墊作用、組織作用等。分析數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用，可以充分揭示知識(shí)的來(lái)龍去脈，促進(jìn)新課標(biāo)理念的有效落實(shí)，為教學(xué)設(shè)計(jì)的其他環(huán)節(jié)（如學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重難點(diǎn)分析、教學(xué)方法設(shè)計(jì)等）提供重要依據(jù)，促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的有序進(jìn)行；需要牢固樹(shù)立聯(lián)系的觀點(diǎn)，深入研讀數(shù)學(xué)課標(biāo)，仔細(xì)閱讀數(shù)學(xué)教材，進(jìn)而具體分析知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及知識(shí)的組織方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教材；知識(shí)關(guān)系；知識(shí)作用；教學(xué)設(shè)計(jì)；聯(lián)系觀點(diǎn)

分析教材（可以理解為廣義的教學(xué)材料）中數(shù)學(xué)知識(shí)（教學(xué)內(nèi)容）的關(guān)系（地位）與作用（價(jià)值）——目前學(xué)界習(xí)慣上將其簡(jiǎn)稱為“教材地位與作用分析”，是教學(xué)設(shè)計(jì)的起始環(huán)節(jié)。這里強(qiáng)調(diào)“教材”，是為了給分析數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用約定一個(gè)范圍，畢竟數(shù)學(xué)是一門博大精深的學(xué)問(wèn)，從教學(xué)角度看，更多地是在課程（以教材為載體）的范圍內(nèi)討論問(wèn)題；分析知識(shí)之間的關(guān)系，可以確定某知識(shí)在知識(shí)體系中所處的地位（“地理位置”），不需要做價(jià)值判斷；分析知識(shí)的作用，主要是考察該知識(shí)對(duì)其他內(nèi)容的影響，需要做價(jià)值判斷。當(dāng)然，關(guān)系分析與作用分析不可能截然分開(kāi)，因?yàn)橛新?lián)系的事物之間總會(huì)或多或少地產(chǎn)生影響。

分析教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用通常包括以下內(nèi)容：前面安排了哪些知識(shí)與技能作為認(rèn)知基礎(chǔ)？本節(jié)課包含了哪些內(nèi)容？它們與前面的內(nèi)容有何關(guān)系？是對(duì)前面內(nèi)容的拓展、總結(jié)還是應(yīng)用？它們與后續(xù)內(nèi)容存在怎樣的關(guān)系？后面還有怎樣的發(fā)展？后續(xù)內(nèi)容是在它們基礎(chǔ)上的拓展、深化還是提升？它們的學(xué)習(xí)需要學(xué)生掌握哪些知識(shí)、技能或研究方法？將會(huì)發(fā)展學(xué)生哪些方面的能力或核心素養(yǎng)？對(duì)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)、將來(lái)就業(yè)乃至終身發(fā)展有何重要意義？等等。

一、 數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用有幾類

（一） 數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系的類型

奧蘇伯爾認(rèn)為，概念之間具有上下位關(guān)系、并列關(guān)系。其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系還可以根據(jù)性質(zhì)的不同做進(jìn)一步細(xì)分。從已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，比較常見(jiàn)的類型有：

（1） 上下位關(guān)系。是指知識(shí)之間存在隸屬關(guān)系，一般適用于概念之間關(guān)系的分析。比如，四邊形與平行四邊形、矩形、菱形、正方形等概念之間就是上下位關(guān)系，函數(shù)與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)之間也是上下位關(guān)系。

（2） 并列關(guān)系。是指兩個(gè)知識(shí)相對(duì)于其上位知識(shí)而言具有同等地位，如三角形與四邊形、等差數(shù)列與等比數(shù)列、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等。

（3） 先后關(guān)系。是指知識(shí)在教材中呈現(xiàn)的先后順序。有些知識(shí)之間有固定的先后順序，學(xué)習(xí)后面的知識(shí)要用到前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，否則無(wú)法進(jìn)行。比如加法與乘法，必須先講加法，后講乘法。再如三角形的邊、高、中線、中位線等概念，必須先有三角形的概念，才能加以定義。有些知識(shí)之間雖然也有先后順序，但是誰(shuí)先誰(shuí)后其實(shí)沒(méi)有太大關(guān)系，只是因?yàn)檫@些知識(shí)放在一起總得有一個(gè)先后順序。比如，正弦定理和余弦定理誰(shuí)先誰(shuí)后，對(duì)教學(xué)沒(méi)有太大影響。再如，“兩組對(duì)邊分別平行”與“兩組對(duì)邊分別相等”誰(shuí)作定義、誰(shuí)作性質(zhì)，都不妨礙平行四邊形的學(xué)習(xí)，以“平行”作定義可能只是更加“名正言順”而已。

