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        初中數(shù)學(xué)“一題多解與一題多變”教學(xué)研究

        2023-10-15 16:40:37陳斌
        關(guān)鍵詞:一題多變一題多解教學(xué)研究

        陳斌

        【摘要】“一題多解與一題多變”是數(shù)學(xué)教師所要關(guān)注的重要內(nèi)容,這兩種解題訓(xùn)練模式的構(gòu)建可以突破原有解題教學(xué)的結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生更加深入地認(rèn)識數(shù)學(xué)習(xí)題的解題方法,這對其解題能力的提升與發(fā)展有著重要的意義.為了構(gòu)建“一題多解與一題多變”教學(xué)課堂,教師需要對其價值進(jìn)行分析研究,再從實際教學(xué)的開展出發(fā)探尋有效教學(xué)設(shè)計的方法,對初中數(shù)學(xué)“一題多解與一題多變”教學(xué)的開展方法進(jìn)行探究.

        【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);一題多解;一題多變;教學(xué)研究

        數(shù)學(xué)是初中階段學(xué)生所要學(xué)習(xí)的重要學(xué)科,在中考中占有重要的分?jǐn)?shù)比例,為了幫助學(xué)生成功通過中考的考驗,教師需要從實際出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題的篩選,引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的研究,帶領(lǐng)學(xué)生思考解題的多種方法,再通過習(xí)題變形設(shè)計的研究,來設(shè)計變式問題,以此推動學(xué)生的解題思考,發(fā)展學(xué)生的解題能力.在實際教學(xué)中,教師可以圍繞解析原題結(jié)構(gòu)、融合數(shù)學(xué)思想、設(shè)置多解訓(xùn)練、構(gòu)建多變訓(xùn)練、引領(lǐng)學(xué)生歸納五個方面來開展教學(xué).

        一、“一題多解與一題多變”的價值分析

        “一題多解”是多元解題方法的顯現(xiàn),其可以讓學(xué)生針對一道習(xí)題進(jìn)行多種解題方法的思考.一般而言,每一種解題方法都印證著一條不同的解題思路.多解題的展示與引導(dǎo)解析,可以幫助學(xué)生了解習(xí)題的解法與其背后隱含的解題思維,進(jìn)而開闊學(xué)生的解題視野,提升學(xué)生的思維靈活度,對學(xué)生的發(fā)展有著重要的意義.

        “一題多變”是變式思想的顯現(xiàn),在“一題多變”的訓(xùn)練設(shè)計中,教師將選取典型的習(xí)題作為原式,通過題目條件調(diào)整、問題新擬、題目信息倒置等方法將原本的習(xí)題轉(zhuǎn)化為多道表現(xiàn)形式不同的習(xí)題.此時,教師就可以從習(xí)題的不同特征出發(fā)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練,并發(fā)展學(xué)生的解題能力.在這一類習(xí)題的解題中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)題的特征進(jìn)行歸納,并圍繞習(xí)題的快速解答進(jìn)行建模設(shè)計,構(gòu)建合理化的解題模型.

        二、“一題多解與一題多變”教學(xué)的開展方法

        (一)解析原題結(jié)構(gòu),分析習(xí)題特征

        原題的解析與研究是幫助學(xué)生進(jìn)行“一題多解或一題多變”的基礎(chǔ),教師要展示原題,幫助學(xué)生認(rèn)識原題的突出特點,并引領(lǐng)學(xué)生深入解析原題.在實際的展示過程中,教師需要利用課前時間進(jìn)行檢索,搜集教學(xué)展示所需的習(xí)題,并在課上對習(xí)題進(jìn)行展現(xiàn),重點圍繞習(xí)題的考查點進(jìn)行分析,解析相關(guān)習(xí)題解答需要的條件.如,在實際教學(xué)中,教師便可以為學(xué)生展示如下原題:

        例題 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323,求出這兩個數(shù).