（4） 演繹關(guān)系。又稱蘊(yùn)含關(guān)系或因果關(guān)系，一般是指命題之間的關(guān)系，即由一個(gè)命題推出另一個(gè)命題的關(guān)系。比如，“兩直線平行”與“同位角相等”之間存在蘊(yùn)含關(guān)系。再如，“三角形全等”與“對(duì)應(yīng)邊相等”之間也存在蘊(yùn)含關(guān)系。

（5） 特殊與一般關(guān)系。是指兩個(gè)知識(shí)（通常是命題）之間前者可以看作后者特例的關(guān)系，如勾股定理與余弦定理、三角形內(nèi)角和定理與多邊形內(nèi)角和定理等。

（6） 系統(tǒng)與要素關(guān)系。是指一個(gè)事物與構(gòu)成這個(gè)事物的要素之間的關(guān)系，如三角形與三角形的邊或角、方程與方程的解等。

此外，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系還有很多，如等價(jià)關(guān)系、交叉關(guān)系、對(duì)立關(guān)系、平行關(guān)系、相等關(guān)系、具體與抽象的關(guān)系等。限于篇幅，不再一一列舉。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，要想完全揭示非常困難。因此，知識(shí)關(guān)系分析實(shí)際上是教學(xué)內(nèi)容分析乃至數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的重中之重。

（二） 數(shù)學(xué)知識(shí)作用的類型

數(shù)學(xué)知識(shí)的作用有很多，比較常見(jiàn)的有：

（1） 示范作用。如指數(shù)函數(shù)對(duì)后續(xù)其他函數(shù)的學(xué)習(xí)、三角形對(duì)四邊形及多邊形的學(xué)習(xí)、全等三角形對(duì)相似三角形的學(xué)習(xí)、一元一次方程對(duì)一元一次不等式的學(xué)習(xí)，等等。

（2） 奠基作用。如加法對(duì)乘法的學(xué)習(xí)、乘法對(duì)乘方的學(xué)習(xí)、有理數(shù)對(duì)整式的學(xué)習(xí)、一元一次方程對(duì)高次方程或方程組的學(xué)習(xí)，等等。

（3） 工具作用。如代數(shù)式對(duì)方程、不等式以及函數(shù)的學(xué)習(xí)，函數(shù)的三要素、單調(diào)性、奇偶性、周期性等對(duì)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，等式（不等式）的性質(zhì)對(duì)解方程（解不等式）的學(xué)習(xí)，等等。

（4） 橋梁作用。比如，絕對(duì)值是將與負(fù)數(shù)有關(guān)的加減乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算的橋梁，直角坐標(biāo)系是代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化的橋梁。

（5） 鋪墊作用。是指特意增加的知識(shí)（奧蘇伯爾稱其為“先行組織者”）對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)所起到的作用。比如，同類項(xiàng)是為學(xué)習(xí)整式的加減運(yùn)算做鋪墊的，同類根式是為學(xué)習(xí)根式的加減運(yùn)算做鋪墊的，同次根式是為學(xué)習(xí)根式的乘除運(yùn)算做鋪墊的，因式分解是為學(xué)習(xí)分式的加減運(yùn)算與乘除運(yùn)算做鋪墊的，平行線分線段成比例這一基本事實(shí)是為學(xué)習(xí)三角形相似做鋪墊的。雖然這些知識(shí)本身不是教學(xué)的重點(diǎn)，但是這些知識(shí)掌握的好壞會(huì)對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接的影響。因此，對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，也應(yīng)給予足夠的重視。

（6） 組織作用。比如，初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)都可以用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)一在一起。這里，函數(shù)起到了知識(shí)組織的作用。

二、 分析數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用有何意義

（一） 充分揭示知識(shí)的來(lái)龍去脈

傳說(shuō)古希臘詩(shī)人西蒙尼德斯在一次宴會(huì)上朗讀了一首抒情詩(shī)，隨后被他在詩(shī)中贊美的兩位神靈卡斯托爾和波拉克斯叫出宴會(huì)大廳。就在他走出宴會(huì)大廳后，屋頂?shù)顾?，里面的人無(wú)一生還，尸體血肉模糊，甚至連親屬也無(wú)法辨認(rèn)。但西蒙尼德斯卻根據(jù)各人在大廳里曾經(jīng)就坐的位置辨認(rèn)出了每一具尸體。西蒙尼德斯之所以能做到這一點(diǎn)，是因?yàn)樗捎昧艘环N在古代演講中廣泛使用的技術(shù)——地點(diǎn)法。故事也許純屬虛構(gòu)，但現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)已經(jīng)證明，把要記憶的對(duì)象安排在某種有序的位置十分重要，這種記憶術(shù)對(duì)于回憶一系列有序安排的事項(xiàng)確有幫助。［1］

其實(shí)，學(xué)習(xí)也是如此：就好比將知識(shí)放在大腦這個(gè)“圖書館”里，如果每個(gè)知識(shí)在頭腦中都有確定的位置，都被放置得井井有條，那么，知識(shí)不僅不容易被遺忘，而且很容易被提取。而分析知識(shí)的關(guān)系與作用就是要查明所學(xué)知識(shí)到底與哪些知識(shí)有關(guān)系、有什么關(guān)系，從而將所學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)者頭腦中已有的知識(shí)建立聯(lián)系。這樣，不僅有利于學(xué)習(xí)者準(zhǔn)確把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，而且有利于將新知識(shí)順利納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)的理解和記憶。

（二） 促進(jìn)新課標(biāo)理念的有效落實(shí)

新課程改革以來(lái)，各版義務(wù)教育和普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都強(qiáng)調(diào)知識(shí)的普遍聯(lián)系以及把握知識(shí)關(guān)系的重要性。學(xué)生不應(yīng)該就事論事地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不應(yīng)該孤立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不應(yīng)該局限地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)該在普遍聯(lián)系中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)該在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間以及數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。美國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也非常重視“聯(lián)系”，認(rèn)為幫助學(xué)生了解和掌握知識(shí)之間的聯(lián)系十分重要，是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)的一項(xiàng)重大任務(wù)。有了這種了解和掌握，學(xué)生就能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，而不是一堆孤立、凌亂的東西；對(duì)事物的考察就能從多方面進(jìn)行，思維就會(huì)更加活躍，解決問(wèn)題的手法就會(huì)更加靈活多樣，數(shù)學(xué)能力就能得到提高。［2］可見(jiàn)，聯(lián)系的觀點(diǎn)是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)課標(biāo)倡導(dǎo)的核心理念。

眾所周知，教材是課標(biāo)意志的體現(xiàn)。分析教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用直接體現(xiàn)了教師對(duì)課標(biāo)理念的理解程度，也決定了教師能否將課標(biāo)理念真正落實(shí)到日常教學(xué)中，也就在一定程度上影響了課改的走向。因此，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析知識(shí)的關(guān)系與作用，不僅充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的內(nèi)在要求，而且可以促進(jìn)新課標(biāo)理念的有效落實(shí)。

（三） 為教學(xué)設(shè)計(jì)的其他環(huán)節(jié)提供重要依據(jù)

作為教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，準(zhǔn)確分析知識(shí)的關(guān)系與作用，不僅可以更加全面、深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，更加清楚地了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，而且可以為其后的學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析和教學(xué)重難點(diǎn)分析等環(huán)節(jié)提供依據(jù)。比如，分析教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師不僅需要根據(jù)學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)確定其“最近發(fā)展區(qū)”——教學(xué)目標(biāo)，而且需要根據(jù)所確定的教學(xué)目標(biāo)分析各使能目標(biāo)（從原有知識(shí)基礎(chǔ)到達(dá)教學(xué)目標(biāo)需要到達(dá)的次級(jí)目標(biāo)），最終找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點(diǎn)，同時(shí)需要在此基礎(chǔ)上編制一張達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的“教學(xué)過(guò)程圖”。所有這些，都離不開(kāi)對(duì)知識(shí)關(guān)系與作用的精準(zhǔn)分析。

（四） 促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的有序進(jìn)行

眾所周知，教材的知識(shí)序決定教學(xué)的邏輯序，而教學(xué)的邏輯序又進(jìn)一步?jīng)Q定學(xué)生的認(rèn)知序。因此，深入分析知識(shí)的關(guān)系與作用，可以根據(jù)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的來(lái)龍去脈，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)路線，選擇合適的教學(xué)方法甚至評(píng)價(jià)方法等，從而為教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)實(shí)施提供更有針對(duì)性的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)教學(xué)要注重知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，即不僅要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，而且要注重知識(shí)的“延伸點(diǎn)”，才能使學(xué)生把局部的數(shù)學(xué)知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中，才能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體把握和宏觀認(rèn)識(shí)。

比如，教學(xué)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《平行線》一課，如果教師充分了解“平行線”知識(shí)在《相交線與平行線》這一章乃至整個(gè)幾何學(xué)中的地位與作用，就應(yīng)該認(rèn)識(shí)到平行線是本章乃至初中幾何的教學(xué)重點(diǎn)，研究平行線要轉(zhuǎn)化為相交線來(lái)進(jìn)行，從而也會(huì)自然地認(rèn)識(shí)到引入第三條直線只是為判定兩條直線是否平行提供一個(gè)參照標(biāo)準(zhǔn)。這樣，又會(huì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是如何引導(dǎo)學(xué)生將平行線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相交線問(wèn)題來(lái)研究，從而也就自然地理解引入同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角完全是為研究平行線服務(wù)的，它們只是工具，研究平行線才是真正的目的。

再如，根據(jù)平行線與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系以及同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角三者之間關(guān)系的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)，教學(xué)“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí)時(shí)，依據(jù)學(xué)生以往將三角板沿直尺平推來(lái)作平行線的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，先嘗試操作探索，再歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，更利于學(xué)生的接受。而教學(xué)“內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”這兩個(gè)判定定理時(shí)，則宜采用將內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同位角的演繹推理方法進(jìn)行探索。這樣不僅可以在不增加學(xué)生學(xué)習(xí)難度的前提下充分提高課堂教學(xué)的效率，而且可以在充分體現(xiàn)教學(xué)方法靈活性與多樣性的同時(shí)，最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性。