        分析 通過研究可以發(fā)現(xiàn),習(xí)題考查的內(nèi)容為一元二次方程的應(yīng)用,習(xí)題的解題關(guān)鍵是條件中給出的描述語“兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323”.學(xué)生可以從一元二次方程的不同未知數(shù)設(shè)列出發(fā)得出多種不同的解法.其中,教師可以為學(xué)生展示“將較小的奇數(shù)設(shè)為x”“將較大的奇數(shù)設(shè)為x”“將x設(shè)為任意整數(shù)”“將兩個連續(xù)奇數(shù)設(shè)為x-1和x+1”,這四種設(shè)列方法可以對應(yīng)四種不同的解題方法.四種解題方法看似都是對一元二次方程的應(yīng)用,但其切入思考的角度存在差異.通過這一展示,教師便可以引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行系統(tǒng)的認(rèn)識與理解,為之后“一題多解和一題多變”的思索研究做好鋪墊.

        為了讓學(xué)生了解“一題多變”的意義,使其了解相關(guān)題目的特點,教師可以選擇原題進(jìn)行調(diào)整,構(gòu)建一些簡單的變式題.在變式題的設(shè)計上,針對該習(xí)題,教師通過調(diào)整問法的形式即可生成多個變式,如教師可以將習(xí)題改制為“兩個連續(xù)奇數(shù)的積是399,求出這兩個數(shù)”,通過調(diào)整題干的數(shù)字大小來實現(xiàn)對題目的簡單變更,讓學(xué)生進(jìn)行解答.教師也可以將習(xí)題改制為“兩個連續(xù)偶數(shù)的積是440,求出這兩個數(shù)”,通過題目條件的對應(yīng)變更,生成與原題相似的變式題.在完成變式題的設(shè)計后,教師可將其展示給學(xué)生,讓學(xué)生就變式題與原題的差別進(jìn)行分析,使其探析題目發(fā)生的變化.

        (二)融合數(shù)學(xué)思想,研究解題方法

        解題方法的掌握與否直接關(guān)系到學(xué)生解題能力的發(fā)展,教師要關(guān)注“一題多解”的教學(xué),從解題方法的內(nèi)涵思想入手進(jìn)行解析,讓學(xué)生聯(lián)系解題方法進(jìn)行分析,找出方法中隱含的解題理念.在實際教學(xué)中,“一題多解”的研究需要教師為學(xué)生創(chuàng)建相應(yīng)空間,幫助學(xué)生探尋解答題目的多種解法.在實際教學(xué)中,教師要從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)選擇適于學(xué)生進(jìn)行多解探究的例題,并結(jié)合問題的解法分析進(jìn)行多方面展示.如,在實際教學(xué)中,教師便可以為學(xué)生展示如下習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生從習(xí)題的特點出發(fā)來研究相關(guān)題目的多種解法:

        例題 某人買13個雞蛋、5個鴨蛋、9個鵝蛋,共用去9.25元;若買2個雞蛋,4個鴨蛋,3個鵝蛋,則會用3.20元,若每種蛋只買一個,需要用多少錢?

        分析 通過簡要分析可以得出該題目考查的是三元一次方程組的內(nèi)容,但由于題目中只提供了兩組等量關(guān)系,因此若想分別求出三種蛋的單價是不現(xiàn)實的,但題目所求的內(nèi)容為三種蛋的共價,所以可以通過式子的變形來求解.在明確了這一思路后,學(xué)生就可以圍繞學(xué)過的數(shù)學(xué)方法選擇方向,尋找有效列式解答的方法.

        方法一 湊整法

        通過分析可以發(fā)現(xiàn),這一方法應(yīng)用了化歸的數(shù)學(xué)思想,利用這一思想可以轉(zhuǎn)換與調(diào)整題目的條件,讓算式簡化,從而得出可以計算解答的式子.在講授這一解題方法時,教師要注意開展數(shù)學(xué)思想的拓展活動,讓學(xué)生了解化歸思想及其在解題中的實際應(yīng)用.

        方法二 主元法

        這一方法是對函數(shù)方程思想與化歸思想的融合運用,其核心在于將方程的三個未知數(shù)進(jìn)行區(qū)別看待,將x,y作為未知數(shù)處理,將z視為一個常數(shù),以此對方程變形:

        通過分析可以發(fā)現(xiàn),主元法實質(zhì)上是對函數(shù)與方程的運用,選擇適當(dāng)?shù)淖帜缸鳛橹髟梢云鸬交y為易的作用.在上述習(xí)題解答中所使用的主元法,其特征是將未知數(shù)進(jìn)行區(qū)別看待,形成一個特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系,符合方程思想的構(gòu)成要求,即從問題中的數(shù)量關(guān)系入手,運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程(組)、不等式(組)、或方程與不等式的混合組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.在實際教學(xué)中,教師要為學(xué)生解讀函數(shù)方程思想的構(gòu)成,并展現(xiàn)函數(shù)方程思想在常見問題中的運用實例.

        方法三 參數(shù)法

        觀察式子之間的關(guān)系,得①-②×3可以消去z,再化簡可得x-y=-0.05 ④

        ③×3-②可以得到x-y=3k-3.20 ⑤

        此時通過式子④和⑤可以得到3k-3.20=-0.05,所以k=1.05,此時可以得到x+y+z=1.05.

        解析 上述三種方法對應(yīng)了三種解題思路,而每一種解題思路還可以延伸出新的解題方法,限于篇幅此處不再贅述,教師在進(jìn)行解析教學(xué)時,可以讓學(xué)生嘗試著尋找額外的習(xí)題解答方法.

        參數(shù)法是指在解題過程中通過引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量(參數(shù)),再進(jìn)行分析和綜合,從而解決問題的方法.這一方法從數(shù)學(xué)思想的角度來看,其同樣運用了化歸的數(shù)學(xué)思想,通過參數(shù)的引入,用參數(shù)代指一部分?jǐn)?shù)學(xué)量,從而將算式轉(zhuǎn)換為有利于解答的形式,從而實現(xiàn)有效解答.

        通過上述三種解題方法與其對應(yīng)數(shù)學(xué)思想的解讀,學(xué)生就可以在不同解法的研究中認(rèn)識數(shù)學(xué)思想的拓展應(yīng)用價值,獲得解題意識和認(rèn)知的提升.為了發(fā)展學(xué)生的解題能力,讓“一題多解”真正發(fā)揮作用,教師還需要為學(xué)生設(shè)計針對性的練習(xí),用練習(xí)推動學(xué)生解題能力的提高與發(fā)展.

        (三)設(shè)置多解訓(xùn)練,推動學(xué)生探究

        “一題多解”的訓(xùn)練其目的在于幫助學(xué)生認(rèn)識多種解題方法,從解題方法的探究入手,帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)習(xí)題解答的多種思想.在實際教學(xué)中,教師要考慮學(xué)生的發(fā)展情況,選取難度合理且解法較多的習(xí)題進(jìn)行展示,構(gòu)建有效的多解訓(xùn)練,幫助學(xué)生學(xué)習(xí)解答問題的多種解法.

        練習(xí)題3 甲、乙、丙三種貨物,若甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.請問:買甲、乙、丙各一件需要多少錢?

        在展示了上述練習(xí)題后,教師需要引導(dǎo)學(xué)生解答題目,并要求每名學(xué)生至少找出兩種解法.在這一環(huán)節(jié),為了滲透分層理念,教師可以要求發(fā)展較好的學(xué)生最少找出3種解題方法,并要求其對解題方法的思路進(jìn)行整理分析,以便在班級中進(jìn)行匯報與展示.在學(xué)生實際解題過程中,教師要關(guān)注學(xué)生的解題情況,分析學(xué)生的思維拓展能力發(fā)展情況,并借助引導(dǎo)性的語言對學(xué)生進(jìn)行點撥,推動學(xué)生主動思考.