三、 怎樣分析數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用

（一） 牢固樹(shù)立聯(lián)系的觀點(diǎn)

聯(lián)系的觀點(diǎn)不僅是哲學(xué)的基本觀點(diǎn)，而且是研究教學(xué)問(wèn)題的重要出發(fā)點(diǎn)。著名教育學(xué)家布魯納認(rèn)為，教學(xué)任何學(xué)科主要應(yīng)使學(xué)生掌握這一學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)［3］，而學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互聯(lián)系的［4］。著名教育學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾則認(rèn)為，有意義學(xué)習(xí)的本質(zhì)是在新舊知識(shí)之間建立非任意的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。［5］雷鈉特·N.凱恩等人的腦科學(xué)研究進(jìn)一步證實(shí)，學(xué)習(xí)的本質(zhì)就在于找出所學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道的和看重的東西之間是如何相關(guān)的，以及信息和經(jīng)驗(yàn)之間是怎樣聯(lián)系的。［6］分析教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系與作用也自然需要運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)。

數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯性決定了數(shù)學(xué)教材是充滿聯(lián)系的統(tǒng)一整體。新知識(shí)只有與已有知識(shí)真正建立聯(lián)系，才能被納入相應(yīng)的知識(shí)體系中，才能被理解和應(yīng)用。然而，許多數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系并不是一眼就能看出來(lái)的，它常常隱含在知識(shí)的深處，需要教師去挖掘、研究，并與學(xué)生一起將知識(shí)直觀化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。因此，在分析知識(shí)的關(guān)系與作用時(shí)，要樹(shù)立“一切從聯(lián)系出發(fā)”的觀點(diǎn)，形成隨處聯(lián)系、隨時(shí)聯(lián)系的意識(shí)；要著眼于教學(xué)內(nèi)容的縱橫聯(lián)結(jié)，注意教學(xué)內(nèi)容的整體與局部、前與后、因與果等的銜接與遞進(jìn)，在聯(lián)系中將新舊知識(shí)融為一體。即不僅要看到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且要看到數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，同時(shí)要看到數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系。具體到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，則不僅要知道教材各個(gè)章節(jié)之間的聯(lián)系，而且要知道數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系；不僅要知道哪些知識(shí)之間有聯(lián)系，而且要知道這些知識(shí)之間有什么聯(lián)系。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，則不僅要分析知識(shí)的關(guān)系、作用與教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)之間的聯(lián)系，而且要分析知識(shí)的關(guān)系、作用與學(xué)情、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程等之間的聯(lián)系。這樣，才能在教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)環(huán)節(jié)充分立足知識(shí)的關(guān)系與作用，才能使因“材”施教的原則真正落到實(shí)處。

（二） 深入研讀數(shù)學(xué)課標(biāo)

課標(biāo)是規(guī)定某一學(xué)科的課程性質(zhì)、目標(biāo)、內(nèi)容，并給出實(shí)施建議的指導(dǎo)性文件，是教師教學(xué)的重要依據(jù)。所謂“站得高才能看得遠(yuǎn)”，課標(biāo)的研讀能幫助教師站在一定的高度審視教材。比如，教材中分散在各冊(cè)（各章節(jié)）的多個(gè)問(wèn)題情境中蘊(yùn)含的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在課標(biāo)中可能是集中在一個(gè)領(lǐng)域（一個(gè)主題）的幾句話中表達(dá)相互關(guān)聯(lián)的幾個(gè)課程內(nèi)容要求，或者是指向同一課程目標(biāo)的“同質(zhì)”教學(xué)內(nèi)容。我們調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分教師都能認(rèn)識(shí)到課標(biāo)對(duì)教材分析的重要性，但是對(duì)課標(biāo)的認(rèn)識(shí)更多來(lái)自專家對(duì)課標(biāo)理念的宏觀介紹，而忽視自身對(duì)課標(biāo)內(nèi)容的深入研讀。要知道，教材是圍繞課標(biāo)要求編寫的，研讀課標(biāo)是讀懂教材的重要前提和基礎(chǔ)。教師只有在深入研讀和理解課標(biāo)的基礎(chǔ)上，才能深刻把握教材，才能讀懂教材編排背后蘊(yùn)含的道理和意圖，才能在分析教材時(shí)有更清晰的方向和更明確的目標(biāo)，才能基于課標(biāo)的核心理念對(duì)教材作出更合理、更到位的分析。教師在分析教材中知識(shí)的關(guān)系與作用時(shí)，要深入反思：教材有沒(méi)有很好地體現(xiàn)課標(biāo)的理念？哪里體現(xiàn)了課標(biāo)的理念？體現(xiàn)了哪些理念？是怎樣體現(xiàn)這些理念的？

比如，學(xué)習(xí)“空間直角坐標(biāo)系”這一知識(shí)時(shí)，有許多學(xué)生提出：“為什么學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系時(shí)直接在原來(lái)的數(shù)軸上加了一條坐標(biāo)軸，而學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系時(shí)不直接在原來(lái)的坐標(biāo)系上再添一條坐標(biāo)軸？”對(duì)于這一問(wèn)題，純粹從知識(shí)的角度很難找到合適的答案，但是，如果立足課標(biāo)中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（課程目標(biāo)），那就應(yīng)該知道這樣放置不僅更直觀（有利于學(xué)生直觀想象），而且更經(jīng)濟(jì)（因?yàn)榈谝回韵奁綍r(shí)接觸比較多，必須放在容易看見(jiàn)的地方）。由此教學(xué)，學(xué)生不但更容易理解這樣放置的合理性，避免死記硬背，而且在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要靈活地建立坐標(biāo)系，從而使思維的主動(dòng)性、靈活性得到充分培養(yǎng)。

（三） 仔細(xì)閱讀數(shù)學(xué)教材

深刻理解課標(biāo)要求后，教師還需要通過(guò)仔細(xì)閱讀教材，獲得對(duì)教材主要內(nèi)容及其分布的大致把握。這是精準(zhǔn)分析教材中知識(shí)關(guān)系與作用的前提。

閱讀過(guò)程可以按照由粗到細(xì)的順序，即：首先，對(duì)學(xué)段教材進(jìn)行整體泛讀，大致把握教材的整體結(jié)構(gòu)，從宏觀角度對(duì)學(xué)段教材的編寫順序和思路有一個(gè)整體感知，理清各冊(cè)教材之間的聯(lián)系；其次，重點(diǎn)閱讀本學(xué)期講授的分冊(cè)教材，明確本學(xué)期要學(xué)習(xí)哪些章節(jié)，梳理各個(gè)章節(jié)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，思考其中的編排意圖；再次，針對(duì)每一章的內(nèi)容，梳理各節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)各節(jié)需解決的主要問(wèn)題有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)；最后，著眼于每一節(jié)或每一課時(shí)的內(nèi)容，梳理主要的知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)教師對(duì)教材中有哪些節(jié)點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)如何分布有了比較準(zhǔn)確的把握時(shí)，也就完成了“定位”或者說(shuō)“描點(diǎn)”的工作。采用這樣由粗到細(xì)、不斷聚焦、層層深入的方式，就能獲得對(duì)教材全面系統(tǒng)、細(xì)致深入的把握。［7］

（四） 具體分析知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及知識(shí)的組織方式

知識(shí)關(guān)系與作用的分析有很多類型，既可以對(duì)某個(gè)章節(jié)進(jìn)行分析，也可以對(duì)某個(gè)單元進(jìn)行分析，還可以對(duì)某一課時(shí)進(jìn)行分析。本文主要探討某一課時(shí)的知識(shí)關(guān)系與作用分析。

運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析某一課時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)（教學(xué)內(nèi)容），應(yīng)該從全局的角度把握教材，立足整體思考該教學(xué)內(nèi)容在教材中的“地理位置”以及這樣安排的目的與意義。即不僅要分析該知識(shí)安排在哪里，而且要分析為什么要這樣安排，同時(shí)要弄清楚該知識(shí)與什么知識(shí)有聯(lián)系、有什么聯(lián)系。具體來(lái)說(shuō)，要從內(nèi)、外兩個(gè)方面深入分析所學(xué)知識(shí)與哪些知識(shí)（數(shù)學(xué)知識(shí)、其他學(xué)科的知識(shí)、實(shí)際生活中的知識(shí)）有聯(lián)系、有什么聯(lián)系。這里的知識(shí)既可以是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，也可以是學(xué)生將要學(xué)習(xí)的知識(shí)；學(xué)生已有的知識(shí)既可以是書本知識(shí)，也可以是生活經(jīng)驗(yàn)。此外，還要進(jìn)一步分析知識(shí)的組織方式或編排方式及其背后的數(shù)學(xué)思想或核心素養(yǎng)。

下面，以“平行線”知識(shí)為例，說(shuō)明如何運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)指導(dǎo)知識(shí)關(guān)系與作用分析：