        (四)構(gòu)建多變訓(xùn)練,促進(jìn)學(xué)生拓展

        “一題多變”的訓(xùn)練需要教師秉持“萬變不離其宗”的核心思想,對習(xí)題的題干信息、提問方式、條件構(gòu)成進(jìn)行調(diào)整,并從學(xué)生的實際解答出發(fā)來引領(lǐng)學(xué)生分析相關(guān)的變式題組.在學(xué)生解答前,教師需要圍繞解題模型的建立與公共解題思路的明確來提出問題,引導(dǎo)學(xué)生在解答問題的同時進(jìn)行思考.為確保變式題具有較高的質(zhì)量,教師在設(shè)計變式題時要從原式的各個角度思考延伸,選擇不同的方向來設(shè)置對應(yīng)的題目.如,在實際教學(xué)中,教師便可以展示如下習(xí)題:

        原式 依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形可稱為中點四邊形.求證平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

        變式一 按照原式所給條件,求證矩形的中點四邊形是菱形.

        變式二 按照原式所給條件,求證正方形的中點四邊形是正方形.

        變式三 一個四邊形的中點四邊形是平行四邊形,請問這個四邊形可能是什么圖形?

        原式 一個寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成,試求出每個小正方形的邊長.

        變式一 一個寬為50cm的長方形圖案由20個相同的小正方形拼成,試求出每個小正方形的邊長.

        變式二 一個寬為100cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成,試求出每個小正方形的邊長.

        變式三 一個寬為50cm、長為100cm的長方形圖案由8個相同的小正方形拼成,試求出每個小正方形的邊長.

        在實際教學(xué)中,教師在給出變式練習(xí)后,要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目進(jìn)行分析、求解.在學(xué)生解答的過程中,教師要關(guān)注學(xué)生的解題情況,并予以幫助與引導(dǎo),讓學(xué)生總結(jié)各個變式題與原題的不同之處.對于學(xué)生給出的答案,教師要認(rèn)真判定,并引導(dǎo)學(xué)生回顧與整理.在學(xué)生完成變式題的解答后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展思考,讓其嘗試著對原式進(jìn)行變形,然后采用同桌互換的方式來完成相關(guān)習(xí)題的解答.在這一過程中,學(xué)生的思維會變得更為開闊,其創(chuàng)造能力也能得到培養(yǎng)與發(fā)展.

        (五)引領(lǐng)學(xué)生歸納,培養(yǎng)模型意識

        模型意識與能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵構(gòu)成,新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).模型意識與能力的培養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生解題能力的發(fā)展,具有較強(qiáng)建模能力的學(xué)生可以更好地實現(xiàn)一類習(xí)題的解答.為了培養(yǎng)學(xué)生的模型意識與能力,教師可以引導(dǎo)學(xué)生對一題多變習(xí)題進(jìn)行分析思考,讓其對比原式與變式題,逐一分析其差異,對相關(guān)習(xí)題進(jìn)行二次分類.在分類完成后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生對一類習(xí)題的解題方法進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)與整理,構(gòu)建解答相關(guān)題目的有效數(shù)學(xué)模型.

        如,在實際教學(xué)中,教師便可以依托一題多變教學(xué)的進(jìn)行,引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)一題多變習(xí)題的原式與變式題進(jìn)行歸納,從公共解答思路中總結(jié)出解題的通用方法,建立解題模型.在這一過程中,為了發(fā)揮學(xué)生群體的主動性,讓其進(jìn)行協(xié)作探究,教師可以從學(xué)生發(fā)展入手劃分學(xué)生小組,并布置針對性的探究任務(wù),讓其合作完成整理探究任務(wù).學(xué)生在探究思考中,其能力可以得到逐步的提升與發(fā)展.

        結(jié) 語

        綜上所述,“一題多解與一題多變”是開展數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一種有效模式.通過解題教學(xué)的進(jìn)行,教師可以幫助學(xué)生實現(xiàn)解題理念的發(fā)展,有效地推動其解題能力水平的提升.在實際的教學(xué)中,教師需要進(jìn)行習(xí)題的解析研究,從解題方法的多元介紹與習(xí)題的變式展示兩個方面進(jìn)行系統(tǒng)構(gòu)建,幫助學(xué)生認(rèn)識并掌握相關(guān)習(xí)題的有效解答方法.在學(xué)生了解了相關(guān)的內(nèi)容后,教師還要依托教學(xué)的進(jìn)行,推動學(xué)生進(jìn)行歸納,發(fā)展并培養(yǎng)其模型意識.

        【參考文獻(xiàn)】

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