先從外部看，平行線是兩條直線之間常見(jiàn)且重要的一種位置關(guān)系。平行線與之前所學(xué)的相交線，從知識(shí)的角度看，是一種并列關(guān)系；而從教學(xué)的角度看，還具有承接關(guān)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系。之所以說(shuō)它們具有承接關(guān)系，是因?yàn)橄嘟痪€與平行線是兩條直線之間最基本的兩種關(guān)系，學(xué)過(guò)相交線后必然要學(xué)習(xí)平行線，同時(shí)平行線的學(xué)習(xí)又建立在相交線學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，研究平行線要用到與相交線有關(guān)的許多知識(shí)，如對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等。所謂轉(zhuǎn)化關(guān)系，是指研究?jī)蓷l直線之間的平行關(guān)系最終要轉(zhuǎn)化為這兩條直線與第三條直線之間的相交關(guān)系來(lái)處理。這里，第三條直線所起的作用是為這兩條直線是否平行提供一個(gè)參照標(biāo)準(zhǔn)：如果這兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等），就可以判斷這兩條直線平行。另外，平行線與很多后續(xù)知識(shí)都有密切關(guān)系，一些更復(fù)雜的圖形之間的關(guān)系需要借助平行關(guān)系去研究。比如，證明三角形內(nèi)角和定理要用到平行線的性質(zhì)定理，很多三角形全等的證明要用到平行線知識(shí)，研究平行四邊形和梯形要用到平行線知識(shí)，研究三角形相似要用到平行線知識(shí)。而到了高中階段，涉及平行線知識(shí)的內(nèi)容就更多了：立體幾何中，研究?jī)蓷l直線的異面關(guān)系、直線與平面的平行關(guān)系、平面與平面的平行關(guān)系等都要轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關(guān)系；解析幾何中，要用代數(shù)方法研究?jī)蓷l直線之間的平行關(guān)系……

以上主要體現(xiàn)的是平行線的工具作用。其實(shí)，平行線的作用還可以體現(xiàn)在思想方法層面：由平行線引出的平移變換作為一種基本而重要的變換，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中具有非常廣泛的應(yīng)用。通過(guò)平移可以將各種復(fù)雜函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的研究，如將一般二次曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次曲線來(lái)研究，將一般三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)甚至轉(zhuǎn)為一一對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)來(lái)研究。如果再將平移這一方法做進(jìn)一步推廣，則又可以得到科學(xué)研究中的一種重要方法——移植方法。比如，可以將研究指數(shù)函數(shù)的方法應(yīng)用到對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等許多函數(shù)的研究中，可以將研究橢圓的方法移植到雙曲線、拋物線的研究中，可以將數(shù)學(xué)的研究方法移植到物理、化學(xué)等學(xué)科的研究中，可以將自然科學(xué)的研究方法移植到社會(huì)科學(xué)的研究中。

再?gòu)膬?nèi)部看，“平行線”涉及的主要概念有平行線、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等。其中，后三者是研究前者的工具。在后三者中，同位角最基本，內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是由同位角派生出來(lái)。之所以這么說(shuō)，是因?yàn)椋阂环矫妫瑢W(xué)習(xí)“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí)時(shí)，學(xué)生有沿直尺平移三角板作平行線的經(jīng)驗(yàn)；另一方面，利用所判斷的兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等）更直接，更符合人的認(rèn)知規(guī)律，也更便于學(xué)生理解（這一點(diǎn)由解析幾何中兩條直線平行的判定方法可見(jiàn)一斑）?！捌叫芯€”涉及的主要命題有平行公理、平行線的判定定理和性質(zhì)定理等。其中，平行公理與“同位角相等，兩直線平行”是作為基本事實(shí)來(lái)處理的。之所以這樣處理，一方面，考慮了它們比較直觀，學(xué)生比較容易理解；另一方面，則考慮到學(xué)生剛學(xué)演繹證明，理解后者的證明還有難度，因此，采用歸納的方式來(lái)學(xué)習(xí)。

最后，分析知識(shí)的組織方式（編排方式）。一般來(lái)說(shuō)，教材中的知識(shí)是圍繞核心概念、大觀點(diǎn)或數(shù)學(xué)思想、核心素養(yǎng)組織的。就“平行線”而言，核心概念就是平行線，因?yàn)闊o(wú)論平行公理，還是平行線的判定定理與性質(zhì)定理，都是圍繞平行線這一概念展開(kāi)的；至于同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等概念，也都是為研究平行線服務(wù)的?！捌叫芯€”涉及的數(shù)學(xué)思想有抽象思想、分類思想、推理思想、歸納思想及化歸思想等，而將有關(guān)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)的主要是化歸思想。之所以這樣說(shuō)，是因?yàn)椋菏紫?，從核心概念“平行線”來(lái)看，它是轉(zhuǎn)化為“相交”這一概念來(lái)定義的；其次，研究?jī)蓷l直線平行是轉(zhuǎn)化為這兩條直線與第三條直線所成的各種角的關(guān)系來(lái)進(jìn)行的；再次，利用內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角來(lái)判定兩條直線平行是轉(zhuǎn)化為“同位角相等，兩直線平行”來(lái)研究的；甚至，“兩直線平行，同位角相等”這一性質(zhì)還可以利用反證法轉(zhuǎn)化為“同位角相等，兩直線平行”來(lái)證明……由此可見(jiàn)，我們可以用“化歸”這一核心思想將“平行線”的主要知識(shí)有機(jī)地組織在一起。

四、 數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系、作用分析與教學(xué)設(shè)計(jì)其他環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系

作為教學(xué)設(shè)計(jì)起始環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系與作用分析，與其他環(huán)節(jié)之間有著密切聯(lián)系，具體如下：

（一） 與學(xué)情分析之間的聯(lián)系

作為教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，知識(shí)關(guān)系與作用分析清晰地揭示了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，這就為學(xué)情分析提供了可資利用的框架和參照。在進(jìn)行學(xué)情分析時(shí)，可以對(duì)照知識(shí)關(guān)系與作用分析中的知識(shí)地圖來(lái)思考：哪些知識(shí)學(xué)生已經(jīng)掌握？哪些知識(shí)學(xué)生還沒(méi)有掌握？哪些知識(shí)學(xué)生比較熟悉？哪些知識(shí)學(xué)生還比較生疏？學(xué)生有什么興趣愛(ài)好？學(xué)生有什么學(xué)習(xí)特點(diǎn)？采取怎樣的教學(xué)方法比較容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)思考？等等。

比如，對(duì)《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》一課進(jìn)行學(xué)情分析時(shí)，如果我們已經(jīng)知道從一（二）次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一（二）次方程（不等式）、函數(shù)的圖像和性質(zhì)等與方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，就應(yīng)該進(jìn)一步思考：這些預(yù)備知識(shí)或研究方法，學(xué)生有沒(méi)有真正掌握？如果沒(méi)有掌握，是什么原因？學(xué)生還存在什么困難？學(xué)生通常采用哪些學(xué)習(xí)方法？這些方法是否適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)？教學(xué)應(yīng)該選擇什么認(rèn)知起點(diǎn)？應(yīng)該采用什么教學(xué)手段或方法，才更有利于學(xué)生的理解？等等。

（二） 與教學(xué)目標(biāo)分析之間的聯(lián)系

分析教學(xué)目標(biāo)時(shí)，除了考慮課標(biāo)和學(xué)情之外，最主要的就是要考慮學(xué)科的影響。而學(xué)科對(duì)教學(xué)目標(biāo)影響的最直接方式就是知識(shí)的關(guān)系與作用。一般來(lái)說(shuō)，知識(shí)關(guān)系與作用分析主要探索知識(shí)之間有無(wú)聯(lián)系、有什么聯(lián)系。而教學(xué)目標(biāo)分析不僅要考慮知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，更要考慮學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和“最近發(fā)展區(qū)”。如果將表征知識(shí)關(guān)系的知識(shí)地圖作為參照系，則教學(xué)目標(biāo)分析實(shí)際上就是要在有關(guān)的知識(shí)地圖中找到一條能讓學(xué)生通過(guò)探索獲得成功的道路。由于知識(shí)關(guān)系分析清晰地揭示了各知識(shí)之間的聯(lián)系，教師不僅可以據(jù)此確定合理的教學(xué)目標(biāo)，而且可以為教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點(diǎn)和清晰的探究路徑。

比如，依據(jù)前面的知識(shí)關(guān)系分析框架（知識(shí)地圖），如果以學(xué)生前兩章所學(xué)的函數(shù)概念與性質(zhì)，以及冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)等基本初等函數(shù)模型的圖像與性質(zhì)作為認(rèn)知起點(diǎn)，那么，《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》一課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該側(cè)重于“在對(duì)函數(shù)圖像與性質(zhì)有一定了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考察函數(shù)與方程（不等式）等其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，為進(jìn)一步探索運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求方程的近似解，以及函數(shù)在其他學(xué)科及生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)”；如果將“從一（二）次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一（二）次方程（不等式）”作為認(rèn)知起點(diǎn)，那么，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該側(cè)重于“在初中階段學(xué)習(xí)的用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一（二）次方程的基礎(chǔ)上，從更一般的意義上探索函數(shù)與方程之間的關(guān)系，了解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，體會(huì)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，逐步養(yǎng)成從不同的角度看問(wèn)題的習(xí)慣”；如果將“函數(shù)”“方程”這兩個(gè)概念作為認(rèn)知起點(diǎn)，那么，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該側(cè)重于“經(jīng)歷對(duì)函數(shù)與方程的構(gòu)成要素及其關(guān)系的比較、梳理、分析過(guò)程，初步體會(huì)研究事物之間聯(lián)系的方法，滲透普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)”。［8］

（三） 與教學(xué)重難點(diǎn)分析之間的聯(lián)系

從聯(lián)系的觀點(diǎn)看，教學(xué)重點(diǎn)通常指那些與其他知識(shí)關(guān)聯(lián)度比較高或聯(lián)系比較多的知識(shí)點(diǎn)。［9］因此，分析教學(xué)重點(diǎn)時(shí)，要從知識(shí)的發(fā)展演變或來(lái)龍去脈（知識(shí)的聯(lián)系）中把握。教學(xué)重點(diǎn)既可以依據(jù)知識(shí)關(guān)系來(lái)分析，也可以依據(jù)知識(shí)作用來(lái)分析。從知識(shí)關(guān)系（特別是表征知識(shí)關(guān)系的知識(shí)地圖）來(lái)看，那些事關(guān)新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、聯(lián)系點(diǎn)往往最容易成為教學(xué)重點(diǎn)。比如，消元法是將多元方程組轉(zhuǎn)化為一元方程的根本方法，因此自然成為二元一次方程組的教學(xué)重點(diǎn)。從知識(shí)作用來(lái)看，那些對(duì)其他知識(shí)的學(xué)習(xí)影響比較大的知識(shí)往往最容易成為教學(xué)重點(diǎn)。比如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)是函數(shù)圖像與性質(zhì)研究的重要方面，因此必然成為函數(shù)研究的重點(diǎn)。

從聯(lián)系的觀點(diǎn)看，教學(xué)難點(diǎn)就是那些不容易發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)。具體來(lái)說(shuō)，就是那些太抽象、離學(xué)生生活太遠(yuǎn)、過(guò)程太復(fù)雜、關(guān)系太隱蔽、學(xué)生難于理解和掌握的知識(shí)、技能與方法。［10］比如，無(wú)理數(shù)概念、“負(fù)負(fù)得正”的法則由于離現(xiàn)實(shí)生活較遠(yuǎn)而成為教學(xué)難點(diǎn)。再如，證明等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，由于缺少添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)而造成困難。又如，學(xué)習(xí)零點(diǎn)存在性定理時(shí)，根據(jù)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)判斷函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，不僅要將零點(diǎn)與端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)建立聯(lián)系，而且要與目前尚未學(xué)習(xí)的函數(shù)連續(xù)性概念等知識(shí)建立聯(lián)系，這對(duì)剛接觸零點(diǎn)概念的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件很不容易的事情，因此，發(fā)現(xiàn)并深刻理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

（四） 與教學(xué)方法設(shè)計(jì)之間的聯(lián)系

由于數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜，教學(xué)方法會(huì)隨著認(rèn)知起點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)和探究路徑等情況的變化而變化。知識(shí)關(guān)系、作用分析與教學(xué)方法設(shè)計(jì)之間的聯(lián)系主要表現(xiàn)為，根據(jù)知識(shí)之間聯(lián)系及性質(zhì)的不同而采取不同的教學(xué)方法。它是因“材”施教教學(xué)原則的具體體現(xiàn)。

比如，依據(jù)前面的分析，《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》一課既可以將“函數(shù)的概念與性質(zhì)”作為認(rèn)知起點(diǎn)，按照“概念—性質(zhì)—學(xué)科內(nèi)應(yīng)用—學(xué)科外應(yīng)用”的知識(shí)探究順序和結(jié)構(gòu)分析方法來(lái)教學(xué)；又可以將“用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一（二）次方程（不等式）”作為認(rèn)知起點(diǎn)，采用從特殊到一般的方法來(lái)教學(xué)；還可以將“函數(shù)”“方程”這兩個(gè)概念作為認(rèn)知起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用比較、梳理、歸納等思維方法來(lái)分析函數(shù)與方程的構(gòu)成要素及其關(guān)系。

（五） 與教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程一般包括創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、提出研究問(wèn)題、提出猜想、驗(yàn)證猜想、鞏固小結(jié)等環(huán)節(jié)。在明確知識(shí)的關(guān)系與作用、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)等的基礎(chǔ)上，可以依據(jù)知識(shí)地圖設(shè)計(jì)探究路線和教學(xué)環(huán)節(jié)。

比如，《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》一課，若以上述第三種教學(xué)方法（思路）來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，則可以先向?qū)W生呈現(xiàn)“函數(shù)與方程”這一課題，創(chuàng)設(shè)懸念情境，引發(fā)學(xué)生對(duì)兩者關(guān)系的探究興趣；然后通過(guò)“看到這個(gè)標(biāo)題，你們會(huì)提出什么問(wèn)題？”“你們最想研究什么問(wèn)題？”“函數(shù)與方程之間到底有什么關(guān)系？”“怎么研究函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“從哪些方面研究函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“過(guò)去我們有沒(méi)有研究過(guò)函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“當(dāng)時(shí)是從哪些方面來(lái)研究的？”“這些關(guān)系對(duì)一般的函數(shù)和方程是否仍然成立？”等一系列問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生循序漸進(jìn)地探索函數(shù)與方程之間的關(guān)系。

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（鐘志華，南通大學(xué)理學(xué)院，教授，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向：數(shù)學(xué)教材與教學(xué)。周美玲，南通大學(xué)理學(xué)院。）

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育深度融合的理論與實(shí)踐研究”（編號(hào)：B/2022/01/05）、“基于HPM的數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)分析與突破策略研究”（編號(hào)：B/2022/03/90），也系南通大學(xué)專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)案例庫(kù)建設(shè)項(xiàng)目“基于創(chuàng)新能力的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例庫(kù)建設(shè)”（編號(hào)：JXAL2202）的階段性研究成果。周美玲為本文通訊作者。